הצגת המקור של הדף "אורתוגונליות"

'''אוֹרְתּוֹגוֹנָלִיּוּת''' היא הכללה של תכונת ה[[אנך|ניצבות]] המוכרת מ[[גאומטריה]]. בגאומטריה, שני ישרים ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] האוקלידי ניצבים זה לזה אם ה[[זווית]] הנוצרת בנקודת החיתוך שלהם היא זווית ישרה (בת 90 מעלות). מושג האורתוגונליות מנסה לתפוס תכונה זו גם עבור ה[[הכללה (מתמטיקה)|הכללות]] של המישור האוקלידי – [[מרחב וקטורי|המרחבים הווקטוריים]] שאיבריהם אינם בהכרח [[ישר]]ים אלא [[וקטור (אלגברה)|וקטורים]], שהם מושג כללי יותר.

על מנת להכליל את מושג הניצבות יש ראשית להכליל את מושג הזווית בין שני וקטורים. לשם כך משתמשים ב[[פונקציה]] שמקבלת שני וקטורים ומחזירה גודל שניתן לחשוב עליו כעל מכפלת אורכי הווקטורים זה בזה וב[[קוסינוס]] הזווית ביניהם. פונקציה זו נקראת "[[מכפלה פנימית]]" (מקרה מסוים שלה זה [[מכפלה סקלרית]]). ישנן מכפלות פנימיות רבות שניתן להגדיר על מרחב וקטורי, ולכן גם מושגי האורך והזווית של וקטורים יכולים לקבל משמעויות רבות, אבל יש כמה תכונות בסיסיות שאנו מצפים שיתקיימו תמיד, ואלו התכונות שמאפיינות את המכפלה הפנימית. מכיוון שקוסינוס של זווית בין שני ישרים ניצבים שווה ל-0 מתבקש להגדיר שני וקטורים כאורתוגונליים אם המכפלה הפנימית שלהם שווה ל-0.

לווקטורים אורתוגונליים חשיבות רבה כאשר חוקרים מרחבים וקטוריים. ל[[בסיס (אלגברה)|בסיס]] של מרחב וקטורי יש מספר תכונות נוחות כאשר הוא אורתונורמלי (כל אבריו אורתוגונליים זה לזה ובעלי אורך 1). יתר על כן, מתברר שבהינתן בסיס כלשהו למרחב וקטורי ניתן לקבל ממנו בסיס חדש שכל אבריו אורתוגונליים זה לזה, כך שתמיד ניתן למצוא בסיס נוח שכזה. דבר זה נעשה על ידי [[תהליך גרם-שמידט]].

== אורתוגונליות בין וקטורים ==
לכאורה, אורתוגונליות ו[[אנך|ניצבות]] הן מילים נרדפות. מ[[יוונית]], ὀρθός (אורתוס) – ישר, γωνία (גוניה) – זווית. אף על פי כן, ניצבוּת היא רק [[מקרה פרטי]] של אורתוגונליות ב[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]] התלת-ממדי – שני ישרים החותכים זה את זה בזווית ישרה הם אורתוגונליים זה לזה.

באופן כללי, שני וקטורים <math>\,u,v</math> ב[[מרחב מכפלה פנימית]] הם אורתוגונליים זה לזה [[אם ורק אם]] [[מכפלה פנימית|מכפלתם הפנימית]] שווה ל-0. הסימון המקובל לכך הוא <math>\,u\perp v</math>. בפרט, שני ישרים אורתוגונליים זה לזה אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה ל-0, כלומר אם הם מאונכים זה לזה.

=== מסקנות הנובעות מתכונות המכפלה הפנימית ===
* אם <math>\,u\perp v</math>, אז <math>\,v\perp u</math>.
* אם <math>\,u\perp v</math>, אזי לכל [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]] <math>\,\lambda</math> גם <math>\,\lambda u\perp v</math>.
* אם <math>\,u\perp v</math> וגם <math>\,w\perp v</math>, אזי <math> \ (w+u) \perp v</math>.
* אם וקטור אורתוגונלי לקבוצה של וקטורים אזי הוא גם אורתוגונלי לכל [[צירוף ליניארי]] שלהם. זוהי מסקנה ישירה משתי התכונות הקודמות.

===וקטור אורתוגונלי למרחב===
יהי <math>\,U</math>, תת-מרחב של <math>\,V</math>, ויהי <math>\,v\in V</math>.

<math>\,v</math> יקרא אורתוגונלי ל-<math>\,U</math>, ויסומן <math>\,v\perp U</math>, אם <math>\,v</math> אורתוגונלי לכל אחד מאיברי <math>\,U</math>.

על כן, (לפי המסקנות לעיל) <math>\,v\perp U</math> אם ורק אם <math>\,v</math> אורתוגונלי לקבוצה ה[[קבוצה פורשת|פורשת]] את <math>\,U</math>, ובפרט ל[[בסיס (אלגברה)|בסיס]] של <math>\,U</math>.

== תת-מרחב משלים אורתוגונלי ==
'''תת מרחב משלים אורתוגונלי''' (או '''תת מרחב מאונך''') של תת-מרחב [[מרחב אוקלידי|אוקלידי]] נתון, הוא תת-מרחב שכל וקטור בו אורתוגונלי לכל וקטור בתת-המרחב הנתון. במילים אחרות, <math>\,V</math> הוא תת-מרחב מאונך של <math>\,U</math> מעל [[מכפלה פנימית]] <math>\langle -,- \rangle : V \times V \to F</math> אם מתקיים כי: <math>\forall u\in U, v\in V . \langle u,v \rangle=0</math>.

לכל תת-מרחב אוקלידי יש תת-מרחב משלים אורתוגונלי. לדוגמה, במרחב אוקלידי דו־ממדי, המשלים האורתוגונלי של כל [[ישר]] הוא פשוט הישר המאונך לו. במרחב אוקלידי תלת־ממדי, תת-המרחב המשלים האורתוגונלי של כל ישר הוא [[מישור (גאומטריה)|המישור]] המאונך לו, ותת המרחב המשלים האורתוגונלי של כל מישור הוא הישר המאונך לו (מדובר רק על ישרים ומישורים המהווים [[מרחב וקטורי|תת מרחבים]], כלומר עוברים דרך [[ראשית הצירים]]).

== אורתוגונליות משתנים מקריים ==
ב[[הסתברות]], שני [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] <math>X</math> ו־<math>Y</math> נקראים '''אורתוגונליים''' אם ה[[תוחלת]] של מכפלתם שווה לאפס:
:<math>E[XY]=0</math>

== אורתונורמליות ==
קבוצת וקטורים תקרא אורתוגונלית אם כל זוג וקטורים מהקבוצה אורתוגונליים זה לזה.
קבוצת וקטורים תקרא '''אורתונורמלית''' אם בנוסף לדרישה הקודמת כל וקטור בקבוצה הוא [[מנורמל]], כלומר: ה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] שלו שווה ל-1. את התנאי לאורתונורמליות אפשר להציג באופן אלגנטי באמצעות [[הדלתא של קרונקר]]:

קבוצה <math>\,A</math> היא אורתונורמלית [[אם ורק אם]] <math> \forall v_n, v_m \in A : \lang v_n, v_m \rang = \delta_{n,m}</math>.

דוגמאות:
# [[בסיס (אלגברה)#הבסיס הסטנדרטי|הבסיס הסטנדרטי]] הוא [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] אורתונורמלי תחת המכפלה הפנימית הסטנדרטית.
# כל [[אופרטור סיבוב]] הוא [[מטריצה]] אורתונורמלית.

בהינתן בסיס כלשהו של מרחב מכפלה פנימית (סופי או מעוצמת [[אלף אפס]]), ניתן להפיק ממנו בסיס אורתונורמלי באמצעות [[תהליך גרם-שמידט]].

== דוגמאות ==
* ב-<math>\mathbb{R}^3</math> [[הבסיס הסטנדרטי]] <math>\vec{e}_1 = (1,0,0), \ \vec{e}_2 = (0,1,0), \ \vec{e}_3 = (0,0,1)</math> הוא סדרה אורתונורמלית ביחס ל[[מכפלה סקלרית|מכפלה הסקלרית]].
* באופן כללי, ב-<math>\mathbb{R}^n</math> [[הבסיס הסטנדרטי]] הוא סדרה אורתונורמלית ביחס למכפלה הסקלרית.
* ב-<math>\mathbb{R}^2</math> הסדרה <math>\vec{v}_1 = (1,1), \ \vec{v}_2 = (1,-1)</math> היא אורתוגונלית ביחס למכפלה הסקלרית (כי <math>\langle v_1, v_2 \rangle = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0</math>) אבל לא אורתונורמלית, כי למשל <math>\langle v_1, v_1 \rangle = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2 \ne 1</math>.

=== דוגמאות לפולינומים אורתוגונליים ===
קיימים מספר [[פולינום|פולינומים]] אורתוגונליים ביחס למכפלתם הפנימית:
# [[פולינומי לז'נדר]] אורתוגונליים ביחד למכפלה הפנימית הסטנדרטית של מרחב הפולינומים.
# [[פולינומי צ'בישב]]
# [[פולינומי הרמיט]]
# [[פולינומי לגר]]

== ראו גם ==
* [[תהליך גרם-שמידט]]
* [[פולינומי לז'נדר]]

== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקימילון=אורתוגונלי}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}

{{אלגברה ליניארית}}

[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]
[[קטגוריה:אנך]]
[[קטגוריה:פונקציות אורתוגונליות|אורתוגונליות]]