הצגת המקור של הדף "אוריינטציה על אגד"

ב[[טופולוגיה]], '''אוריינטציה על אגד''' היא מבנה רציף של [[אוריינטציה (מתמטיקה)|אוריינטציות]] על ה[[סיב (מתמטיקה)|סיבים]] של האגד. המושג מבוסס על מושג ה[[אוריינטציה (אלגברה ליניארית)|אוריינטציה]] על [[מרחב וקטורי]], וניתן לבסס עליו את מושג ה[[אוריינטציה (מתמטיקה)#אוריינטציה על יריעה חלקה|אוריינטציה]] על [[יריעה חלקה]]. יתר על כן ניתן להגדיר באמצעותו את מושג [[אוריינטציה יחסית|האוריינטציה היחסית]] עבור העתקות מסוימות בין יריעות חלקות

==הגדרה==
יהי <math>E</math> [[אגד וקטורי]] <math>n</math>-ממדי מעל [[מרחב טופולוגי]] <math>.X</math>

אוריינטציה על <math>E</math> היא אוריינטציה על כל אחד מה[[סיב (מתמטיקה)|סיבים]] [[w:en:Fiber_(mathematics)|<small>(Fibers)</small>]]
<math>E|_x</math> של <math>E</math>
התלויה באופן רציף בנקודה <math>x</math> שמעליה הסיב.

כדי להגדיר זאת באופן פורמלי נזדקק למושג התבניות. תבנית על <math>E</math> היא [[חתך של העתקה|חתך]] {{אנג|Section (category theory)|Section}} (רציף) של אגד התבניות <math>.\Omega^n(E)=\Lambda^n(E^*)</math> במילים זאת פונקציה רציפה <math>\omega</math> מ[[מכפלת סיבים|מכפלת הסיבים]] {{אנג|Pullback (category theory)|fiber product}} <math>E\times_X E \times_X\dots \times_XE</math> ל <math>\R</math> כך שלכל <math>x \in X</math> הצימצום לסיב <center><math>\omega_x:=\omega|_{E|_x\times\dots \times E|_x}:{E|_x\times\dots \times E|_x}\to \R.</math></center> 
הוא תבנית.

'''הגדרה''': <math>E</math> נקרא ''אוריינטבילי'' אם קיימת עליו תבנית הפיכה. ''אוריינטציה'' על <math>E</math> היא [[מחלקת שקילות]] של תבניות דיפרנציאליות הפיכות תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.

כמו מושג ה[[אוריינטציה (מתמטיקה)#אוריינטציה על יריעה חלקה|אוריינטציה על יריעה חלקה]], גם מושג האוריינטציה על אגד הוא מקומי ולכן ניתן להגדיר את [[כיסוי האוריינטציות]] <math>orient_{E/X}</math>, [[כיסוי האוריינטציות#אגד האוריינטציות|אגד האוריינטציות]] <math>Orient_{E/X}</math>, [[אגד הצפיפויות]] <math>D_{E/X}</math> ו[[כיסוי האוריינטציות#אלומת האוריינטציות|אלומת האוריינטציות]] <math>\mathcal Orient_{E/X}</math> של האגד <math>E</math>. כל אלה יהיו אובייקטים מעל <math>.X</math>

ניתן להכליל את ההגדרה הזאת למקרה ש <math>E</math> איננו אגד וקטורי אלא [[אגד סיבים]] {{אנג|Fiber bundle}} שהסיבים שלו הם יריעות{{הערה|למעשה, די בכך שהם [[יריעה טופולוגית|יריעות טופולוגיות]] ואין צורך [[יריעה חלקה|במבנה חלק]] עליהם. אפשר להתייחס למושג זה כאל מקרה פרטי של [[אוריינטציה יחסית]] של יריעות טופולוגיות}}. ניתן גם להגדיר את האובייקטים המקומיים במקרה זה אולם אז הם יהיו אובייקטים מעל ה[[מרחב כולל|מרחב הכולל]]
{{הערה| [http://mathworld.wolfram.com/TotalSpace.html Total Space],
 [http://mathworld.wolfram.com Wolfram Math World]}} של <math>.E</math>

==קשר לאוריינטציה על יריעה==
אם <math>X</math> יריעה חלקה ו<math>E=T(X)</math> הוא ה[[אגד משיק|אגד המשיק]] {{אנג|Tangent bundle}}
שלה אז, אוריינטציה על <math>X</math> שקולה לאוריינטציה על <math>.E</math> כמו כן
<math display="block">orient_X=orient_{E/X},\quad Orient_X=Orient_{E/X}, \quad \mathcal Orient_X= \mathcal Orient_{E/X}, \quad D_{X}=D_{E/X}.</math>
נשים לב כי אף על פי שמושג האוריינטציה מוגדר לאגד מעל מרחב טופגולוגי <math>X</math> כלשהו, ניתן להגדיר באמצעותו אוריינטציה על <math>X</math> רק אם <math>X</math> יריעה חלקה, זאת מכיוון שהאגד המשיק מוגדר רק עבור יריעה חלקה. בשביל להגדיר 
[[אוריינטציה (מתמטיקה)#אוריינטציה על יריעה טופולוגית|אוריינטציה על יריעה טופולוגית]] כללית, צריך להשתמש בשיטה אחרת.
===אוריינטציה יחסית===
{{ערך מורחב|אוריינטציה יחסית}}
בהתבסס על מושג האוריינטציה על אגד אפשר להגדיר את מושג [[אוריינטציה יחסית|האוריינטציה היחסית]] של ההעתקה <math>\phi:M\to N</math> בשני מקרים: 
* <math>\phi</math> היא [[אימרסיה]] {{אנג|immersion (mathematics)|immersion}} 
* <math>\phi</math> היא [[סובמרסיה]] {{אנג|submersion (mathematics)|submersion}}

בשני המקרים ניתן גם להגדיר גרסאות יחסיות של האובייקטים המקומיים המבוססים על [[כיסוי האוריינטציות]]:
<center>
<math>orient_{M/N},\quad Orient_{M/N},\quad D_{M/N},\quad \mathcal Orient_{M/N} ,\quad \Omega_{M/N}</math>
</center>
כל אלה יהיו אובייקטים מעל <math>.M</math>

==אוריינטציה על אגד וטורסורים==
ניתן להתייחס אל אגד וקטורי <math>n</math> ממדי, כאל <math>GL_n(\R)</math>-[[טורסור]]. מנקודת מבט זאת אגד מכוון (אגד עליו נקבעה אוריינטציה) הוא <math>GL^+_n(\R)</math>-טורסור. כאן <math>GL^+_n(\R)</math> היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] ה[[מטריצה|מטריצות]] עם [[דטרמיננטה]] [[מספר חיובי|חיובית]].

<math>GL_n(\R)</math>-טורסור מעל מרחב טופולוגי <math>X</math> הוא מרחב <math>T</math> המועתק ל<math>X</math> שה[[סיב (מתמטיקה)|סיבים]] {{אנג|Fiber (mathematics)|Fiber}} שלו הם [[מרחב הומוגני עיקרי|מרחבים הומוגניים עיקריים]] {{אנג|Principal homogeneous space}} מעל <math>GL_n(\R)</math>. זאת אומרת ש <math>GL_n(\R)</math> פעולת עליהם באופן [[פעולה טרנזיטיבית|טרנזיטיבי]], עם [[מייצב (מתמטיקה)|מייצב]]ים [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאליים]]. לכל אגד וקטורי <math>E</math> מעל <math>X</math> ניתן להתאים <math>GL_n(\R)</math>-טורסור באופן הבא: 
<math display="block">T:=\{(x,b)|x\in X, \text{ and } b \text{ is a basis of } E|_x\}</math>
הפעולה של <math>GL_n(\R)</math> נתונה על ידי החלפת [[בסיס (אלגברה)|בסיס]]. קל לראות שהתאמה זאת נותנת [[פונקציה חח"ע ועל|התאמה חח"ע ועל]] בין מחלקות [[איזומורפיזם]] של אגדים ומחלקות איזומורפיזם של טורסורים.{{הערה| למעשה זוהי [[שקילות קטגוריות]] אם אנו מתייחסים רק לאיזומורפיזמים}}

באופן אנלוגי, לכל אגד וקטורי מכוון <math>(E,o)</math> מעל <math>X</math> ניתן להתאים <math>GL^+_n(\R)</math>-טורסור באופן הבא: 
<math display="block">T:=\{(x,b)|x\in X, \text{ and } b \text{ is a positive basis of } E|_x \text{ w.r.t. } o_x\}</math>

בניות דומות קיימות גם עבור מבנים אחרים. כך למשל:
* אגד עם מכפלה פנימית הוא <math>O_n(\R)</math>-טורסור.
* אגד עם תבנית סימפלקטית הוא <math>Sp_n(\R)</math>-טורסור.
* אגד (מממד <math>2n</math>) עם מבנה [[מספר מרוכב|מרוכב]] הוא <math>GL_n(\Complex)</math>-טורסור.
* אגד עם תבנית נפח הוא <math>SL_n(\R)</math>-טורסור.

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{אוריינטציה}}

[[קטגוריה:טופולוגיה]]
[[קטגוריה:גאומטריה]]