הצגת המקור של הדף "אופרטור"

{{פירוש נוסף|נוכחי=אופרטור ב[[מתמטיקה]]|אחר=אופרטור במדעי המחשב|ראו=[[אופרטור (תכנות)]]}}
ב[[מתמטיקה]], '''אוֹפֵּרָטוֹר''' (Operator) הוא  [[פעולה (מתמטיקה)|פעולה]] אלגברית על מספר קבוע או משתנה של [[איבר (מתמטיקה)|איברים]] ב[[מבנה אלגברי]]. תוצאת הפעולה היא איבר באותו מבנה (או לעיתים במבנה אחר). האיברים שעליהם פועל האופרטור נקראים '''[[אופרנד]]ים'''. לעיתים משתמשים במילה כשם נרדף לפעולה מתמטית. לעיתים קרובות אופרטור מציין פעולה  על וקטורים ב[[מרחב וקטורי]].

== סוגי אופרטורים ==
נהוג להבחין בין אופרטורים לפי מספר האופרנדים שהם פועלים עליהם:
* '''אופרטור אונארי''' או [[פעולה יונארית|פעולה אונארית]]: אופרטור הפועל על איבר בקבוצה, ותוצאתו היא איבר בקבוצה. בניסוח פורמלי יותר: פעולה אונארית היא [[פונקציה]] מהקבוצה אל עצמה. דהיינו, בהינתן קבוצה <math>S</math>, פעולה אונארית עליה היא פונקציה <math>f \colon S \to S</math>.
* '''אופרטור בינארי''' או [[פעולה בינארית]]: אופרטור הפועל על שני איברים בקבוצה (לא בהכרח שונים זה מזה), ותוצאתו היא איבר בקבוצה. בניסוח פורמלי יותר: פעולה בינארית היא פונקציה מזוגות סדורים של אברי הקבוצה, אל הקבוצה. דהיינו, בהינתן קבוצה <math>S</math>, פעולה בינארית עליה היא פונקציה: <math>f \colon S\times S \to S</math>.
* '''אופרטור טרנארי''' הפועל על שלושה איברים בקבוצה, וכך הלאה.

מקובלות שלוש שיטות לכתיבתם של אופרטורים:
* '''פרפיקס''': תחילה נכתב האופרטור ואחריו ה[[אופרנד]]ים.
:תבנית: <math>Q(x_1,x_2,\dots,x_n)</math>.
:כאשר לאופרטור מספר קבוע של אופרנדים, מושמטים לעיתים הסוגריים בעת כתיבתו.
:דוגמה: האופרטור [[קוסינוס]] נכתב בצורה <math>\cos x </math>.
* '''פוסטפיקס''': תחילה נכתבים האופרנדים ואחריהם האופרטור.
:תבנית: <math>(x_1,x_2,\dots,x_n)Q</math>.
:כאשר לאופרטור מספר קבוע של אופרנדים, מושמטים לעיתים הסוגריים בעת כתיבתו.
:דוגמה: האופרטור [[עצרת (מתמטיקה)|עצרת]] נכתב בצורה <math>n! </math>.
* '''אינפיקס''': האופרטור נכתב בין שני האופרנדים.
:תבנית: <math>x_1 Q x_2</math>.
:דוגמה: האופרטור [[חיבור]] נכתב בצורה <math>3+4 </math>.
:זוהי צורת הכתיב המקובלת לאופרטורים בינאריים נפוצים, כגון [[ארבע פעולות החשבון]].

בכתיב המקובל נהוג שילוב של השיטות, בהתאם לצורת הרישום המקובלת של כל אופרטור. הנוסחה <math>\log(x) + n!</math>, למשל, משלבת את שלוש השיטות. [[כתיב פולני]] הוא טכניקת רישום שבמסגרתה נכתבות כל הנוסחאות בשיטת פרפיקס. למשל, במקום לכתוב <math>2+3</math> נכתוב בכתיב פולני <math>+2,3</math>.

[[ביטוי (מתמטיקה)|ביטוי]] הכולל אופרטורים אחדים יש לפרש ולחשב בהתאם לכללי [[קדימות אופרטורים]].

== אופרטור ליניארי ==
בענפי ה[[מתמטיקה]] של [[אנליזה מתמטית]] ו[[אלגברה ליניארית]], המונח '''אופרטור''' מציין [[העתקה ליניארית]] בין [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]], לעיתים קרובות ממרחב אל עצמו. בשימוש הנפוץ באנליזה, אופרטור הוא התאמה שמקבלת [[פונקציה]] (בדרך כלל ממשית או מרוכבת) ומחזירה במקומה פונקציה אחרת.

=== אופרטור דיפרנציאלי ===
'''אופרטור דיפרנציאלי''' הוא אופרטור שמערב [[נגזרת|נגזרות]]. לדוגמה, האופרטור <math>A = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} + g(x)</math> הוא אופרטור דיפרנציאלי ופעולתו על פונקציה כלשהי <math>f</math> היא <math>Af(x) = f'(x) + g(x)f(x)</math>.

השימוש באופרטורים כאלה נפוץ במיוחד ב[[אנליזה מתמטית]] של [[מרחב בנך|מרחבי בנך]] ושל [[מרחב הילברט|מרחבי הילברט]]. על מרחבים אלה אפשר להגדיר תכונות כגון חסימות, רציפות, [[סגירות (אלגברה)|סגירות]] ושלמות של אופרטור. על מרחבי הילברט אפשר להגדיר אופרטורים הדומים לאלו של [[מטריצה|מטריצות]] כגון [[מטריצה הפיכה|הפיכות]], [[מטריצה סימטרית|סימטריות]], [[אופרטור הרמיטי|הרמיטיות]] ועוד.

ב[[מכניקת הקוונטים]], כל הגדלים המדידים מוגדרים באמצעות [[אופרטור הרמיטי|אופרטורים הרמיטיים]].

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]