הצגת המקור של הדף "אוריינטציה (אלגברה ליניארית)"

[[קובץ:Cartesian_coordinate_system_handedness.svg|שמאל|ממוזער|250px|ניתן לראות בתמונה את האוריינטציה השמאלית (בצד שמאל) ואת הימנית (בצד ימין).]]
ב[[אלגברה ליניארית]] '''אוריינטציה''' היא  מבנה על מרחב ליניארי [[שדה המספרים הממשיים|ממשי]] שמשמעותו האינטואיטיבית קשורה לכיוון. להלן מספר דוגמאות:
* על ישר, אפשר לחשוב על אוריינטציה כעל בחירת כיוון התקדמות לאורך ה[[ישר]].
* על [[מישור (גאומטריה)|מישור]] אפשר לחשוב על אוריינטציה כבחירת כיוון סיבוב (עם כיוון השעון או נגד כיוון השעון).
* במרחב, אפשר לחשוב על אוריינטציה כעל בחירה של [[כלל יד ימין]]. 

אוריינטציה על [[מרחב וקטורי]] ממשי כללי, היא בחירה  של איזה [[בסיס (אלגברה)|בסיסים]] ([[סדר מלא|סדורים]]) יקראו חיוביים, ואיזה יקראו שליליים.
==הגדרה==

יהיה <math>V</math> [[מרחב וקטורי|מרחב ליניארי]] [[מספר ממשי|ממשי]] <math>n</math> ממדי.

===הגדרה באמצעות בסיסים===
ניתן להגדיר את המושג אוריינטציה על <math>V</math> כך:

'''הגדרה:'''
'''אוריינטציה''' על <math>V</math> היא [[יחס שקילות#מחלקות שקילות|מחלקת שקילות]] של [[בסיס (אלגברה ליניארית)|בסיסים]] [[סדר מלא|סדורים]] תחת [[יחס שקילות|יחס השקילות]] הבא: שני בסיסים שקולים אם ה[[דטרמיננטה]] של [[מטריצת מעבר|מטריצת המעבר]] ביניהן היא חיובית.{{הערה| Rowland, Todd. "Vector Space Orientation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/VectorSpaceOrientation.html}}

נשים לב כי סדר האיברים בבסיס חשוב. מטריצת המעבר בין שני בסיסים עם סידור שונה היא [[מטריצת תמורה]]. בהתאם, מה שיקבע אם האוריינטציות שלהם יהיו זהות או הפוכות, הוא הדטרמיננטה של מטריצת תמורה זו, או במילים אחרות, הסימן של התמורה.

דרך אחרת להגדיר יחס שקילות זה היא על ידי השאלה הבאה:
האם אפשר [[הומוטופיה|לעבור באופן הדרגתי ורציף]] מבסיס אחד לבסיס אחר, כך שבכל שלב במעבר הווקטורים תמיד יהוו בסיס. אם התשובה לשאלה זו היא חיובית אז הבסיסים שקולים.

מהגדרה זו נובע, שעל כל מרחב ליניארי (לא [[טריוויאלי]]{{הערה|במקרה הטריוויאלי נדון [[#אוריינטציה על נקודה|בהמשך]]}}) יש בדיוק שתי אוריינטציות. בסיס במרחב ליניארי עליו נקבעה אוריינטציה נקרא חיובי אם הוא מגדיר את האוריינטציה שנקבעה כחיובית, ושלילי אם הוא מגדיר את האוריינטציה המנוגדת.

===== אוריינטציה סטנדרטית =====
על מרחבים ליניאריים מסוימים מוגדר [[בסיס (אלגברה)#בסיס סטנדרטי|בסיס סטנדרטי]]. אוריינטציה שבסיס זה מגדיר נקראת '''האוריינטציה הסטנדרטית''' על המרחב. לדוגמה על המרחב <math>\mathbb{R}^n</math> האוריינטציה המוגדרת על ידי הבסיס הסטנדרטי:
<center><math> \left\langle \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} ,\dots, \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ \vdots\ \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \right\rangle</math>.
</center>
נקראת האוריינטציה הסטנדרטית.

באופן דומה, על המרחב הפיזיקאלי הסובב אותנו, [[כלל יד ימין]] מגדיר את האוריינטציה הסטנדרטית. במילים אחרות, כל בסיס מהצורה <math>\langle v,w,v \times w\rangle</math> נקרא חיובי ביחס לאוריינטציה הסטנדרטית. כמו כן, במישור שנמצא מולנו (כמו מישור הלוח או מישור דף הניר) מוגדרת אוריינטציה סטנדרטית על ידי בסיס בו הווקטור הראשון מופנה ימינה והשני למעלה{{הערה|למעשה המרחבים הפיזיקאלים האלו אינם מרחבים ווקטוריים, אלא [[מרחב אפיני|מרחבים אפיניים]]. זאת אמרת, שעל מנת להגדיר עליהם מבנה של מרחב ווקטורי יש לבחור את ראשית הצירים. אולם אין הדבר משנה לצורך הגדרת אוריינטציה.}}.

===הגדרה באמצעות תבניות===
ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על <math>V</math> גם באמצעות <math>n</math>-[[תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית|תבניות אנטי-סימטריות]] (להלן תבניות). תבנית היא [[פונקציה]]<math display="block">\omega:\underset{n \text{ copies }}{\underbrace{V\times\dots\times V}} \to \mathbb R</math>המקיימת:
* <math>\omega</math> ליניארית על פי כל אחד מהמשתנים ב-<math>V</math>
* <math>\omega</math> [[פונקציה אנטי-סימטרית|אנטי-סימטרית]] ביחס להחלפת כל שני משתנים ב-<math>V</math>.
מרחב התבניות הוא חד-ממדי. לכן בין כל שתי תבניות שונות מ-0 ניתן להגדיר את מושג היחס ביניהן (זהו מספר ממשי).
כעת ניתן להגדיר

'''הגדרה''': '''אוריינטציה''' על <math>V</math> היא מחלקת שקילות של תבניות שונות מ-0 תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם היחס ביניהן חיובי.

הגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות בסיס כיוון שלכל בסיס <math>B=\langle e_1,\dots, e_n\rangle</math> ב-<math>V</math> אפשר להתאים תבניות <math>\omega_B</math> באופן הבא: התבנית היחידה המקיימת <math>\omega_B(e_1,\dots,e_n)=1</math>
ה[[דטרמיננטה]] של מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא בדיוק היחס בין התבניות המתאימות להן. מכאן ששני בסיסים שקולים אם ורק אם שתי התבניות המתאימות שקולות.

===אוריינטציה על נקודה===
ההגדרות האלה לא ברורות במקרה ש <math>n=0</math>. במקרה זה המוסכמה היא שיש שתי אוריינטציות אחת מסומנת בסימן + או במספר 1 ונקראת חיובית והשנייה בסימן - או במספר 1- ונקראת שלילית.

==העתקות שומרות אוריינטציה==
[[העתקה ליניארית]]  [[העתקה ליניארית הפיכה|הפיכה]]  מ[[מרחב וקטורי]]  <math>V</math> לעצמו נקראת '''שומרת אוריינטציה''' אם ה[[דטרמיננטה]] שלה היא חיובית{{הערה| Weisstein, Eric W. "Orientation-Preserving." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Orientation-Preserving.html}} ו'''הופכת אוריינטציה''' אם הדטרמיננטה שלה היא שלילית. הגדרה אלטרנטיבית להעתקה שומרת אוריינטציה היא ההעתקה שניתן [[הומוטופיה|לשנות באופן הדרגתי ורציף]] כך שתתקבל בסופו של דבר העתקת הזהות וכך שבכל שלבי הביניים ההעתקה תישאר הפיכה. במילים אחרות, ההעתקות הליניאריות שומרות האוריינטציה הן בדיוק ההעתקות שנמצאת ב[[רכיב קשירות (טופולוגיה)|רכיב הקשירות]] של [[איבר יחידה|היחידה]] [[החבורה הליניארית הכללית|בחבורת ההעתקות ההפיכות]] <math>GL(V)</math>.
===דוגמאות===
* ב-<math>\R^3</math>, סיבוב מסביב ל[[מערכת צירים|ציר]] ה-<math>Z</math> ב[[זווית]] <math>\alpha</math> שומר אוריינטציה.
::<math>
\mathbf {A}_1 = \begin{pmatrix}
  \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\
  -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
  0 & 0 & 1  
\end{pmatrix}
</math>

*  ה[[שיקוף (מתמטיקה)|שיקוף]] לפי [[מישור (גאומטריה)|מישור]] ה-<math>XY</math> הופך אוריינטציה.
::<math>
\mathbf {A}_2 = \begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & -1  
\end{pmatrix}
</math>
* מטריצת [[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] שומרת אוריינטציה [[אם ורק אם]] התמורה המתאימה היא [[תמורה זוגית|זוגית]].

==קשר לאוריינטציה על יריעה==
מושג האוריינטציה על [[מרחב ליניארי]] עומד בבסיס מושג ה[[אוריינטציה (מתמטיקה)|אוריינטציה]] על [[יריעה חלקה]]. אוריינטציה על יריעה חלקה היא בחירה (רציפה) של אוריינטציה על המרחב המשיק בכל נקודה של היריעה. בשונה ממרחבים ליניאריים, לא על כל יריעה חלקה יש אוריינטציה. יריעה חלקה שעליה ניתן לבחור אוריינטציה נקראת [[יריעה אוריינטבילית|אוריינטבילית]].

הגדרת מושג ה[[אוריינטציה (מתמטיקה)|אוריינטציה]] על [[יריעה טופולוגית]] כללית בדרך כלל לא מתבססת על מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי, אולם מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי מספק אינטואיציה טובה עבור הגדרת המושג [[אוריינטציה (מתמטיקה)|אוריינטציה]] על יריעה טופולוגית כללית.

==ראו גם==
*[[אוריינטציה (מתמטיקה)]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

{{אוריינטציה}}
{{אלגברה ליניארית}}
[[קטגוריה:גאומטריה אנליטית]]
[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]