הצגת המקור של הדף "אומד עקיב"

[[קובץ:Consistency_of_estimator.svg|ממוזער|250x250 פיקסלים| סדרה של משתנים מקריים { ...,''T'' <sub>1</sub>, ''T'' <sub>2</sub>, ''T'' <sub>3</sub>} המתכנסת בהסתברות לערך של ''θ המתאים להתפלגות הנתונים (כאן 4=θ)'' היא אומד עקיב עבור ''θ'': המשתנים המקריים מתרכזים יותר ויותר ליד הערך הנכון של הפרמטר ''θ''. עם זאת, שימו לב, שכל אחד מהמשתנים המקריים המתוארים בגרף הוא [[הטיה (סטטיסטיקה)|אומד מוטה]] ל- ''θ''.]]
[[סטטיסטיקה|בסטטיסטיקה]],  [[אמידה|אומד]] הוא כלל לחישוב אומדנים מתוך [[תצפית (מדע)|תצפיות]], עבור הערך של [[פרמטר סטטיסטי|פרמטר]] ''<math>\theta</math>''  המאפיין את [[התפלגות]] התצפיות. '''אומד עקיב''' הוא בעל תכונה שכאשר כמות הנתונים המשמשת לחישוב האומד גדלה ושואפת לאינסוף, האומד מייצר [[סדרה (מתמטיקה)|סדרת]] [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]]  ה[[התכנסות (הסתברות)|מתכנסת בהסתברות]] לערך של הפרמטר ''<math>\theta</math> המאפיין את התפלגות התצפיות''. המשמעות היא שהתפלגויות המשתנים המקריים המתקבלים מתרכזות יותר ויותר ליד הערך הרצוי של הפרמטר הנאמד. כלומר, לכל  <math>\epsilon>0</math> נתון, שההסתברות לכך שהמרחק בין המשתנים המקריים בסדרה לבין הערך הנכון של ''<math>\theta</math>'' יהיה גדול מ-<math>\epsilon</math>, שואפת ל-0.

נניח שנתונה משפחה של התפלגויות עם פרמטר ''<math>\theta</math>,'' כך שלכל ''התפלגות במשפחה'' מתאים ערך מסוים של ''<math>\theta</math>. נניח שנתון [[מדגם מקרי]] מתוך אחת ההתפלגויות השייכות למשפחה ועבור התפלגות של המדגם מתקיים'' <math>\theta=\theta_0</math>''.'' אומד של ''<math>\theta</math>'' הוא [[פונקציה]] של המדגם מקרי, המוגדרת למדגמים בכל גודל n ותפקידו לאמוד את ''<math>\theta_0</math>''. עקיבות של אומד היא תכונה שמאפיינת את האומד כאשר גודל המדגם ''<math>n</math>'' [[אינסוף|שואף לאינסוף]]. אם ניתן להראות מתמטית שלכל התפלגות מהמשפחה, בהינתן מדגם מקרי מההתפלגות, סדרת המשתנים המקריים שהאומד מגדיר מתכנסת בהסתברות לערך של ''θ'' המתאים להתפלגות שממנה לקוח המדגם, אז האומד נקרא '''אומד עקיב ל-''θ'''''; אחרת, אם ניתן להראות שעבור התפלגות מסוימת במשפחה הסדרה איננה מתכנסת כלל או מתכנסת לערך לא נכון, אז האומד '''אינו אומד עקיב ל-''θ'''''.

עקיבות כפי שהוגדרה כאן מכונה לפעמים '''עקיבות חלשה'''. כאשר אנו מחליפים התכנסות בהסתברות [[התכנסות (הסתברות)|בהתכנסות כמעט בוודאות]], אומרים שלאומד יש '''עקיבות חזקה'''.

באופן פורמלי בהינתן משפחת התפלגויות <math>\mathcal{F}(\theta)</math>, אם לכל ערך ''<math>\theta_0</math>''  אפשרי של ''<math>\theta</math>''  וסדרה של [[משתנים מקריים בלתי תלויים]] ושווי התפלגות <math>X_1,X_2,...\in \mathcal{F}(\theta_0)</math>, האומד <math>T_n(X_1,X_2,...,X_n)</math>  [[התכנסות (הסתברות)|'''מתכנס בהסתברות''']] ל- ''<math>\theta_0</math>'':  כלומר <math>
  ,\underset{n\to\infty}{\operatorname{plim}}\;T_n = \theta_0
 </math> או באופן שקול, אם לכל ''ε'' > 0, <math>
  ,\lim_{n\to\infty}\Pr\big(|T_n-\theta_0 | > \varepsilon\big) = 0
 </math> אז <math>
  T_n
 </math> הוא אומד של ''<math>\theta</math>'' בעל '''עקיבות חלשה'''.

לאומד ''<math>
  T_n
 </math>'' של פרמטר ''<math>\theta</math>'' יש '''עקיבות חזקה''', אם לכל ערך ''<math>\theta_0</math>''  אפשרי של ''<math>\theta</math>'' וסדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות <math>X_1,X_2,...\in \mathcal{F}(\theta_0)</math>,  <math>
  T_n
 </math> '''מתכנס בהסתברות 1''' ל-''<math>\theta_0</math>''. כלומר, <math>
  .\Pr\left(\lim_{n\to\infty}T_n = \theta_0\right) = 1
 </math>

== דוגמאות ==

=== ממוצע מדגם של משתנה מקרי נורמלי ===
נניח שנתון מדגם מקרי של משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות מ[[התפלגות נורמלית]] <math>X_1,X_2,...\sim N(\mu,\sigma^2)</math>. כדי לאמוד את ''<math>\mu</math>'' על סמך <math>n</math> המשתנים המקריים הראשונים ניתן להשתמש כאומד ב[[ממוצע|ממוצע המדגם]]: <math>T_n=\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}</math>. אומד זה מגדיר סדרה של משתנים מקריים, משתנה לכל ''<math>n</math>''.

מתכונות ההתפלגות הנורמלית, נובע כי <math>T_n</math> מתפלג התפלגות נורמלית, עם [[תוחלת]] ''<math>\mu</math>'' ו[[שונות]] ''<math>\frac{\sigma^2}{n}</math>''. בנוסף לכך, מתכונות ההתפלגות הנורמלית נובע כי ל- <math style="vertical-align:-.3em">\frac { \sqrt{n}(T_n-\mu) }{\sigma}</math> יש התפלגות נורמלית סטנדרטית. לכן, לכל <math>\epsilon>0</math> כאשר ''<math>n</math>'' שואף לאינסוף, 

: <math>
  .\Pr\!\left[\,|T_n-\mu|\geq\varepsilon\,\right] = 
  \Pr\!\left[ \frac{\sqrt{n}\,\big|T_n-\mu\big|}{\sigma} \geq 
  \frac{\sqrt{n}\varepsilon}{\sigma} \right] = 
  2\left(1-\Phi\left(\frac{\sqrt{n}\,\varepsilon}{\sigma}\right)\right) \to 0
 </math>

לכן, הסדרה ''<math>T_n</math>'' של ממוצעי המדגם מהווה אומד עקיב לתוחלת ''<math>\mu</math>''  (<math>\Phi</math> היא [[פונקציית התפלגות|ההתפלגות המצטברת]] של ה[[התפלגות נורמלית סטנדרטית|התפלגות הנורמלית סטנדרטית]]).

== הערות שוליים ==

[[קטגוריה:סטטיסטיקה]]