הצגת המקור של הדף "אוריינטציה (מתמטיקה)"

[[קובץ:Torus.png|שמאל|ממוזער|260px|[[טורוס]] - [[יריעה]] [[אוריינטביליות|אוריינטבילית]]. לטורוס שני צדדים - הפנימי (אינו נראה לצופה) והחיצוני (נראה לצופה), ובהתאם שתי אוריינטציות]]
[[קובץ:Möbius strip.jpg|שמאל|ממוזער|260px|[[טבעת מביוס]] - [[יריעה]] לא [[אוריינטביליות|אוריינטבילית]]]]
{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]] ובפרט ב[[טופולוגיה]] ו[[גאומטריה]], '''אוריינטציה''' היא [[מבנה (מתמטיקה)|מבנה]] שניתן (לעיתים), להגדיר על אובייקט גאומטרי. בדרך כלל, מגדירים את המבנה על [[יריעה]], אך לא על כל יריעה ניתן להגדיר אוריינטציה. יריעה שעליה ניתן להגדיר
אוריינטציה נקראת '''[[אוריינטביליות|אוריינטבילית]]'''. על יריעה אוריינטבילית [[מרחב קשיר|קשירה]] ניתן להגדיר בדיוק שתי אוריינטציות. שתי האוריינטציות האלה נקראות [[איבר הופכי|מנוגדות]] (או לעיתים הפוכות). אם מסמנים אחת מהן ב-<math>o</math> אז את השנייה מסמנים ב-<math>-o</math>. יריעה אוריינטבילית שעליה נקבעה אוריינטציה נקראת '''מכוונת''' (oriented).

המשמעות ה[[אינטואיציה|אינטואיטיבית]] של אוריינטציה היא כיוון. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על [[עקומה|עקום]], שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. ב[[ממד (מתמטיקה)|ממדים]] גבוהים יותר, מושג האוריינטציה הופך מורכב, אך במקרים מסוימים עדיין ניתן לתארו בצורה אינטואיטיבית. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על [[משטח (טופולוגיה)|משטח]] במרחב, שקולה לבחירת "צד" של המשטח. כיוון של[[טבעת מביוס]] לא ניתן "לבחור צד", היא אינה אוריינטבילית.

באופן פורמלי, ניתן להגדיר את המושג [[אוריינטציה (אלגברה ליניארית)|אוריינטציה]] על [[מרחב ליניארי]] ממשי בתור [[מחלקת שקילות]] של [[בסיס (אלגברה ליניארית)|בסיסים]] תחת [[יחס שקילות|יחס השקילות]] הבא: שני בסיסים שקולים אם ה[[דטרמיננטה]] של [[מטריצת מעבר|מטריצת המעבר]] ביניהם היא חיובית.

אוריינטציה על [[יריעה חלקה]] היא אוריינטציה על [[המרחב המשיק]] לכל נקודה "התלויה באופן [[רציפות|רציף]]" בנקודה.
באופן פורמלי, על יריעה חלקה <math>n</math> ממדית ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה בתור מחלקת שקילות של [[תבנית דיפרנציאלית|תבניות דיפרנציאליות]] הפיכות{{הערה|זאת אומרת, תבניות שאינן מתאפסות באף נקודה.}} ממעלה <math>n</math> תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.

על [[יריעה טופולוגית]] <math>n</math>-[[ממד (מתמטיקה)|ממד]]ית קשירה <math>X</math> ו[[יריעה סגורה|סגורה]] {{אנג|Closed manifold}} בחירת אוריינטציה שקולה לבחירת [[חבורה (מבנה אלגברי)#יוצרים ויחסים|יוצר]] של [[חבורה אבלית|חבורת]] [[הומולוגיה של מרחב טופולוגי|ההומולוגיה]] העליונה{{הערה|אם חבורה זו [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלית]] אז היריעה איננה אוריינטבילית}} <math>H_{n}(X;\mathbb{Z})</math>. יוצר זה נקרא [[המחלקה היסודית]] של היריעה.
על יריעה טופולוגית <math>n</math>-ממדית <math>X</math> כללית ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה בתור התאמה "רציפה" של יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית <math>H_{n}(X,X-\{x\};\mathbb{Z})</math> עבור כל <math>x \in X</math>.

בניות רבות ב[[גאומטריה]] בכלל ו[[טופולוגיה דיפרנציאלית]] בפרט, מתבססת על בחירת אוריינטציה. למשל, [[מכפלה וקטורית]] ב[[מרחב אוקלידי]] (תלת־ממדי), [[אינטגרל|אינטגרציה]] של [[תבנית דיפרנציאלית]] על יריעה, [[מעלה של העתקה]] {{אנג|Degree of a continuous mapping}} בין שתי יריעות (מאותו ממד), [[אינדקס חיתוך]]{{הערה|{{אנציקלופדיה למתמטיקה|Intersection_index_(in_homology)|אינדקס חיתוך}}.}} של שתי תת-יריעות (מממדים משלימים), [[דואליות פואנקרה]] {{אנג|Poincaré duality}}, ו[[קובורדיזם]] {{אנג|Cobordism}}. כמו כן, ניתן להגדיר כמה [[שמורה (מתמטיקה)|אינווריאנטים]] של יריעות באמצעות מושג האוריינטציה. למשל, אוריינטביליות ו[[כיסוי האוריינטציות]].

בניות המתבססות על מושג האוריינטציה תלוית בדרך כלל ב"[[מוסכמת סימן|מוסכמות סימן]]", כגון [[כלל יד ימין]], מושג [[הכיוון החיובי]]{{הערה|נגד כיוון השעון}} וכדומה. בערך זה נשתמש במוסכמות המקובלות ביותר, אך ישנן גם מוסכמות אחרות הנמצאות בשימוש.

==מבוא אינטואיטיבי==
מושג האוריינטציה הוא מופשט, וקשה באופן כללי לתיאור אינטואיטיבי, אולם במקרים פרטיים הדבר אפשרי.
===אוריינטציה על עקום===
[[קובץ:2orint_on_circ.png|שמאל|ממוזער|150px|שתי האוריינטציות על ה[[מעגל]]]]
בחירת אוריינטציה על עקום שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. באופן גרפי מקובל לעשות זאת על ידי סימון חץ על העקום. אם העקום אינו [[מרחב קשיר|קשיר]], יש לשים חץ על כל [[מרחב קשיר#רכיבי קשירות|רכיב קשירות]].
מכאן אנו רואים שמספר האוריינטציות על עקום עם <math>n</math> רכיבי קשירות הוא <math>2^n</math>. עובדה זו נכונה גם בממדים גבוהים יותר.

אם העקום נמצא ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] אז בחירת כיוון התקדמות לאורך העקום שקולה לבחירת צד של העקום באופן הבא: אנו מתאימים לכיוון התקדמות מסוים את הצד שנמצא לימיננו כאשר אנו מתקדמים לאורך העקום בכיוון הנבחר.

===אוריינטציה על משטח במרחב===
[[קובץ:Surface normal.png|שמאל|ממוזער|150px|בחירת [[שדה וקטורי|שדה]] [[וקטור נורמלי|נורמלי]]{{הערה|שם=שדה}} ל[[משטח (טופולוגיה)|משטח]] או במילים אחרות "בחירת צד", מגדירה אוריינטציה על המשטח]]
אמנם לא ברור מה המשמעות של "כיוון התקדמות לאורך משטח" אבל ניתן לבחור צד ל[[משטח (טופולוגיה)|משטח]] הנמצא במרחב,
בחירה כזאת מגדירה אוריינטציה על המשטח. בחירת צד של המשטח שקולה לבחירת [[שדה וקטורי]] [[וקטור נורמלי|נורמלי]]{{הערה|שם=שדה|שדה וקטורי נורמלי למשטח הוא התאמה של וקטור באורך יחידה לכל נקודה במשטח המאונך למשטח בנקודה זאת.}} למשטח המכוון לעבר הצד הנבחר. הגדרה זו של אוריינטציה ניתנת להכללה לממדים גבוהים יותר, אולם היא תקפה רק ל[[משטח-על|משטחי-על]] {{אנג|Hypersurface}}, זאת אומרת ליריעות <math>k</math> ממדיות ב[[מרחב אוקלידי|<math>\mathbb{R}^{k+1}</math>]].

בחירת שדה נורמלי למשטח מגדירה, באמצעות [[כלל יד ימין]], כיוון סיבוב במשטח. בחירה של כיוון כזה היא דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על המשטח.

===אוריינטציה על מרחב אוקלידי ומכפלה וקטורית===
[[קובץ:R hand Rule.png|שמאל|ממוזער|150px|[[כלל יד ימין]]. לכלל זה יש משמעות רק במרחב עליו נקבעה אוריינטציה]]
כדי להמחיש את מושג האוריינטציה על [[מרחב אוקלידי]] תלת-ממדי נשתמש במושג ה[[מכפלה וקטורית|מכפלה הווקטורית]]. נשים לב כי מושג המכפלה הווקטורית מוגדר רק עבור מרחבים אוקלידיים ספציפיים, למשל <math>\mathbb{R}^3</math> או [[מרחב (פיזיקה)|המרחב הפיזי הסובב אותנו]]. לא ניתן להגדיר מכפלה וקטורית על מרחב אוקלידי תלת-ממדי מופשט. הסיבה לכך היא [[כלל יד ימין|שלכלל יד ימין]] אין משמעות במרחב אוקלידי מופשט. ניתן להתייחס אל מושג האוריינטציה בתור המבנה שנדרש כדי שלכלל יד ימין תהיה משמעות.

על כל מרחב אוקלידי תלת-ממדי ניתן להגדיר מכפלה וקטורית (ולתת משמעות לכלל יד ימין) על ידי בחירת [[מערכת אורתונורמלית שלמה|בסיס אורתונורמלי]] (סדור) למרחב{{הערה| בחירת בסיס מזהה את המרחב עם <math>\mathbb{R}^3</math> שבו המכפלה הווקטורית מגדרת.}}. אולם בסיסים שונים עלולים לתת תוצאות [[איבר נגדי|מנוגדות]]. ניתן להראות שאם [[דטרמיננטה|דטרמיננטת]] [[מטריצת מעבר|מטריצת המעבר]] בין שני בסיסים היא 1 אז הם יובילו לאותה תוצאה. אולם אם דטרמיננטה זו היא 1- אז התוצאות תהיינה מנוגדות{{הערה|מטריצת המעבר בין שני בסיסים ארתונורמלים היא [[מטריצה אורתוגונלית|אורתוגונלית]], ולכן הדטרמיננטה שלה היא ±1}}. לאור אבחנה זו, ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על מרחב אוקלידי בתור מחלקת שקילות של בסיסים אורתונורמליים תחת יחס השקילות הבא: שני בסיסים אורתונורמלים שקולים אם דטרמיננטת מטריצת המעבר ביניהן היא 1. הגדרה זו תקפה לממדים גבוהים יותר, אולם מוגבלת למרחבים אוקלידיים{{הערה|אם להחליף את המספר 1 במספר חיובי כלשהו היא תהייה תקפה למרחבים ליניאריים}}.

===העתקות שומרות אוריינטציה===
[[קובץ:ori_pres_map.png|שמאל|ממוזער|175px|דרך נוספת להבין אם העתקה שומרת אוריינטציה היא, לכתוב על פיסת בד מילה. אם אחרי הפעלת ההעתקה הכתב הופך ל[[כתב ראי]] אז ההעתקה הופכת אוריינטציה. אם הוא נשאר כתב "רגיל" (עשוי להיות מסובב או מעוות) ההעתקה שומרת אוריינטציה.
]]
ניתן לגשת למושג האוריינטציה דרך המושג של העתקות שומרת אוריינטציה{{הערה|באופן דומה מושג ה[[יריעה חלקה|יריעה החלקה]] מבוסס על המושג (הפשוט יותר) של העתקה חלקה מ <math>\mathbb{R}^{n}</math> לעצמו.}}.
נתרכז תחילה במקרה הדו-ממדי. כל יריעה דו-ממדית נראית מקומית כקבוצה פתוחה במישור. ניתן לחשוב על קבוצה כזו כעל פיסת בד גמישה מאוד. נניח את היריעה על המישור ונצבע את צידה העליון של היריעה בשחור ואת התחתון בלבן. העתקה מהיריעה למישור היא תהליך שלוקח כל נקודה ביריעה לנקודה חדשה במישור. העתקה כזאת נקראת [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|רציפה]] אם היא אינה קורעת את היריעה. ההעתקה נקראת [[פונקציה חד-חד-ערכית|שיכון]] אם נקודות שנות עוברות לנקודות שנות. שיכון רציף שומר אוריינטציה אם הצד השחור נשאר למעלה.

דרך אחרת להבין אם העתקה שומרת אוריינטציה היא להחליף את פיסת הבד בפיסה שקופה, לצייר עליה ציור של אדם העונד שעון על ידו השמאלית ולהפעיל את ההעתקה. האדם עלול להסתובב ולהתעוות. אולם אם עדיין השעון נמצא על ידו השמאלית אז ההעתקה שומרת אוריינטציה, אם השעון נראה על ידו הימנית אז ההעתקה הופכת אוריינטציה. תיאור זה מראה כי סיבובים שומרים אוריינטציה בעוד ששיקופים הופכים אותה.

באופן כללי [[העתקה ליניארית]] שומרת אוריינטציה [[אם ורק אם]] הדטרמיננטה שלה חיובית. העתקה חלקה שומרת אוריינטציה אם ורק אם ה[[המרחב_המשיק#דיפרנציאל של העתקה בין יריעות|דיפרנציאל]] שלה בכל נקודה שומר אוריינטציה. עובדה זו תקפה לממדים גבוהים יותר.
===אוריינטציה וטריאנגולציה===
{{הפניה לערך מורחב|טריאנגולציה (גאומטריה)}}
=====טריאנגולציה של משטחים=====
{{עוגן|אוריינטציה מתאימה על שני משולשים|[[קובץ:comp_orient.svg|ימין|ממוזער|200px|אוריינטציה מתאימה על שני משולשים.
ה[[סדר ציקלי|סדר הציקלי]] {{אנג|Cyclic order}} על [[קודקוד]]י ה[[משולש]] הראשון הוא ABC ועל השני הוא CBD. על הצלע BC אנו מקבלים שני סדרים מנוגדים]]}}
[[טריאנגולציה]] היא חלוקה של משטח ל[[משולש]]ים באופן ששני משולשים יכולים לגעת אחד בשני רק לאורך [[צלע (גאומטריה)|צלע]] (מלאה) או [[קודקוד]]. לאחר שביצענו טריאנגולציה למשטח, ניתן להגדר אוריינטציה על המשטח בתור בחירת אוריינטציה על כל אחד מהמשולשים באופן תואם עבור משולשים שכנים.

אוריינטציה על משולש היא בחירה של [[סדר ציקלי]] {{אנג|Cyclic order}} על קודקודי המשולש. זאת אומרת כיוון התקדמות מחזורי בין הקודקודים שבו לא נקבע מי הקודקוד הראשון, אבל לכל קודקוד נקבע מי הבא אחריו.

שתי אוריינטציות על משולשים צמודם נקראות מתאימות אם שני הסדרים המושרים על הצלע המשותפת מנוגדים. זאת אומרת שאם BC היא הצלע המשותפת אז באחד המשולשים B יבוא (מיד) לפני C, ובאחר C יבוא (מיד) לפני B ([[#אוריינטציה מתאימה על שני משולשים|ראה איור]]).

לאחר שקבענו אוריינטציה על משולש אחד. יש דרך יחידה לקבוע אוריינטציה על המשולשים השכנים, וכך הלאה. לכן על כל יריעה קשירה יש לא יותר משתי אוריינטציות. אולם לא תמיד ניתן לבחור אוריינטציה על כל המשולשים באופן מתאים. לכן חלק מהמשטחים אינם אוריינטבילים, כמו [[טבעת מביוס]] או [[בקבוק קליין]].
{{-}}
{{תמונות מרובות
 |כותרת = דוגמאות של אוריינטציה באמצעות טריאנגולציות
 | כיוון = אופקי

 | תמונה1 =Ori mob trig.png
 | רוחב1 = 295
 | הערה1 = <center>ניסיון כושל להגדיר אוריינטציה על [[טבעת מביוס]]. על המשולש האדום לא ניתן להגדיר אוריינטציה מתאימה לשני שכניו בו זמנית.
</center>

 | תמונה2 = Ori sph trig.png
 | רוחב2 = 205
 | הערה2 = <center>אוריינטציה על ה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]]</center>

 | תמונה3 = Ori tor trig.png
 | רוחב3 = 308
 | הערה3 = <center>אוריינטציה על ה[[טורוס]]</center>
|יישור=מרכז}}

=====המקרה הרב ממדי=====
גם על יריעות רב ממדיות ניתן לעיתים להגדיר אוריינטציה בדרך זאת. אולם צריך לבצע מספר שינויים בהגדרה, ויש לשיטה זאת מספר מגבלות:
* טריאנגולציה (שילוש) של יריעה רב ממדית היא חלוקה שלה ל[[סימפלקס]]ים במקום למשולשים
* אוריינטציה על סימפלקס איננה סדר ציקלי על קודקודיו, אלא מחלקת שקילות של יחסי סדר (מלאים) על קודקודיו תחת יחס השקילות הבא: שני יחסי סדר שקולים אם ה[[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] המעבירה ביניהם היא [[תמורה זוגית]].
* יש לשנות בהתאם את מושג ההתאמה בין אוריינטציות על סימפלקסים שכנים.
* החל מממד 4 יש [[יריעה טופולוגית|יריעות טופולוגיות]] שלא ניתן לבצע להם טריאנגולציה. מסיבה זאת, לא ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה באופן כללי באמצעות טריאנגולציה.

==אוריינטציה על מרחב ליניארי==
{{הפניה לערך מורחב|אוריינטציה (אלגברה ליניארית)}}
יהיה <math>V</math> [[מרחב וקטורי|מרחב ליניארי]] [[מספר ממשי|ממשי]] <math>n</math> ממדי.

===הגדרה באמצעות בסיסים===
ניתן להגדיר את המושג האוריינטציה על <math>V</math> כך:

'''הגדרה:'''
'''אוריינטציה''' על <math>V</math> היא [[יחס שקילות#מחלקות שקילות|מחלקת שקילות]] של [[בסיס (אלגברה ליניארית)|בסיסים]] [[סדר מלא|סדורים]] תחת [[יחס שקילות|יחס השקיליות]] הבא: שני בסיסים שקולים אם ה[[דטרמיננטה]] של [[מטריצת מעבר|מטריצת המעבר]] ביניהן היא חיובית.

מהגדרה זו נובע, שעל כל מרחב ליניארי (לא [[טריוויאלי]]{{הערה|במקרה הטריוויאלי נדון [[#אוריינטציה על נקודה|בהמשך]]}}) יש בדיוק שתי אוריינטציות. בסיס במרחב ליניארי עליו נקבעה אוריינטציה נקרא חיובי אם הוא מגדיר את האוריינטציה שנקבעה ושלילי אם הוא מגדיר את האוריינטציה המנוגדת.

===== אוריינטציה סטנדרטית =====
על מרחבים ליניאריים מסוימים מוגדר [[הבסיס_הסטנדרטי#.D7.91.D7.A1.D7.99.D7.A1_.D7.A1.D7.98.D7.A0.D7.93.D7.A8.D7.98.D7.99|בסיס סטנדרטי]].
אוריינטציה שבסיס זה מגדיר נקראת '''האוריינטציה הסטנדרטית''' על המרחב. לדוגמה על המרחב <math>\mathbb{R}^n</math>
האוריינטציה המוגדרת על ידי הבסיס הסטנדרטי:
<center><math> \left\langle \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} ,\dots, \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ \vdots\ \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \right\rangle</math>.
</center>
נקראת האוריינטציה הסטנדרטית.

באופן דומה, על המרחב הפיזיקאלי הסובב אותנו, [[כלל יד ימין]] מגדיר את האוריינטציה הסטנדרטית. במילים אחרות, כל בסיס מהצורה <math>\langle v,w,v \times w\rangle</math> נקרא חיובי ביחס לאוריינטציה הסטנדרטית.
כמו כן,
במישור שנמצא מולנו (כמו מישור הלוח או מישור דף הניר) מוגדרת אוריינטציה סטנדרטית על ידי בסיס בו הווקטור הראשון מופנה ימינה והשני למעלה{{הערה|למעשה המרחבים הפיזיקאלים האלו אינם מרחבים ווקטוריים, אלא [[מרחב אפיני|מרחבים אפיניים]]. זאת אמרת, שעל מנת להגדיר עליהם מבנה של מרחב ווקטורי יש לבחור את ראשית הצירים. אולם אין הדבר משנה לצורך הגדרת אוריינטציה.}}.

===הגדרה באמצעות תבניות===
ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על <math>V</math> גם באמצעות [[תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית|<math>n</math>-תבניות אנטי-סימטריות]] (להלן תבניות). תבנית היא [[פונקציה]]
<math display="block">\omega:\underset{n \text{ copies }}{\underbrace{V\times\dots\times V}} \to \mathbb R</math>
המקיימת:
* <math>\omega</math> ליניארית על פי כל אחד מהמשתנים ב-<math>V</math>
* <math>\omega</math> [[פונקציה אנטי-סימטרית|אנטי-סימטרית]] ביחס להחלפת כל שני משתנים ב-<math>V</math>.
מרחב התבניות הוא חד-ממדי. לכן בין כל שתי תבניות שונות מ-0 ניתן להגדיר את מושג היחס ביניהן (זהו מספר ממשי).
כעת ניתן להגדיר

'''הגדרה''': '''אוריינטציה''' על <math>V</math> היא מחלקת שקילות של תבניות שונות מ-0 תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם היחס ביניהן חיובי.

הגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות בסיס כיוון שלכל בסיס <math>B=\langle e_1,\dots, e_n\rangle</math> ב-<math>V</math> אפשר להתאים תבניות <math>\omega_B</math> באופן הבא: התבנית היחידה המקיימת <math>\omega_B(e_1,\dots,e_n)=1</math>
ה[[דטרמיננטה]] של מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא בדיוק היחס בין התבניות המתאימות להן. מכאן ששני בסיסים שקולים אם ורק אם שתי התבניות המתאימות שקולות.

===אוריינטציה על נקודה===
ההגדרות האלו לא ברורות במקרה ש <math>n=0</math>. במקרה זה המוסכמה היא שיש שתי אוריינטציות אחת מסומנת בסימן + או במספר 1 ונקראת חיובית והשנייה בסימן - או במספר 1- ונקראת שלילית.

===משיכה ודחיפה של אוריינטציה (תחת איזומורפיזם)===
{{הפניה לערך מורחב|ערכים=[[משיכה לאחור]], [[דחיפה קדימה]]}}
יהי <math>\pi:V \to W</math> [[איזומורפיזם]] של מרחבים ליניאריים. כל תבנית <math>\omega</math> על <math>W</math> מגדירה תבנית <math>\pi^*(\omega)</math> על <math>V</math> באופן הבא: <math display="block">\pi^*(\omega)(v_1,\dots, v_n)=\omega(\pi(v_1),\dots,\pi(v_n)).</math>
בצורה זו ניתן להגדיר אוריינטציה <math>\pi^*(o)</math> עבור כל אוריינטציה <math>o</math> על <math>W</math>
תהליך זה נקרא '''[[משיכה לאחור]]''' {{אנג|Pullback}} של אוריינטציה.
ניתן גם להגדיר '''[[דחיפה קדימה]]''' {{אנג|Pushforward}} של אוריינטציה על ידי <math display="block">\pi_*(o):=(\pi^{-1})^*(o).</math>

==אוריינטציה על יריעה חלקה==
תהי <math>M</math> יריעה חלקה מממד <math>n</math>.
===הגדרה===
אוריינטציה <math>o</math> על <math>M</math> היא התאמה של אוריינטציה <math>o_x</math> על [[המרחב המשיק]] לכל נקודה <math>x \in X</math> "התלויה באופן [[רציפות|רציף]]" בנקודה <math>x</math>.
=====הגדרה באמצעות תבניות=====
אפשר להגדיר את המשמעות של "תלויה באופן רציף" בעזרת [[תבנית דיפרנציאלית|תבניות דיפרנציאליות]].
תבנית דיפרנציאלית ממעלה <math>n</math> (להלן תבנית דיפרנציאלית) היא התאמה חלקה של [[תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית|<math>n</math>-תבניות אנטי-סימטריות]] על המרחב המשיק <math>T_xM</math> עבור כל <math>x \in M</math>.
תבנית דיפרנציאלית נקראת הפיכה אם היא אינה מתאפסת באף נקודה.
כעת ניתן להגדיר

'''הגדרה''': <math>M</math> נקראת '''אוריינטבילית''' אם קיימת עליה תבנית הפיכה{{הערה|שם=vol|לעיתים מכנים תבנית דיפרנציאליות הפיכות "תבנית נפח". כינוי זה עלול לבלבל כי לעיתים הוא מתייחס ל[[צפיפיוית|אגד הצפיפויות]]}}. '''אוריינטציה''' על <math>M</math> היא מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.

נשים לב שבהגדרה זו לא ניתן להשתמש בבסיסים במקום בתבניות, מכיוון שקימות יריעות אוריינטביליות שאינן [[יריעה ניתנת למיקבול|ניתנות למיקבול]] {{אנג|Parallelizable manifold}} (זאת אומרת יריעות שאי-אפשר לבחור עבור כל נקודה <math>x\in M</math> שלהן בסיס למרחב המשיק <math>T_x(M)</math> בצורה שתלויה באופן חלק ב-<math>x</math>){{הערה|הסיבה לכך היא שלהבדיל ממחלקת שקילות של תבניות, מחלקת שקילות של בסיסים אינה [[קבוצה_קמורה|קמורה]], (ואף אינה [[מרחב כוויץ|כוויצה]])}}.

=====הגדרה באמצעות אטלסים ומפות=====
דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על <math>M</math> היא לחזור על ההגדרה של יריעה חלקה אך להחליף את ההעתקות החלקות בהעתקות שומרות אוריינטציה.

'''הגדרה''': תהיינה <math>U,V \subset \R^n</math> קבוצות פתוחות. [[דיפאומורפיזם]] <math>\phi:U\to V</math> נקרא '''שומר אוריינטציה''' אם הדיפרנציאל שלו בכל נקודה שומר אוריינטציה (זאת אומרת בעל דטרמיננטה חיובית). [[אטלס חלק]]{{הערה|אטלס חלק על יריעה חלקה הוא אוסף של דיפאומורפיזמים <math>\phi_\alpha:U_\alpha \to \R^n</math> מתתי-קבוצות פתוחות של <math>M</math>}} על <math>M</math> נקרא '''אוריינטבילי''' אם העתקות המעבר{{הערה|1=<math>\varphi_{\alpha\beta} = \varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}|_{\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)} \colon \varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta) \to \varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta).</math>}} שלו הן שומרות אוריינטציה. '''אוריינטציה''' על <math>M</math> היא אטלס חלק אוריינטבילי מקסימלי.

ניתן להראות בעזרת [[חלוקת יחידה|חלוקת היחידה]] שהגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות תבניות{{הערה|כאן אנו משתמשים בכך שמחלקת שקילות של תבניות קמורה.}}.

===אוריינטציה מושרית על היפר-משטח ועל שפה של יריעה===
[[קובץ:Orientation_on_disk.svg|שמאל|ממוזער|150px|האוריינטציה הסטנדרטית על העיגול משרה, בעזרת הנורמל החיצוני, אוריינטציה על המעגל. הזוג המורכב מהנורמל החיצוני בנקודה על המעגל ומוקטור משיק בכיוון האוריינטציה על המעגל מהווה בסיס חיובי במישור]]
[[קובץ:Surface_orientation.gif|שמאל|ממוזער|200px|נורמל למשטח מגדיר אוריינטציה על המשטח, אותה ניתן להמחיש על ידי כיוון סיבוב על המשטח. אוריינטציה על המשטח מגדירה אוריינטציה על השפה שלו.]]

נקבע אוריינטציה <math>o</math> על <math>.M</math>
יהי <math>N \subset M </math> [[משטח-על]] {{אנג|Hypersurface}} ב-<math>M</math> (זאת אומרת [[תת-יריעה]] {{אנג|Submanifold}} <math>n-1</math> ממדית).

[[שדה וקטורי|שדה]] [[טרנסברסליות|טרנסברסלי]] {{אנג|Transversality (mathematics)|transverse}} <math>\xi</math> על <math>N \subset M </math> הוא התאמה של ווקטור משיק <math>\xi_x\in T_xM</math> ל <math>M</math> בכל נקודה <math>x \in N</math> כך ש־<center><math>\xi_x\notin T_xN.</math>
</center>
בהינתן שדה טרנסברסלי <math>\xi</math> על <math>N</math>, האוריינטציה <math>o</math> משרה אוריינטציה <math>o_N</math> על <math>N</math> באופן הבא: תהי <math>\omega</math> תבנית המייצגת את <math>o</math>. נגדיר תבנית <math>\eta</math> על <math>N</math> על ידי <center><math>\eta_x(v_1,\dots, v_{n-1}):=\omega_x(\xi_x,v_1,\dots, v_{n-1}).</math></center> נגדיר את <math>o_N</math> להיות מחלקת השקילות של <math>.\eta</math>

במקום שדה טרנסברסלי ניתן להשתמש בשדה נורמלי לא מתאפס. שדה נורמלי הוא חתך חלק של [[האגד הנורמלי]] {{אנג|Normal bundle}} <math>.Norm_N^M:=(T_M)|_N/T_N</math> במילים אחרות שדה נורמלי הוא התאמה חלקה של ווקטור במרחב המנה <math>Norm_{N,x}^M:=T_x M/T_xN</math> לכל נקודה <math>.x\in N</math>{{הערה|השם נורמלי עלול להטעות, מכיוון שהמרחב הנורמלי <math>Norm_{N,x}^M</math> אינו תת-מרחב במרחב המשיק <math>T_xM</math> ולכן לא יכול להיות מאונך ל-<math>T_xN</math>. אבל בהינתן [[מטריקה רימנית]] על <math>M</math> ניתן לזהות את המרחב הנורמלי עם האנך ל-<math>T_xN</math> בתוך <math>.T_xM</math>}}

שני שדות נורמליים יגדירו את אותה אוריינטציה אם המנה ביניהם היא פונקציה חיובית.
במקרה שעל <math>M</math> נתונה [[מטריקה רימנית]] בנוסף לאוריינטציה <math>o</math>, אנו מקבלים [[התאמה חד-חד-ערכית ועל]] בין אוריינטציות על <math>N</math> ושדות נורמלים באורך יחידה על <math>N</math>.
כיוון שעל <math>\R^n</math> יש אוריינטציה ומטריקה רימנית סטנדרטית, בחירה של שדה נורמלי על היפר-משטח <math>N</math> ב-<math>\R^n</math> שקולה לבחירת שדה נורמלי באורך יחידה על <math>,N</math> בדומה למוסבר ב[[#אוריינטציה על משטח במרחב|מבוא]].

=====יריעה עם שפה=====
אם <math>M</math> היא [[יריעה עם שפה]] {{אנג|Manifold with boundary|Manifold with boundary}} אז השפה <math>\partial M</math> של <math>M</math> היא היפר-משטח ב-<math>M</math>. ניתן (בעזרת חלוקת היחידה) לבחור שדה טרנסברסלי חיצוני על <math>.\partial M</math> זאת אומרת שדה טרנסברסלי על <math>\partial M</math> אשר לא נמצא ב[[חצי-מרחב משיק|חצי-מרחב המשיק]]{{הערה|חצי-מרחב משיק ליריעה עם שפה <math>M</math> בנקודה <math>x</math> על השפה, הוא [[חצי-מרחב]] בתוך המרחב המשיק <math>T_xM</math> המכיל את הכיוונים המפנים לתוך <math>M</math>}} ל <math>M</math> באף נקודה <math>.x \in \partial M</math> האוריינטציה ששדה זה מגדיר נקראת '''האוריינטציה המושרית''' על <math>.\partial M</math>
קל לראות שאוריינטציה זו לא תלויה בבחירת השדה הטרנסברסלי החיצוני.

'''הערה:''' אף על פי שהבניות בפרק זה [[מוגדר_היטב|מוגדרות היטב]] הן תלוית במוסכמות סימן שרירותיות למדי: האוריינטציה הסטנדרטית על <math>\R^n</math>, העדפת הנורמל החיצוני על הפנימי והצבת השדה הנורמלי בתור המשתנה הראשון ולא האחרון.
=====שימושים=====
בעזרת [[משפט העקום של ז'ורדן|משפט ז'ורדן]] {{אנג|Jordan curve theorem}} ניתן להסיק מתהליך השראת האוריינטציה על שפה של יריעה את הקריטריון הבא עבור [[אוריינטביליות]]:

'''טענה:''' [[היפר-משטח]] [[יריעה סגורה|סגור]] <small>([[w:en:Closed manifold|Closed]] [[w:en:Hypersurface|Hypersurface]])</small> ([[מרחב וקטורי|במרחב ליניארי]]) תמיד אוריינטבילי.

===משיכה של אוריינטציה (תחת דיפאומורפיזם מקומי)===
העתקה חלקה <math>\phi:M \to N</math> נקראת [[דיפאומורפיזם]] מקומי (או [[העתקת אטאל]] {{אנג|Étale morphism}}) אם ה[[דיפרנציאל של העתקה בין יריעות|דיפרנציאל]] <math>d_x \phi</math> שלה בכל <math>x\in M</math> הוא [[איזומורפיזם]]. לפי [[משפט הפונקציות הסתומות|משפט הפונקציה הסתומה]] תנאי זה שקול לכך שלכל <math>x\in M</math> קיימת סביבה פתוחה <math>U \subset M</math> כך ש <math>\phi(U)</math> היא קבוצה פתוחה ו[[צמצום של פונקציה|הצמצום]] {{אנג|Restriction (mathematics)|Restriction}} <math>\phi|_U:U \to \phi(U)</math> הוא דיפאומורפיזם.

בהינתן אוריינטציה <math>o</math> על <math>N</math> ניתן להגדיר את המשכיה לאחור שלה <math>\phi^*(o)</math> על ידי <math>.\phi^*(o)_x=(d\phi)^*(o_{\phi(x)})</math>
במילים אחרות יש לבחור תבנית דיפרנציאלית <math>\omega</math> המייצגת את <math>o</math>, ולהגדיר את <math>\phi^*(o)</math> להיות מחלקת השקילות של <math>.\phi^*(\omega)</math>
העתקת אטאל <math>\phi:M \to N</math> בין יריעות מכוונות (יריעות שנקבעה עליהן אוריינטציה) נקראת שומרת אוריינטציה אם המשיכה לאחור של האוריינטציה על <math>N</math> שווה לאוריינטציה <math>.M</math>

===אוריינטציה ואינטגרציה===
אחת [[מוטיבציה (מתמטיקה)|המוטיבציות]] להגדרת מושג ה[[תבנית דיפרנציאלית|תבניות הדיפרנציאליות]] היא האפשרות להגדיר [[אינטגרל]] של תבנית דיפרנציאלית. אפשרות זו מותנית בקביעת אוריינטציה על היריעה <math>.M</math>

נקבע אוריינטציה על <math>.M</math>
תהי <math>U \subset M</math> קבוצה פתוחה [[דיפאומורפיזם|דיפאומורפית]] ל <math>.\R^n</math> ניתן להגדיר את האינטגרל של תבנית דיפרנציאלית <math>\omega</math> על <math>U</math> באופן הבא: <center><math>\int_U \omega=\int_{\R^n} \phi^{*}(\omega).</math></center> כאן <math>\phi:\R^n \to U</math> הוא [[דיפאומורפיזם]] שומר אוריינטציה ואינטגרל של תבנית דיפרנציאלית על <math>\R^n</math> מוגדר על ידי הזיהוי הסטנדרטי בין תבניות דיפרנציאלית לפונקציות{{הערה|1=כל תבנית דיפרנציאלית על <math>\R^n</math> אפשר לרשום בתור מכפלה של פונקציה והתבנית הסטנדרטית (התבנית היחידה המקיימת <math>,\omega(e_1,\dots , e_n)=1</math> כאשר <math>\langle e_1,\dots , e_n \rangle</math> הוא [[הבסיס הסטנדרטי]])}}.

הגדרה זו לא תלויה בבחירת הדיפאומורפיזם <math>\phi</math> ובלבד שהוא שומר אוריינטציה, אולם אילו <math>\phi</math> היה הופך אורנטצייה אז התוצאה המתקבלת הייתה [[מספר נגדי|מנוגדת]].
ניתן להכליל הגדרה זו עבור קבוצה פתוחה כללית <math>U \subset M</math> על ידי [[חלוקת יחידה|חלוקת היחידה]].
כמו כן ניתן להגדיר אינטגרלים של k-תבניות דיפרנציאליות לאורך תת-יריעות מכוונות k ממדיות.

אם <math>\omega</math> תבנית הפיכה על <math>,M</math> אז היא מגדירה אוריינטציה, ולכן ניתן להגדיר את האינטגרל שלה ביחס לאוריינטציה שהיא עצמה מגדירה גם אם לא נקבע אוריינטציה על <math>.M</math> אינטגרל זה תמיד חיובי, ומסמנים אותו ב
<math display="block">\int_M|\omega|.</math>
ניתן להכליל הגדרה זאת גם לתבניות לא הפיכות (ואף למקרה ש <math>M</math> לא אוריינטבילית) ע"י:
<math display="block">\int_M|\omega|:=\int_U|\omega|,</math>
כאשר
<math display="block">U:=\{x\in M|\omega_x\neq 0\}</math>

===כיסוי האוריינטציות===
{{הפניה לערך מורחב|כיסוי האוריינטציות}}
{{עוגן|כיסוי האוריינטציות של טבעת מביוס|[[קובץ:Orientation cover of Mobius strip.webm|שמאל|ממוזער|350px|
כיסוי האוריינטציות של [[משטח (טופולוגיה)|משטח]] <math>M</math> ב[[מרחב תלת-ממדי|מרחב]]: נדמיין שהמשטח עשוי מ[[נייר]] דו-שכבתי, ונפריד את השכבות. ה[[יריעה]] שתתקבל תהיה המרחב המכסה <math>\operatorname{orient}_M</math>. העתקת הכיסוי <math>\,p:\operatorname{orient}_M\to M</math> היא ההדבקה של שתי השכבות בחזרה.
במקרה ש <math>M</math> היא [[טבעת מביוס]] (זאת אומרת טבעת עם חצי פיתול) היריעה המתקבלת לאחר הפרדת השכבות היא טבעת עם פיתול שלם. יריעה זאת [[דיפאומורפיזם|דיפאומורפית]] לטבעת רגילה, ובפרט היא אוריינטבילית]]}}

תהי <math>M</math> יריעה. אוריינטציה על היריעה היא מושג מקומי: בכל נקודה <math>x \in M</math> של היריעה אפשר להגדיר את האוריינטציה בנקודה בתור אוריינטציה על המרחב המשיק <math>T_x M</math> (חיובית או שלילית). נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה <math>x</math> ב-<math>\operatorname{orient}_M(x)</math> (זו קבוצה בת שני איברים). ניתן לאגד קבוצות אלו ל[[מרחב כיסוי]] <math>\operatorname{orient}_M</math>. כיסוי דו-יריעתי זה נקרא [[כיסוי האוריינטציות]].

אפשר להפוך את כיסוי האוריינטציות ל[[אגד וקטורי|אגד]] (הנקרא אגד האוריינטציות) או ל[[אלומה (מתמטיקה)|אלומה]] (הנקראת אלומת האוריינטציות). באמצעות כיסוי האוריינטציות ניתן להגדיר את "[[קרקטר האוריינטציות]]" של [[החבורה היסודית]] <math>\pi_1(M)</math>. אפשר לזהות דרך כיסוי האוריינטציות את כל האוריינטציות האפשריות של היריעה. ניתן להתייחס אל כיסוי האוריינטציות כאל תחליף [[יריעה אוריינטבילית|אוריינטבילי]] עבור יריעה לא אוריינטבילית.

===אוריינטציה על אגד ואוריינטציה יחסית===
{{ערך מורחב|ערכים=[[אוריינטציה על אגד]], [[אוריינטציה יחסית]]}}
יהי <math>E</math> [[אגד וקטורי]] <math>n</math>-ממדי מעל [[מרחב טופולוגי]] <math>.X</math>

אוריינטציה על <math>E</math> היא אוריינטציה על כל אחד מה[[סיב (מתמטיקה)|סיבים]] [[w:en:Fiber_(mathematics)|<small>(Fibers)</small>]]
<math>E|_x</math> של <math>E</math>
התלויה באופן רציף בנקודה <math>x</math> שמעליה הסיב.

בהתבסס על מושג האוריינטציה על אגד אפשר להגדיר את מושג [[אוריינטציה יחסית|האוריינטציה היחסית]] של ההעתקה <math>\phi:M\to N</math> בשני מקרים:
* <math>\phi</math> היא [[אימרסיה]] {{אנג|immersion (mathematics)|immersion}}
* <math>\phi</math> היא [[סובמרסיה]] {{אנג|submersion (mathematics)|submersion}}

בשני המקרים ניתן גם להגדיר גרסאות יחסיות של האובייקטים המקומיים המבוססים על [[כיסוי האוריינטציות]]:
<math display="block">orient_{M/N},\quad Orient_{M/N},\quad D_{M/N},\quad \mathcal Orient_{M/N} ,\quad \Omega_{M/N}</math>
כל אלה יהיו אובייקטים מעל <math>.M</math>

==אוריינטציה על יריעה טופולוגית==
תהי <math>M</math> [[יריעה טופולוגית]] <math>n</math>-ממדית. על מנת להגדיר את מושג האוריינטציה על <math>M</math> נגדיר תחילה את כיסוי האוריינטציות <math>p:Orient_M \to M</math>. כמו [[#חתך של כיסוי האוריינטציות|במקרה החלק]], אוריינטציה על <math>M</math> תהיה [[חתך של העתקה|חתך]] {{אנג|Section (category theory)|Section}} של כיסוי האוריינטציות.
===כיסוי האוריינטציות===
{{הפניה לערך מורחב|כיסוי האוריינטציות}}
כמו במקרה החלק, הגדרת כיסוי האוריינטציות מבוססת על מושג האוריינטציה בנקודה.

'''הגדרה אוריינטציה בנקודה''' <math>x\in M</math>{{הערה|הגדרה זאת מניחה ש <math>M</math> היא יריעה בלי שפה (או לפחות ש <math>x</math> לא נמצאת על השפה של <math>M</math>). לצורך הגדרת מושג האוריינטציה ניתן להתעלם מהשפה.}}
היא [[חבורה (מבנה אלגברי)#יוצרים ויחסים|יוצר]] של [[חבורה אבלית|חבורת]] [[הומולוגיה של מרחב טופולוגי|ההומולוגיה]] היחסית <math>.H_n(M,M-\{x\};\Z)</math> נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה <math>x</math> ב-<math>orient_M(x)</math>

נשים לב שמכיוון ש <math>.H_n(M,M-\{x\};\Z)</math> איזומורפית ל-<math>\Z</math>, הקבוצה <math>orient_M(x)</math> בת שני איברים.

נגדיר <math display="block">orient_M:=\bigcup_{x\in M} orient_M(x),</math></center> כאשר הטופולוגיה על<math>orient_M</math> מוגדרת, דרך המקרה <math>M=\R^n</math> על ידי הזיהוי <math>orient_{\R^n}\cong \R^n \times\{1,-1\}</math>.

קל לראות שאם <math>M</math> יריעה חלקה אז הגדרה זאת מתלכדת עם ההגדרה במקרה החלק.

כמו קודם ניתן להגדיר את האגד <math>Orient_M</math> ואת האלומה <math>\mathcal Orient_M</math> אבל, להבדיל מהמקרה החלק לא ניתן להגדיר את האגדים <math>\Omega^{top}_M</math> או <math>.D_M</math> שאר הבניות והתכונות הקשורות לאוריינטציה במקרה החלק תקפות גם במקרה הטופולוגי, לאחר התאמות קלות.

===המחלקה היסודית===
{{הפניה לערך מורחב|המחלקה היסודית}}
נניח כי <math>M</math> יריעה סגורה (זאת אומרת קומפקטית בלי שפה). תהי <math>o</math> אוריינטציה על <math>.M</math> ניתן להרכיב ממחלקות ההומולוגיה <math>o_x \in H_n(M,M-\{x\};\Z)</math> מחלקה אחת ב<math>.H_n(M;\Z)</math>

'''משפט:''' קיימת ויחידה מחלקת הומולוגיה
<math>[M]:=[M,o] \in H_n(M;\Z)</math>
כך ש
<math display="block">\forall x\in M: \phi_x([M])=o_x</math>
כאשר <math>\phi_x:H_n(M;\Z)\to H_n(M,M-\{x\};\Z)</math> היא ההעתקה הטבעית, ו<math>o_x\in H_n(M,M-\{x\};\Z)</math> היא המחלקה שמוגדרת על ידי האוריינטציה <math>.o</math>

מחלקת הומולוגיה <math>[M]</math> נקראת [[המחלקה היסודית (מחלקת הומולוגיה)|המחלקה היסודית]] {{אנג|Fundamental class}}. באופן אינטואיטיבי ניתן לחשוב על המחלקה היסודית בתור המחלקה המייצגת את "כל היריעה".

אם <math>M</math> קשירה אז <math>[M]</math> יוצרת את חבורת ההומולוגיה <math>H_n(M;\Z)</math> אשר איזומורפית ל-<math>\Z</math>.
במקרה זה ניתן להגדיר אוריינטציה בתור בחירה של מחלקה יסודית (זאת אומרת בתור יוצר של <math>H_n(M;\Z)</math>). אם <math>M</math> לא אוריינטבילית (אבל קשירה) אז <math>H_n(M;\Z)=0</math>).

=====הכללות=====
* עבור יריעות קומפקטיות עם שפה ניתן להגדיר את המחלקה היסודית בתור איבר בהומולוגיה היחסית <math>H_n(M,\partial M;\Z)</math>
* עבור יריעות לא קומפקטיות (בלי-שפה) המחלקה היסודית מוגדרת בתור איבר ב[[הומולוגית בורל-מור]] {{אנג|Borel–Moore homology}} (המושג הדואלי ל[[קוהומולוגיה עם תומך קומפקטי]] {{אנג|Cohomology with compact support}})
* עבור יריעות (סגורות) לא אוריינטביליות (או עבור יריעות עליהן לא נקבעה אוריינטציה), המחלקה היסודית מוגדרת בתור איבר בהומולוגיה <math>H_n(M;\Z/2\Z)</math> או בהומולוגיה <math>H_n(M;\mathcal Orient_M)</math> של <math>M</math> עם מקדמים ב[[אלומת האוריינטציות]] <math>\mathcal Orient_M</math>.
* ניתן גם להגדיר את ההכללה המשותפת של ההכללות הקודמות

===אוריינטציה יחסית (המקרה הכללי)===
{{ערך מורחב|אוריינטציה יחסית}}
תהי <math>\phi:X \to Y</math> [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|העתקה רציפה]] של מרחבים טופולוגיים.
באופן אנלוגי ל[[#אוריינטציה יחסית|מקרה החלק]], ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית (ואת המושגים הנלווים <math>orient_{X/Y}, Orient_{X/Y},\mathcal Orient_{X/Y}</math>) כאשר אחד התנאים הבאים מתקיים:

{|
|-
|- valign="top"
| width="150px"| '''האנלוג של אימרסיה:'''
|| לכל <math>x\in X</math> קיימת סביבה פתוחה <math>U \subset M</math> ו[[מספר טבעי]] <math>k</math> כך ש <math>\phi(U)</math> היא תת-[[קבוצה סגורה מקומית]] {{אנג|Locally closed subset}} ו[[צמצום של פונקציה|הצמצום]] <math>\phi|_U:U \to Y</math> ניתן לפירוק <math>h\circ i</math> כאשר <math>i:U\to U \times \R^{k}</math> הוא השיכון הסטנדרטי ו<math>h: U \times \R^{k} \to Y</math> הוא הומיאומורפיזם ל[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]].

|- valign="top"
| '''האנלוג של סובמרסיה:'''
|| לכל <math>x\in X</math> קיימת סביבה פתוחה <math>U \subset X</math> ומספר טבעי <math>k</math> כך ש <math>\phi(U)</math> היא [[קבוצה פתוחה]] והצמצום <math>\phi|_U:U \to \phi(U)</math> ניתן לפירוק <math>p\circ h</math> כאשר <math>h:U\to \phi(U) \times \R^{k}</math> הוא הומיאומורפיזם ו <math>p: \phi(U) \times \R^{k} \to \phi(U)</math> הוא ה[[הטלה (מתמטיקה)|הטלה]].
|}

נשים לב שתנאים אלה מתקיימים לעיתים גם כאשר המרחבים הטופולוגיים <math>X,Y</math> אינם יריעות.

הבניות והתכונות הקשורות לאוריינטציה יחסית במקרה החלק תקפות גם במקרה הטופולוגי, לאחר התאמות קלות.

==אוריינטביליות==
{{הפניה לערך מורחב|יריעה אוריינטבילית}}
יריעה נקראת [[אוריינטביליות|אוריינטבילית]] אם ניתן להגדיר עליה אוריינטציה. באופן מקומי כל יריעה איזומורפית ל-<math>\R^n</math> ולכן ניתן לבחור עליה אוריינטציה. אולם מכיוון שבכל נקודה יש שתי אפשרויות לבחירה זו, לעיתים לא ניתן לבצע בחירה באופן גלובלי. זאת הסיבה שחלק מהיריעות אינן אוריינטביליות.
===דוגמאות===
<gallery widths="200px" heights="200px">
 קובץ:Mobius_strip_rad.png|[[טבעת מביוס]], יריעה לא אוריינטבילית
 קובץ:Red_blue_cylinder.png|[[טבעת (גאומטריה)|טבעת רגילה]] (זאת אמרת [[גליל (גאומטריה)|גליל]]) היא כיסוי האוריינטציות של טבעת מביוס, ובפרט יריעה אוריינטבילית
 קובץ: Klein bottle.svg|[[בקבוק קליין]], [[אימרסייה|מוטבע]] [[מרחב תלת-ממדי|במרחב התלת-ממדי]], יריעה לא אוריינטבילית
 קובץ: Verical_Torus.png|[[טורוס]] הוא כיסוי האוריינטציות של בקבוק קליין, יריעה אוריינטבילית.
 קובץ:Steiner's_Roman_Surface.gif|[[משטח שטיינר]] {{אנג|Roman surface}} – הטבעה של [[מישור פרויקטיבי|המישור הפרויקטיבי]] במרחב, יריעה לא אוריינטבילית.
 קובץ:Sphere rotating.gif|[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]], היא כיסוי האוריינטציות של [[מישור פרויקטיבי|המישור הפרויקטיבי]], יריעה אוריינטבילית
 קובץ:Triple torus illustration.png|משטח אוריינטבילי מ[[גנוס (טופולוגיה)|גנוס]] 3. ניתן למיין את כל המשטחים ([[מרחב קשיר|הקשירים]]) ה[[יריעה סגורה|סגורים]] {{אנג|Closed manifold}} על ידי האוריינטביליות וה[[גנוס (טופולוגיה)|גנוס]] שלהם.
 </gallery>

===סיכום===
הטבלה הבאה מסכמת את הדוגמאות למעלה ועוד מספר דוגמאות כמו גם קריטריונים לאורינטביליות (והעדרה).
<center>
{| cellspacing="4" cellpadding="2" class="wikitable"
|-
! יריעות אוריינטביליות !! יריעות לא אוריינטביליות
|-
|
* [[עקום|עקומים]]
** [[קטע (מתמטיקה)|קטע]]
** [[מעגל]]
||
|-
|
* [[טבעת|טבעת רגילה]]
||
* [[טבעת מביוס]]
|-
|
* [[מרחב ליניארי|מרחבים ליניאריים]]
** [[מישור (גאומטריה)|מישור]]
||
|-
|
* [[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] (מכל ממד)
* [[מרחב פרויקטיבי]] (ממשי) מממד אי-זוגי
||
* מרחב פרויקטיבי ממשי מממד זוגי
** [[מישור פרויקטיבי]]
|-
|
* [[טורוס]]
||
* [[בקבוק קליין]]
|-
|
* יריעה המועתקת על ידי [[הומיאומורפיזם]] [[תכונה מקומית|מקומי]] {{אנג|Local property}} ליריעה אוריינטבילית
** תת-[[קבוצה פתוחה]] של יריעה אוריינטבילית
* [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] של שתי קבוצות פתוחות אוריינטביליות בעלות [[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] [[מרחב קשיר|קשיר]]
** סכום קשיר של יריעות אוריינטביליות
*** [[משטח (טופולוגיה)|משטח]]ים אוריינטבילים – [[סכום קשיר]] {{אנג|Connected sum}} של ספירות וטורוסים
||
* יריעה אליה מועתקת יריעה לא אוריינטבילית על ידי הומאומורפיזם מקומי
** יריעה בעלת תת-קבוצה פתוחה לא אוריינטבילית
*** סכום קשיר של יריעה לא אוריינטבילית עם יריעה כלשהי
**** משטחים לא אוריינטבילים – סכום קשיר של מישורים פרויקטיבים
|-
|
* [[מכפלה קרטזית|מכפלה]] של יריעות אוריינטביליות
||
* [[מכפלה קרטזית|מכפלה]] של יריעה לא אוריינטבילית עם יריעה כלשהי
|-
|
* [[משטח-על|משטחי-על]] [[יריעה סגורה|סגורים]] <small>([[w:en:Closed manifold|Closed]] [[w:en:Hypersurface|Hypersurfaces]])</small>
* יריעות אשר ל[[חבורה יסודית|חבורה היסודית]] שלהן אין [[תת-חבורה|תת-חבורות]] מ[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] 2
** יריעות [[מרחב פשוט קשר|פשוטות קשר]]
* [[יריעה אנליטית מרוכבת|יריעות מרוכבות]]
** מרחב פרויקטיבי מרוכב
* [[גאומטריה סימפלקטית|יריעות סימפלקטיות]]
* [[#כיסוי האוריינטציות|כיסוי האוריינטציות]]
||
|}

</center>

==שימושים במתמטיקה==
===ספירת נקודות מכוונת ===
לאורינטציה תפקיד בבניות רבות ב[[טופולוגיה דיפרנציאלית]]. צורת שימוש אחת באוריינטציה, היא בהרחבת מושג ה[[מנייה|ספירה]].
יסוד השימוש טמון בניתוח של יריעות [[קומפקט]]יות מממד אפס, דהיינו קבוצות [[טופולוגיה דיסקרטית|דיסקרטיות]] סופיות. יריעות אלה ממוינות על פי מספר הנקודות בהן. מספר הנקודות הוא [[מספר טבעי]] והוא למעשה האינווריאנט היחיד שניתן להגדיר עבור יריעות אלה. אולם, אם נתבונן ביריעה קומפקטית מממד אפס מכוונת, נראה כי ניתן להגדיר אינווריאנט נוסף: "המספר המכוון" של הנקודות ביריעה. כלומר מספר הנקודות בעלות אוריינטציה "+" פחות מספר הנקודות בעלות אוריינטציה "-". מתברר כי אינווריאנט זה יציב יותר ובעל שימושים רבים יותר.

ניתן להגדיר אינווריאנטים רבים של אובייקטים שונים בטופולוגיה דיפרנציאלית לפי הסכמה הכללית הבאה: לבנות יריעה מממד אפס המבוססת על האובייקט הנלמד (בדרך כלל בנייה זאת תלויה בבחירות מסוימות), להתבונן במספר המכוון של הנקודות שלה ולהוכיח כי התוצאה לא תלויה בבחירות. בדרך כלל לאינווריאנטים אלה יש גרסה עבור אובייקטים לא מכוונים, אולם אז צריך להחליף את המספר המכוון של הנקודות במספר הנקודות [[חשבון מודולרי|מודולו]] 2 (מספר הנקודות עצמו יהיה תלוי בדרך כלל בבחירות), מכאן שבמקום לקבל אינווריאנט עם ערכים ב-<math>\Z</math> אנו מקבלים אינווריאנט עם ערכים ב <math>\Z_2\cong \Z/2\Z</math>, מה שהופך אותו לחלש יותר.

להלן מספר דוגמאות של אינווריאנטים כאלה.
=====מעלה של העתקה=====
{{הפניה לערך מורחב|מעלה של העתקה}}
תהי <math>\phi:M \to N</math> העתקה חלקה של יריעות חלקות מכוונות מממד <math>n</math> . לפי [[הלמה של סארד]] יש להעתקה זאת [[ערך רגולרי]] <math>y \in N</math>. ה[[סיב (מתמטיקה)|סיב]] <math>\phi^{-1}(y)</math> של הנקודה <math>y</math> הוא יריעה מממד אפס. המעלה של <math>\phi</math> מוגדרת להיות המספר המכוון של נקודות היריעה <math>\phi^{-1}(y)</math>.

=====אינדקס חיתוך=====
{{הפניה לערך מורחב|אינדקס חיתוך (טופולוגיה דיפרנציאלית)}}
תהי <math>M</math> יריעה חלקה, קומפקטית ומכוונת מממד <math>n</math> ויהיו <math>N,L \subset M</math> תת-יריעות סגורות מכוונות. נניח כי
<center><math>\dim N +\dim L = \dim M</math></center>
במקרה כזה ניתן להגדיר את אינדקס החיתוך של <math>N</math> ו <math>L</math>. לשם כך יש להשתמש ב[[עיקרון הטרנסוורסליות]] (המבוסס על הלמה של סארד), שאומר שאפשר לשנות מעט את היריעות <math>N,L</math> כך שהחיתוך <math>N \cap L</math> יהיה [[חיתוך טרנסבווסלי|טרנסבווסלי]]. מכאן שהחיתוך <math>N \cap L</math> הוא יריעה מממד 0. האורינטציות על <math>M,N</math> ו <math>L</math> מגדירות אוריינטציה על <math>N \cap L</math>. אינדקס החיתוך של <math>N</math> ו <math>L</math> מוגדר להיות המספר המכוון של נקודות היריעה <math>N \cap L</math>.

=====תורת מורס=====
{{הפניה לערך מורחב|תורת מורס}}
מקרה נוסף בו משתמשים בספירה מכוונת הוא ב[[תורת מורס]]. תורת מורס, או ליתר דיוק [[תורת מורס-סמיל|גרסתו של סמיל]] לתורה זאת מתאימה לשלשה
<math>(M,f,\gamma)</math> (ב[[מצב כללי]]) המורכבת מיריעה חלקה [[יריעה סגורה|סגורה]] <math>M</math> [[פונקציית מורס]] <math>f</math> ו[[מטריקה רימנית]] <math>\gamma</math>, [[קומפלקס שרשרת]] <math>(C_i,d)</math>. [[חבורה אבלית|החבורות האבליות]] <math>C_i</math> הן [[חבורה אבלית חופשית|חבורת האבליות החופשיות]] הנפרסות על ידי [[נקודה קריטית (מתמטיקה)|הנקודות הקריטיות]] של <math>f</math> מ[[אינדקס מורס]] <math>i</math>. ה[[דיפרנציאל של העתקה בין יריעות|דיפרנציאל]] <math>d</math> מוגדר בעזרת ספירה מכוונת של מסלולים גרדיינטים בין שתי נקודות קריטיות בעלות אינדקס עוקב.

להבדיל מהמקרים הקודמים, תורת סמיל מורס תקפה גם כאשר <math>M</math> אינה אוריינטבילית, מבלי הצורך להחליף את חוג השלמים <math>\Z</math> בחבורה <math>\Z/2\Z</math>. לשם כך יש לבחור אוריינטציות מקומיות בסביבת כל נקודה קריטית, המתאימות אחת לשנייה במובן מסוים שלא מספיק חזק כדי לאפשר הרכבת אוריינטציה אחת מכולם. תהליך זה מורכב, ולכן במקרים מסוימים מעדיפים להסתפק בתורת מורס עם מקדמים ב-<math>\Z/2\Z</math>. הדבר בולט עוד יותר ב[[תורת פלויר]], שהיא הכללה מרחיקת לכת של תורת מורס.

===קובורדיזם===
{{הפניה לערך מורחב|קובורדיזם}}
ב[[טופולוגיה אלגברית]], למחלקות רבות של יריעות אפשר להגדיר [[חבורת קובורדיזם|חבורת]] [[קובורדיזם]] מתאימה. לדוגמה חבורת הקובורדיזמים של היריעות הסגורות מוגדרת כאוסף כל [[יריעה סגורה|היריעות הסגורות]] עד-כדי [[יחס שקילות|יחס השקילות]] הבא: שתי יריעות <math>n</math> ממדיות <math>M,N</math> שקולות אם ה[[איחוד זר (טופולוגיה)|איחוד הזר]] <math>M \cup N</math> הוא שפה של יריעה <math>n+1</math> ממדית. האיחוד הזר מגדיר את הפעולה (החיבורית) על [[חבורה אבלית]] זאת.
קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מממד 0 היא החבורה <math>\Z/2\Z</math>.

באופן דומה ניתן להגדיר את חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות כאוסף כל היריעות הסגורות עד-כדי יחס השקילות הבא: שתי יריעות מכוונות <math>n</math>
ממדיות <math>(M,o),(N,p)</math> שקולות אם האיחוד הזר <math>(M \cup N,o\cup -p)</math> הוא שפה של יריעה <math>n+1</math> ממדית. קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מכוונות מממד 0 היא החבורה <math>\Z</math>.

באופן כללי יותר, חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות היא תמיד מ[[פיתול (אלגברה)|פיתול]] 2 (זאת אומרת [[מרחב ליניארי]] מעל [[שדה סופי|השדה הסופי]] <math>\mathbb F_2</math>) בעוד שחבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות לעיתים חסרת פיתול כלל.

מדוגמאות אלה רואים כי חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות מכילה מידע שלא נמצא בחבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות, ובמובנים מסוימים עשירה ממנה.

את האינווריאנטים שתוארו בפרק הקודם (מעלה, ואינדקס חיתוך) אפשר לראות כאינווריאנטים שערכיהם בחבורת הקובורדיזם של יריעות מממד 0. אם היריעות המקוריות מכוונות, אז האינווריאנטים הם עם ערכים ב-<math>\Z</math>, אם לא, אז הערכים ב-<math>\Z/2\Z</math>.

===דואליות פואנקרה===
{{הפניה לערך מורחב|דואליות פואנקרה}}
בעזרת [[המחלקה היסודית]] ו[[מכפלת ספל|מכפלת הספל]] {{אנג|Cup product}} ניתן להגדיר את [[דואליות פואנקרה]]. תהי <math>M</math> יריעה [[יריעה סגורה|סגורה]] מכוונת מממד <math>n</math>. דואליות פואנקרה היא [[מרחב דואלי|דואליות]] (זאת אומרת [[זיווג (אלגברה)|זיווג]] לא מנוון) בין ה[[קו-הומולוגיה]] <math>H^k(M,F)</math> והקו-הומולוגיה <math>H^{n-k}(M,F)</math> כאשר <math>F</math> [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] מ[[מציין של שדה|מציין]] 0. הזיווג מוגדר על ידי
<center><math>\langle a,b\rangle:= \langle a \smile b,[M]\rangle</math></center>
כאשר <math>\smile </math> היא מכפלת הספל, <math>a\in H^i(M,F),b\in H^{n-i}(M,F)</math> והזיווג באגף שמאל הוא הזיווג הסטנדרתי בין [[הומולוגיה של מרחב טופולוגי|הומולוגיה]] ו[[קו-הומולוגיה]].

זיווג זה מגדיר איזומורפיזם <math>H_k(M,F) \cong H^{n-k}(M,F)</math>. בצורה זאת דואליות פואנקרה תקפה עבור הומולוגיות בכול [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] מקדמים.
לדואליות פואנקרה יש גם גרסאות עבור יריעות כלשהן, בדומה לגרסאות השונות של המחלקה היסודית. לדואליות פואנקרה הכללה מרחיקת לכת – [[דואליות ורדיה]].

==הכללות, גרסאות ואנלוגיות==
===אוריינטציה בתורת הגרפים===
{{ערך מורחב|ערכים=[[גרף מכוון]], [[קבוצה סימפלקסיאלית]]}}
ניתן להגדיר אוריינטציה על אובייקטים [[קומבינטוריקה|קומבינטוריים]] בעלי אופי [[קומבינטוריקה גאומטרית|גאומטרי]]. למשל אוריינטציה על [[גרף (תורת הגרפים)|גרף]] משמעה הפיכתו ל[[גרף מכוון]], זאת אומרת בחירת כיוון עבור כל
[[קשת (תורת הגרפים)|קשת]]. אין כל דרישה להתאמת הכיונים בקודקודים. לכן, להבדיל מיריעה, אין משמעות למושג אוריינטביליות בהקשר של גרף ועל כל גרף אפשר להגדיר אוריינטציה.

באופן דומה ניתן להגדיר אוריינטציה על אובייקטים קומבינטוריים מורכבים יותר, כמו [[קומפלקס סימפלקסיאלי]]. באובייקטים קומבינטוריים אחרים, כמו [[קבוצה סימפלקסיאלית]], האוריינטציה מובנית בתוך ההגדרה של האובייקט עצמו.

===אוריינטציה בתורת ההומולוגיה===
{{הפניה לערך מורחב|הומולוגיה של מרחב טופולוגי}}
יהי <math>X</math> מרחב טופולוגי. ניתן לחשוב על מחלקת הומולוגיה <math>\alpha \in H_i(X,\Z)</math> בתור "אובייקט גאומטרי" מכוון מממד <math>i</math> בתוך <math>X</math> (עד כדי יחס שקילות מסוים). לדוגמה, [[ציקלוס (קומפלקס שרשרת)|ציקלוס]] [[הומולוגיה סינגולרית|סינגולרי]] הוא למעשה [[קומפלקס סימפלקסיאלי]] מכוון, המועתק לתוך היריעה.

אם מוותרים על האוריינטציה על הקומפלקס הסימפלקסיאלי ב-<math>X</math> אז מקבלים מחלקת הומולוגיה עם מקדמים ב-<math>\Z/2\Z</math>.

בגישות אחרות לתורת ההומולוגיה ובאופן כללי יותר [[תורות הומולוגיה מוכללת|בתורות הומולוגיה מוכללות]], מחליפים את הקומפלקסים הסימפלקסיאלים באובייקטים גאומטריים אחרים. לדוגמה, אם נחליף את הקומפלקסים הסימפלקסיאלים ביריעות, נקבל את חבורות הקובורדיזם של <math>X</math>.

גם בתורות [[קו-הומולוגיה]] האוריינטציה באה לידי ביטוי. למשל [[קו-הומולוגית דה-ראהם]] מבוססת על מושג [[תבנית הדפרנציאלית|התבניות הדפרנציאליות]]. מושג זה קשור למושג ה[[אוריינטציה על יריעה חלקה]].

===דואליות ורדיה===
{{הפניה לערך מורחב|דואליות ורדיה}}
מושג האוריינטציה אינו מוגדר למרחבים טופולוגיים שאינם יריעות. אולם ניתן להכליל את [[אלומת האוריינטציות]] (ואת אלומת [[אוריינטציה יחסית|האוריינטציות היחסית]]) [[מרחב קומפקטי מקומית|למרחבים טופולוגיים קומפקטיים מקומית]]. הדבר נעשה במסגרת [[דואליות ורדיה]]. דואליות ורדיה היא למעשה מימוש של [[פורמליזם ששת הפונקטורים של גרותנדיק]] עבור מרחבים טופולוגיים. הפורמליזם כולל פונקטורים שונים בין [[הקטגוריות הנגזרות|קטגוריה הנגזרת]] של קטגוריות [[אלומה (מתמטיקה)|האלומות]] על מרחבים שונים. אחד מהפונקטורים האלה הוא <math>\pi^!:D(Y) \to D(X) </math> המוגדר עבור העתקה רציפה <math>\pi:X \to Y</math> כאשר <math>D(X)</math> היא הקטגוריה הנגזרת של קטגורית האלומות על <math>X</math>. פונקטור זה הוא הצמוד מימין של [[פונקטור נגזר|הפונקטור הנגזר]] של פונקטור ה[[תמונה ישרה עם תומך קומפקטי|תמונה הישרה עם תומך קומפקטי]] <math>\pi_!:D(X)\to D(Y) </math>.

באמצעות הפונקטור <math>\pi^!</math> ניתן להגדיר את [[הקומפלקס המדאל]] היחסי על ידי <math>\mathcal D_{X/Y}:=\pi^!(\Z_X)</math> כאשר <math>\Z_X</math> היא [[האלומה הקבועה]] על <math>X</math>. כאשר <math>Y</math> הוא נקודה, אנו מקבלים את הקומפלקס המדאל <math>\mathcal D_{X}:=\mathcal D_{X/pt}</math>. אלומת האוריינטציות ואלומת האוריינטציות היחסית הן מקרים פרטיים{{הערה|אם <math>X</math> הוא יריעה אז הקומפלקס המדאל הוא אלומת האוריינטציות [[הזזה (קטגוריה נגזרת)|מוזזת]] בממד היריעה}} של הקומפלקס המדאל והקומפלקס המדאל היחסי. בהתבסס על הקומפלקס המדאל ניתן להגדיר את פונקטור הדואליות של ורדיה <math>\mathbb D:D(X) \to D(X)</math> על ידי <math>\mathbb D:=RHom(\cdot, D_X)</math>.
מנקודת המבט של דואליות ורדיה, דואליות פואנקרה היא [[מקרה פרטי]] של הטענה הבאה:
<center>.<math>\mathbb D \circ \pi_* \cong\pi_! \circ \mathbb D</math></center>

===אוריינטציה על יריעות פסוודו-רימניות===
{{הפניה לערך מורחב|יריעה פסוודו-רימנית}}
מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי מבוסס על כך שלחבורה <math>GL_n(\R)</math> יש שני [[רכיב קשירות (טופולוגיה)|רכיבי קשירות]]. לכן על מרחב ליניארי יש שתי אוריינטציות. שני בסיסים מגדירים אותה אוריינטציה על מרחב אם [[מטריצת מעבר|מטריצת המעבר]] ביניהם נמצאת ברכיב הקשירות של היחידה ב<math>GL_n(\R)</math>, הם מגדירים אוריינטציות הפוכות אם המטריצה נמצאת ברכיב השני.

המצב ב[[מרחב מכפלה פנימית|מרחבים עם מכפלה פנימית]] דומה מכיוון של[[החבורה האורתוגונלית|חבורה האורתוגונלית]] <math>O_n</math> יש גם כן שני רכיבי קשירות. עם זאת, אם מאפשרים למכפלה הפנימית לא להיות [[מטריצה חיובית|חיובית לחלוטין]], ניתן לעדן את מושג האוריינטציה. הסיבה לכך היא שלחבורה <math>O_{p,q}</math> יש ארבעה רכיבי קשירות.

בהינתן [[תבנית ריבועית]] מ[[סיגנטורה של תבנית ריבועית|סיגנטורה]] <math>(p,q)</math> על מרחב <math>V</math> ו[[קרקטר כפלי]] <math>\chi:O_{p,q} \to \{+1,-1\}</math> ניתן להגדיר יחס שקילות על קבוצת הבסיסים האורתונורמליים{{הערה|זאת אומרת בסיסים שבהם מטריצת התבנית הריבועית היא סטנדרטית}} באופן הבא: שני בסיסים <math>B_1</math> ו<math>B_2</math> שקולים אם <math>\chi(M_{B_1}^{B_2})=1</math>. מכיוון של <math>O_{p,q}</math> יש שלושה קרקטרים לא טריוויאליים אנו מקבלים שלושה יחסי שקילות. לכל אחד מהיחסים האלה אפשר להתאים גרסה של מושג האוריינטציה. כך בנוסף לאוריינטציה נקבל שני מושגים נוספים הנקראים, בהשראת [[תורת היחסות]], אוריינטציית מרחב ואוריינטציית זמן.

באופן דומה מגדירים מושגים אלה על [[יריעה פסוודו-רימנית]].

===אוריינטציה בגאומטריה אלגברית===
{{ערך מורחב|ערכים=[[גאומטריה אלגברית ממשית]], [[יריעת נאש]]}}
מכיוון שמושג האוריינטציה מבוסס על רכיבי הקשירות של החבורה <math>GL_n(\R)</math> הוא מושג ממשי מטבעו, ולכן לא מוגדר עבור [[יריעה אלגברית|יריעות אלגבריות]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] כללי. מעל <math>\R</math> המצב שונה. על [[יריעה אלגברית ממשית]] [[יריעה אלגברית חלקה|חלקה]] (ובאופן כללי יותר על [[יריעת נאש]]) יש מבנה טבעי של [[יריעה חלקה]] ולכן ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה עבור יריעות נאש. יתר על כן על [[כיסוי האוריינטציות]], [[אגד האוריינטציות]] ועל [[אגד הצפיפויות]] של יריעת נאש גם ניתן להגדיר מבנה של יריעת ואגדי נאש.

בשונה ממושג האוריינטציה, ל[[דואליות ורדיה]] דוקה יש גרסאות עבור יריעות אלגבריות מעל שדה כללי (ואף ל[[סכמה (מתמטיקה)|סכמות]] מסוימות). גרסה אחת, עבור [[אלומוה קוהרנטית|אלומות קוהרנטיות]], נקראת [[דואליות גרותנדיק]]. הקשר של גרסה זאת לאוריינטציה רופף כי בה אלומת האוריינטציות מוחלפת באלומת התבניות הדיפרנציאליות. יש גרסאות נוספות עבור [[D-מודול]]ים, [[אלומה l-אדיות|אלומות <math>l</math>-אדיות]] ו[[אלומה סוטה|אלומות סוטות]] <math>l</math>-אדיות. גרסאות אלה קשורות יותר למושג האוריינטציה.

== אוריינטציה בפיזיקה ==
{{ערך מורחב|ערכים=[[פסאודו וקטור]], [[סימטריה (פיזיקה)|סימטריה בפיזיקה]]}}

== ראו גם ==
{{קישורי פורטל|מתמטיקה}}
<!-- '''אוריינטציות על אובייקטים שונים'''
* [[אוריינטציה (אלגברה ליניארית)]]
* [[גרף מכוון]]
{{קישורי פורטל|מתמטיקה}}
 -->
'''מושגים הדורשים בחירת אוריינטציה'''
* [[כלל יד ימין]]
* [[מכפלה וקטורית]]
* [[כיוון השעון]]
* [[ימין ושמאל (כיוונים במרחב)]]
* [[מעלה של העתקה]]
* [[אינדקס חיתוך]]
* [[המחלקה היסודית]]

<!-- '''מושגים המבוססים על מושג האוריינטציה'''
* [[כיסוי האוריינטציות]]
* [[אוריינטביליות]]
 -->
'''מושגים קשורים'''
* [[פסאודו וקטור]]
* [[דטרמיננטה]]
* [[תבנית דיפרנציאלית]]
<!-- * [[טבעת מביוס]] -->

== לקריאה נוספת ==
<div class="mw-content-ltr">
* V. Guillemin, A. Pollack, '''Diﬀerential Topology''', Englewood Cliﬀs, N.J. : Prentice-Hall, 1974
* Michael Spivak, '''Calculus on Manifolds''' [[HarperCollins]], 1965
* Marvin J. Greenberg, John R. Harper, '''Algebraic topology: a first course''' Benjamin/Cummings Pub. Co., 1981
* Allen Hatcher, '''Algebraic Topology''', Cambridge University Press 2002
</div>

== קישורים חיצוניים ==
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Orientation|אוריינטציה}}
* {{MathWorld|ManifoldOrientation|אוריינטציה}}
* [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Orientation_of_manifolds Orientation of manifolds] ו-[http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Orientation_covering Orientation covering], ב-Manifold Atlas {{אנגלית}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{אוריינטציה}}
{{טופולוגיה גאומטרית}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:גאומטריה]]
[[קטגוריה:טופולוגיה]]