הצגת המקור של הדף "אוריינטציה יחסית"

ב[[טופולוגיה]], '''אוריינטציה יחסית''' היא גרסה של מושג ה[[אוריינטציה (מתמטיקה)|אוריינטציה]] שניתן להגדיר עבור [[העתקה רציפה|העתקות]] מסוימות בין [[יריעה|יריעות]] (ולפעמים אף [[מרחב טופולוגי|מרחבים טופולוגיים]]). האוריינטציה היחסית מודדת, אינטואיטיבית, את מה שחסר לבניית אוריינטציה על <math>M</math> בהינתן אוריינטציה על <math>N</math> והעתקה <math>\phi:M\to N</math>.

את האוריינטציה היחסית של [[העתקה חלקה]] <math>\phi:M\to N</math> בין [[יריעה חלקה|יריעות חלקות]] אפשר להגדיר בשני מקרים: 
* <math>\phi</math> היא [[אימרסיה]] {{אנג|immersion (mathematics)|immersion}} 
* <math>\phi</math> היא [[סובמרסיה]] {{אנג|submersion (mathematics)|submersion}}

בשני המקרים ניתן גם להגדיר גרסאות יחסיות של האובייקטים המקומיים המבוססים על [[כיסוי האוריינטציות]]:
<math display="block">orient_{M/N},\quad Orient_{M/N},\quad D_{M/N},\quad \mathcal Orient_{M/N} ,\quad \Omega_{M/N}</math>
כל אלה יהיו אובייקטים מעל <math>.M</math>

לכל אחד מהמקרים למעלה יש גרסה כללית יותר שכוללת העתקות בין יריעות ללא מבנה חלק ואף העתקות בין מרחבים טופולוגיים. גם במקרים אלו ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית.

==המקרה החלק==
===המקרה של אימרסיה===
העתקה חלקה <math>\phi:M \to N</math> נקראת אימרסיה (או הטבעה) אם הדיפרנציאל <math>d_x \phi</math> שלה בכל <math>x\in M</math> הוא [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכי]]. לפי [[משפט הפונקציות הסתומות|משפט הפונקציה הסתומה]] תנאי זה שקול לכך שלכל <math>x\in M</math> קיימת סביבה פתוחה <math>U \subset M</math> כך ש <math>\phi(U)</math> היא תת-יריעה [[קבוצה סגורה מקומית|סגורה מקומית]] {{אנג|Locally closed}} ו[[צמצום של פונקציה|הצמצום]] {{אנג|Restriction (mathematics)|Restriction}} <math>\phi|_U:U \to \phi(U)</math> הוא דיפאומורפיזם.

במקרה כזה ניתן להגדיר את [[האגד הנורמלי]] {{אנג|Normal bundle}} <math>Norm_M^N</math> ל<math>M</math> בתוך <math>N</math> ע"י
<math>Norm_M^N:=\phi^*(T(N))/Im(d\phi)</math>
כאשר אנו מתייחסים ל[[דיפרנציאל של העתקה בין יריעות|דיפרנציאל]] <math>d\phi</math> בתור העתקה מהאגד המשיק <math>T(N)</math> ל[[משיכה לאחור של אגד|משיכה לאחור]] {{אנג|Pullback bundle}} <math>\phi^*(T(N))</math> של האגד המשיק <math>.T(N)</math>

'''הגדרה''': ''אוריינטציה יחסית'' על <math>M</math> (ביחס ל<math>N</math>) היא אוריינטציה על האגד הנורמלי <math>.Norm_M^N</math>

===המקרה של סובמרסיה===
העתקה חלקה <math>\phi:M \to N</math> נקראת סובמרסיה אם הדיפרנציאל <math>d_x \phi:T_x(M)\to T_{p(x)}M</math> שלה בכל <math>x\in M</math> הוא [[פונקציה על|על]]. לפי [[משפט הפונקציות הסתומות|משפט הפונקציה הסתומה]] תנאי זה שקול לכך שלכל <math>x\in M</math> קיימת סביבה פתוחה <math>U \subset M</math> כך ש <math>\phi(U)</math> היא [[קבוצה פתוחה]] ו[[צמצום של פונקציה|הצמצום]] 
<math>\phi|_U:U \to \phi(U)</math> ניתן לפירוק <math>p\circ i</math> כאשר
* <math>i:U\to \phi(U) \times \R^{\dim M-\dim N}</math> הוא דיפאומורפיזם ו
* <math>p: \phi(U) \times \R^{\dim M-\dim N} \to \phi(U)</math> היא ה[[הטלה (מתמטיקה)|הטלה]].

במקרה כזה נתבונן בגרעין <math>\ker(d \phi)</math> בתור תת-אגד של <math>.T(M)</math>

'''הגדרה''': ''אוריינטציה יחסית'' על <math>M</math> (ביחס ל<math>N</math>) היא אוריינטציה על האגד <math>.\ker(d \phi)</math>

==המקרה הכללי==
{{ערך מורחב|ערך=[[אוריינטציה (מתמטיקה)#אוריינטציה על יריעה טופולוגית|אוריינטציה על יריעה טופולוגית]]}}
תהי <math>\phi:X \to Y</math> [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|העתקה רציפה]] של מרחבים טופולוגיים.
באופן אנלוגי ל[[#אוריינטציה יחסית|מקרה החלק]], ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית (ואת המושגים הנלווים <math>orient_{X/Y}, Orient_{X/Y},\mathcal Orient_{X/Y}</math>) כאשר אחד התנאים הבאים מתקיים: 

{|
|- 
|- valign="top"
| width="150px"| '''האנלוג של אימרסיה:'''
|| לכל <math>x\in X</math> קיימת סביבה פתוחה <math>U \subset M</math> ו[[מספר טבעי]] <math>k</math> כך ש <math>\phi(U)</math> היא תת-[[קבוצה סגורה מקומית]] {{אנג|Locally closed subset}} ו[[צמצום של פונקציה|הצמצום]] <math>\phi|_U:U \to Y</math> ניתן לפירוק <math>h\circ i</math> כאשר <math>i:U\to U \times \R^{k}</math> הוא השיכון הסטנדרטי ו<math>h: U \times \R^{k} \to Y</math> הוא הומיאומורפיזם ל[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]].

|- valign="top"
| '''האנלוג של סובמרסיה:'''
|| לכל <math>x\in X</math> קיימת סביבה פתוחה <math>U \subset X</math> ומספר טבעי <math>k</math> כך ש <math>\phi(U)</math> היא [[קבוצה פתוחה]] והצמצום <math>\phi|_U:U \to \phi(U)</math> ניתן לפירוק <math>p\circ h</math> כאשר <math>h:U\to \phi(U) \times \R^{k}</math> הוא הומיאומורפיזם ו <math>p: \phi(U) \times \R^{k} \to \phi(U)</math> הוא ה[[הטלה (מתמטיקה)|הטלה]].
|}

נשים לב שתנאים אלה מתקיימים לעיתים גם כאשר המרחבים הטופולוגיים <math>X,Y</math> אינם יריעות.

==קשר בין אוריינטציה יחסית ואוריינטציה==
בהינתן אוריינטציה על <math>N</math> ואוריינטציה יחסית על <math>M</math> ניתן להגדיר אוריינטציה על <math>.M</math> התאמה זאת לוקלית, כך שניתן להגדיר איזומורפיזם 
<math display="block">\phi^*(\mathcal Orient_N)\otimes \mathcal Orient_{M/N} \cong \mathcal Orient_M,</math>
ובאופן דומה{{הערה|שני האיזומורפיזמים האחרונים מוגדרים רק עבור המקרה החלק}} גם איזומורפיזמים 
<center><math>\phi^*(Orient_N)\otimes Orient_{M/N} \cong Orient_M,\, \phi^*(\Omega_N)\otimes \Omega_{M/N} \cong \Omega_M, \, \phi^*(D_N)\otimes D_{M/N} \cong D_M</math>
</center>

במקרה החלק כל האיזומורפיזמים האלה מבוססים על ההבחנה הבאה: בהינתן [[סדרה מדויקת#סדרה מדויקת קצרה|סדרה מדויקת קצרה]] של מרחבים ליניאריים 
<center><math>0 \to V\to W\to L \to 0. </math></center> 
קיים איזומורפיזם טבעי 
<math display="block">\Omega^{top}(L) \otimes \Omega^{top}(V) \cong \Omega^{top}(W).</math>

'''הערה:''' האיזומורפיזמים האלה מכלילים את מושג ה[[אוריינטציה (מתמטיקה)#אוריינטציה מושרית על היפר-משטח ועל שפה של יריעה|אוריינטציה המושרית על היפר-משטח]]. לכן כמוהו הם תלויים במוסכמות סימן. מוסכמות אלו מורכבות יותר מאשר במקרה של היפר-משטח ואין להן גרסה מקובלת יחידה. מצב זה גורם לעיתים לבלבולים וטעויות{{הערה|טעות מהסוג הזה (אם-כי בהקשר שונה) ארעה בספר [[Residues and duality]]{{הערה|שם=Har|(R. Hartshorne, Residues and Duality, Springer Lecture Notes. no. 20 (1966}}. הטעות תוקנה רק כשלושה עשורים מאוחר יתר{{הערה|שם=Con|.(B. Conrad, Grothendieck duality and base change, Springer Lecture Notes. no. 1750 (2000}}.}}. מטבע הדברים טעויות אלו הן טעויות סימן, ולכן בדרך כלל אינן משמעותיות.

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{אוריינטציה}}

[[קטגוריה:טופולוגיה אלגברית]]