הצגת המקור של הדף "אבולוט"

[[קובץ:Ellipse evolute.svg|ממוזער|אבולוט של [[אליפסה]] הוא [[אסטרואידה]] מתוחה בציר המשני של האליפסה]]

ב[[גאומטריה דיפרנציאלית]], בהינתן [[עקומה]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] <math>\gamma : [0,L] \to \mathbb{R}^2</math> ב[[פרמטריזציה טבעית (עקומה)|פרמטריזציה טבעית]], '''אֵבוֹלוּט''' (ב[[אנגלית]]: '''Evolute'''; ב[[עברית]]: '''לָפוּף'''{{הערה|{{מילון אקדמיה|110|51180_1|לָפוּף}}}}) מוגדר כ[[מקום גאומטרי|מקום הגאומטרי]] של כל [[מרכז עקמומיות|מרכזי העקמומיות]]{{הערה|מרכז העקמומיות לנקודה s הוא הנקודה בה נמצא מרכז ה[[מעגל נושק|מעגל הנושק]] לעקומה ב-<math>\ \gamma(s)</math>}} שלה.

נוסחת האבולוט היא:
: <math>\vec{E}(s) = \vec{\gamma}(s) + R(s) \vec{n}(s) = \vec{\gamma}(s) + \frac{1}{k(s)}\vec{n}(s)</math>

כאשר
*k היא ה[[עקמומיות]] של העקומה <math>\gamma</math> (המתקבלת לפי [[משוואות פרנה]] מתוך <math>\ \frac{d \vec{v}}{ds} = \vec{v}'(s) = k(s) \vec{n}(s)</math>, או בנוסחה מפורשת <math>\ k(s) = \langle \vec{\gamma}''(s), \vec{n}(s) \rangle</math>)
*<math>\ R(s)=\frac{1}{k(s)}</math> הוא [[רדיוס העקמומיות]]
*<math>\vec{n}(s)</math> הוא [[וקטור יחידה]] ה[[אורתוגונליות|ניצב]] לווקטור המשיק לעקומה <math>\vec{v}(s) = \vec{\gamma}'(s)</math> ויוצר עמו [[בסיס (אלגברה)|בסיס אורתונורמלי]] בעל [[אוריינטציה (מתמטיקה)|אוריינטציה]] חיובית.

[[אנליזה מתמטית|אנליטית]], ניתן לתאר את האבולוט כ[[תמונה סינגולרית|תמונה הסינגולרית]] של ההעתקה
: <math>\ (\tau, s) \longmapsto \vec{F}(\tau ,s) = \vec{\gamma}(s) + \tau \vec{n}(s)</math>.
במקום זה, המתקבל עבור <math>\ \tau = 1/k(s)</math>, הנורמלים בנקודות קרובות איניפיניטסימלית נחתכים ולכן <math>\ ( \tau, s)</math> לא מהווים מערכת [[קואורדינטות]] [[מוגדר היטב|מוגדרת היטב]]. מכאן נובע שהאבולוט הוא מעטפת של כל הנורמלים לעקומה.{{הבהרה|באיזה מקום, באיזה אופן לא מוגדרת היטב, איך נובע, ומה הגדרת מעטפת?}}

[[משפט (מתמטיקה)|משפט]] שימושי לחישוב אורך של קשת (רגולרית ובלי קודקודים, כלומר: <math>\ k(s), k'(s) \ne 0</math>) על האבולוט טוען שאורך הקשת שווה להפרש רדיוסי העקמומיות בנקודות הקצה:
: <math>\ \int_{s_1}^{s_2} | E'(s) | ds = \int_{s_1}^{s_2} \left| \left( \frac{d}{ds} R'(s) \right) \vec{n}(s) \right| ds = \int_{s_1}^{s_2} | R'(s) | ds = \left| \int_{s_1}^{s_2} R'(s)ds \right| = \left| R(s_2) - R(s_1) \right|</math>
כאשר המעבר הלפני האחרון נעשה מאחר ש-R היא [[פונקציה מונוטונית]] (עולה או יורדת) של s בקשת רגולרית, ו-
: <math>\ \vec{E}'(s) = \gamma'(s) + R'(s) \vec{n}(s) + R(s) \vec{n}'(s) = \vec{v}(s) + R'(s) \vec{n}(s) - R(s)k(s)\vec{v}(s) = R'(s) \vec{n}(s)</math>
לפי [[משוואות פרנה]].

הדיון הראשון באבולוט נמצא בכרך ה-V של הספר "חרוטים" ("Conics") מאת [[אפולוניוס מפרגה|אפולוניוס]] (בסביבות 200 לפני הספירה), אך מי שנחשב לראשון שלמד אותם בצורה יסודית הוא [[כריסטיאן הויגנס]] ([[1673]]).

== קישורים חיצוניים ==
* {{MathWorld}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Evolute.html אבולוט], ב-[[MathWorld]] של [[אריק ויינשטיין]]
* Yates, R. C.: ''A Handbook on Curves and Their Properties'', J. W. Edwards (1952), "Evolutes." pp. 86ff
* [http://www.2dcurves.com/derived/curvature.html#evolute Evolute on 2d curves.]

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]
[[קטגוריה:עקומות]]