הצגת המקור של הדף "אופרטור צמוד"

ב[[אלגברה ליניארית]] והכללותיה, '''האופרטור הצמוד''' ל[[העתקה ליניארית|אופרטור ליניארי]] <math>T \colon V \rightarrow W</math> הוא אופרטור ליניארי אחר, <math>T^* \colon W^* \rightarrow V^*</math>. בנוכחות [[מרחב מכפלה פנימית|מכפלה פנימית]] האופרטור הצמוד הוא אופרטור <math>T^* \colon W \rightarrow V</math>. 

פעולת ההצמדה מהווה [[אינוולוציה (תורת החוגים)|אינוולוציה]] של [[חוג האנדומורפיזמים]] של מרחב מכפלה פנימית. 
הקשרים בין האופרטור לצמוד שלו מאפיינים כמה מן המשפחות החשובות ביותר של אופרטורים, ובפרט מאפשרים לזהות מתי אופרטור [[מטריצה לכסינה|ניתן ללכסון]].

== המקרה הכללי ==

לכל [[מרחב וקטורי]] <math>V</math> מוגדר [[המרחב הדואלי]] <math>V^*</math> של כל הפונקציונלים <math>V \rightarrow F</math>. אם <math>T \colon V \rightarrow W</math> העתקה ליניארית, ההעתקה הצמודה היא אופרטור <math>T^* \colon W^* \rightarrow V^*</math> המוגדר לפי הכלל הפשוט <math>(T^*f)(v) := f(Tv)</math>; כלומר, <math>T^*</math> פועל על פונקציונלים <math>f : W \rightarrow F</math> על ידי [[הרכבת פונקציות|הרכבת]] <math>T</math> מימין. 

פעולת הצמוד היא ליניארית: אם <math>T,S \colon V \rightarrow W</math> שתי העתקות ליניאריות ו-<math>\alpha \in F</math> הוא [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]], אז <math>(T+S)^* = T^*+S^*</math> ו- <math>(\alpha T)^* = \alpha T^*</math>. 

אם <math>U,V,W</math> מרחבים וקטוריים ו- <math>T \colon V \rightarrow W, S \colon W \rightarrow U</math> העתקות, אז <math>(ST)^* = T^*S^*</math> משום ש-<math>((ST)^*g)(v) = g(STv)=S^*g(Tv)=(T^*(S^*g))(v)</math>. 

בדומה לזה מוגדר הצמוד של הצמוד, <math>T^{**} : V^{**} \rightarrow W^{**}</math>, לפי <math>(T^{**}\varphi)(f) := \varphi(T^*f)</math>. כל מרחב וקטורי <math>V</math> משוכן באופן טבעי במרחב הדואלי לדואלי שלו, <math>V^{**}</math>, כאשר מפרשים וקטור <math>v</math>כפעולה <math>V^* \rightarrow F</math> המוגדרת לפי <math>v(f) = f(v)</math>. תחת הפירוש הזה, <math>T^{**}</math> מתלכד עם <math>T</math> בכל מקום שבו האחרון מוגדר, משום ש-<math>(T^{**}v)(f) = v(T^*f)=(T^*f)(v)=f(Tv)=(Tv)(f)</math> לכל <math>f : W \rightarrow F</math>.

== מרחבי מכפלה פנימית ==

כאשר מוגדרת על <math>V</math> מכפלה פנימית, [[משפט ההצגה של ריס]] מאפשר לזהות את <math>V</math> עם המרחב הדואלי שלו, בכך שכל וקטור <math>x</math> מותאם לפונקציונל <math>f_x \colon y \rightarrow  (y,x)</math>. נניח שגם על <math>W</math> מוגדרת מכפלה פנימית משלו, הקובעת זיהוי של <math>W</math> עם המרחב הדואלי שלו באותו אופן. 

אם <math>T \colon V \rightarrow W</math> העתקה ליניארית, אז מגדירים <math>T^* \colon W \rightarrow V</math> כך שיתקיים, לכל <math>w \in W</math>, <math>\,f_{T^*w} = T^*f_w</math>; כלומר, לכל <math>v \in V</math>, <math>(v,T^*w) = f_{T^*w}(v) = T^*f_w(v) = f_w(Tv) = (Tv,w)</math>. כך השוויון <math>(v,T^*w)=(Tv,w)</math> מגדיר את האופרטור החדש <math>T^* \colon W \rightarrow V</math>.

במקרה של מכפלה פנימית [[אופרטור הרמיטי|הרמיטית]], כגון מכפלה פנימית מעל [[שדה המספרים המרוכבים]] שבה מתקיים <math>(x,\alpha y) = \bar{\alpha}(x,y)</math>, הזיהוי של <math>V</math> עם המרחב הדואלי הוא דרך פעולה צמודה של הסקלרים, ולכן במקרה זה יש לקרוא את נוסחת הכפל בסקלר שהוזכרה לעיל כך: <math>(\alpha T)^* = \bar{\alpha}T^*</math>. 

במקרה המיוחד בו <math>V = W</math>, הליניאריות של פעולת ההצמדה, יחד עם חוק הכפל <math>(ST)^*=T^*S^*</math>, הופכים את ההצמדה ל[[אינוולוציה (תורת החוגים)|אינוולוציה]] של [[חוג האנדומורפיזמים]] <math>\operatorname{End}(V)</math> (שאבריו הם כל האופרטורים הליניאריים מ-<math>V</math> ל-<math>V</math>). 

=== ההגדרה של העתקה צמודה ===
ההעתקה הצמודה (או הטרנספורמציה הצמודה) היא [[העתקה ליניארית]] אשר מקיימת <math>\langle T u,v \rangle = \langle u,T^* v \rangle</math> והיא תואמת במשמעותה את ה[[מטריצה צמודה|מטריצה הצמודה.]]

<math>T^*</math> מוגדרת על ידי <math>T^*v = \sum_{i=1}^N \overline{\langle Tw_i,v \rangle} w_i</math>.

=== תכונות של העתקה צמודה ===
התכונות הבאות מתקיימות על ידי העתקה צמודה:
# <math>(T^*)^* = T</math>
# <math>(S+T)^*=S^*+T^*</math>
# <math>(aT)^*=\bar{a}T^*</math>
# אם <math>T</math> הפיכה אז גם <math>T^*</math> הפיכה.

=== אופרטורים מיוחדים ===

לכל אופרטור <math>T \colon V \rightarrow V</math>, כאשר <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית, יש משמעות להרכבות <math>TT^*, T^*T</math>, ששתיהן העתקות <math>V \rightarrow V</math>, ולכן אפשר להשוות ביניהן. אם <math>TT^* = T^*T</math> ההעתקה נקראת [[העתקה נורמלית|נורמלית]]. אם <math>TT^*</math> היא הזהות ההעתקה נקראת אוניטרית (ובהקשר מעט שונה [[העתקה אורתוגונלית|אורתוגונלית]]). אם <math>T^* = T</math> ההעתקה היא [[העתקה הרמיטית|הרמיטית]].

== מטריצות ==
{{ערך מורחב|מטריצה צמודה}}
בין מרחבים וקטוריים מממד סופי אפשר לתאר כל העתקה ליניארית באמצעות מטריצה, על ידי בחירת [[בסיס (אלגברה ליניארית)|בסיס]] לכל מרחב. בפרט, עבור מרחבי הווקטורים הסטנדרטיים, בחירת הבסיס הסטנדרטי כבסיס מייצג מאפשרת לחשב את האופרטור הצמוד בקלות:
<math display="block">(A^*)_{ij} = \overline{A_{ji}}</math>
כלומר: המטריצה של האופרטור הצמוד מתקבלת מהפעלת [[שחלוף (מתמטיקה)|שחלוף]] ו[[הצמוד המרוכב|הצמדה מרוכבת]] על המטריצה המקורית.

== ראו גם == 
* [[מרחב דואלי]]

[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]