הצגת המקור של הדף "אטום (תורת המידה)"

{{סימון מתמטי}}
ב[[תורת המידה]], '''אטום''' הוא קבוצה מדידה שאינה [[קבוצה ממידה אפס]] אשר כל [[תת-קבוצה|תת-הקבוצות]] המדידות שלה הן קבוצות ממידה שווה לה או ממידה אפס. מבחינה אינטואיטיבית, כשם ש[[אטום]] ב[[כימיה]] הוא היחידה הבסיסית שאינה ניתנת לחלוקה, כך גם האטום המתמטי הוא קבוצה שאינה ניתנת לחלוקה (לקבוצות ממידה קטנה יותר).

לאטומים יש חשיבות רבה בתורת המידה, [[תורת ההסתברות]] וב[[פיזיקה]], שם הם מייצגים [[חלקיק נקודתי]] במרחב.

== הגדרה פורמלית ==
בהינתן [[מידה (מתמטיקה)|מרחב מידה]] <math>(\Omega, \Sigma,\mu)</math> וקבוצה מדידה <math>A\in\Sigma</math>, הקבוצה <math>A</math> תקרא '''אטום''' [[אם ורק אם]] מתקיימים התנאים הבאים:<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Atom|כותרת=Atom - Encyclopedia of Mathematics|אתר=encyclopediaofmath.org|תאריך_וידוא=2023-07-31}}</ref>
* <math>\mu(A)>0</math>
* לכל <math>\Sigma\ni B\subseteq A</math> מתקיים כי <math>\mu(B)=\mu(A)</math> או <math>\mu(B)=0</math>

את התנאי האחרון ניתן לנסח באופן שקול:<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Roy A. Johnson|שם=Atomic and Nonatomic Measures|כתב עת=Proceedings of the American Mathematical Society|כרך=25|שנת הוצאה=1970|עמ=650–655|doi=10.2307/2036664|קישור=https://www.jstor.org/stable/2036664}}</ref>
* לכל <math>B\in\Sigma</math> מתקיים כי <math>\mu(A\cap B)=0</math> או <math>\mu(A\backslash B)=0</math>

== קבוצות שונות עד כדי מידה אפס ==
בהינתן אטום כלשהו <math>A\in\Sigma</math> וקבוצה מדידה כלשהי <math>B\in\Sigma</math> כך ש-<math>\mu(A\Delta B)=0</math> (הסימון <math>\Delta</math> הוא ה[[הפרש סימטרי|הפרש הסימטרי]]), אזי <math>B</math> עצמה היא אטום ו-<math>\mu(B)=\mu(A)</math>. כלומר, אם מחלקים את המרחב ל[[מחלקת שקילות|מחלקות שקילות]] על-פי הפרש סימטרי ממידה אפס, כל הקבוצות במחלקת השקילות של אטום כלשהו, אף הן אטומיות.

יתרה מזאת, אם עבור שני אטומים <math>A,B\in\Sigma</math> מתקיים כי <math>\mu(A\cap B)\ne 0</math>, אז בהכרח <math>\mu(A\Delta B)=0</math> והקבוצות שייכות לאותה מחלקת שקילות. כלומר, זוג אטומים יכולים להחשב "אטומים ייחודיים" אם ורק אם החיתוך שלהם הוא ממידה אפס.

== אטום יחידוני ==
איבר כלשהו <math>x\in\Omega</math> יקרא '''אטום יחידוני''' אם ורק אם <math>\left\{x\right\}</math> היא קבוצה מדידה ו-<math>\mu(\left\{x\right\})\ne 0</math>. ניתן להבחין כי אם <math>x</math> הוא אטום יחידוני אז <math>\left\{x\right\}</math> היא אטום. באופן דומה ניתן להגדיר אטום יחידוני להיות אטום ש[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמתו]] 1 (על פי הגדרה זו האטום היחידוני הוא קבוצה מהצורה <math>\left\{x\right\}</math> ולא <math>x</math> עצמו, וניתן להבין מההקשר האם משתמשים בהגדרה הראשונה או השנייה).

ניתן להוכיח כי עבור המרחב <math>\mathbb{R}^n</math> עם [[קבוצת בורל|סיגמא-אלגברת בורל]] ואטום כלשהו <math>A</math> קיים אטום יחידוני <math>x\in A</math>, כלומר <math>\mu(A\backslash \{x\})=0</math>. אטום זה יהיה האטום היחידוני היחיד בתוך <math>A</math>.

=== הוכחה עבור מימד אחד ===
במקרה שבו <math>\Omega= \mathbb{R}</math> ההוכחה מתבצעת ב[[אינדוקציה]]. בסיס האינדוקציה הוא <math>B_0=A</math>. כמובן ש-<math>B_0</math> הוא אטום. לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מגדירים קבוצה חדשה <math>B_n</math> בצורה [[רקורסיה|רקורסיבית]] (כלומר, על סמך השלב הקודם) ומוכיחים כי היא אטום.

שלב האינדוקציה הוא:
מניחים ש-<math>B_{n-1}</math> הוא אטום, ומחלקים את המרחב ל[[קטע (מתמטיקה)|מקטעים]] חצי פתוחים מלמעלה באורך <math>\frac{1}{n}</math>. בגלל ש-<math>B_{n-1}</math> הוא אטום, בהכרח קיים מקטע ''יחיד'' אשר חיתוכו עם <math>B_{n-1}</math> אינו ממידה אפס. מסמנים מקטע זה ב-<math>\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)</math> ומגדירים:<math display="block">. B_n:=B_{n-1}\cap \left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)</math>בגלל ש-<math>\mu(B_{n-1}\backslash B_n)= 0</math> בהכרח, <math>B_n</math> אף הוא אטום ושווה במידתו ל-<math>A</math>. ממשיכים כך עד אינסוף.

באמצעות [[הלמה של קנטור]] ניתן להוכיח כי קיים <math>x\in A</math> כך ש-<math>\bigcap_{n}{B_n}=\{x\}</math>. כמו כן, בגלל תכונות המידה:
<math display="block">\mu(\{x\})=\lim_{n\to\infty}{\mu(B_n)}=\mu(A)</math>
ובכך נמצא אטום יחידוני בתוך ב-<math>A</math>. יחידות נובעת ישירות מתכונות האטום. '''מ.ש.ל.'''

ההוכחה עבור <math>\Omega= \mathbb{R}^n</math> כללי דומה להוכחה זו.

== מרחבי מידה חשובים ==
=== מידת דיראק ===
{{הפניה לערך מורחב|מידת דיראק}}
עבור [[מרחב מדיד]] <math>(\Omega, \Sigma)</math> ו-<math>x\in\Omega</math> מגדירים את '''מידת דיראק סביב''' <math>x</math> המסומנת ב-<math>\delta_x</math> כך שלכל קבוצה מדידה <math>B</math> מתקיים:

<math>\delta_x(B):=\begin{cases}
1&& \text{if } x\in B \\
0 && \text{otherwise}
\end{cases}</math>

מידה זו נחשבת למידה הבסיסית עם אטום יחידוני <math>x</math> ביחס ל[[סיגמא-אלגברה]] <math>\Sigma</math> (בהנחה ש-<math>\left\{x\right\}</math> קבוצה מדידה), שכן זו המידה עם ה[[תומך (מתמטיקה)|תומך]] המינימלי שמכיל את <math>x</math>.

למידת דיראק חשיבות רבה ב[[פיזיקה]] והיא קשורה קשר הדוק ל[[פונקציית הדלתא של דיראק]] שמשמשת פיזיקאים לתאר מרחב ובו [[חלקיק נקודתי]].

=== מידה אטומית ===
בהינתן [[מידה (מתמטיקה)|מרחב מידה]] <math>(\Omega, \Sigma,\mu)</math> המידה <math>\mu</math> תקרא '''מידה אטומית''' (או לחלופין '''אטומית טהורה''') אם ניתן לפרק את המרחב <math>\Omega</math> לאטומים זרים [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] קבוצה ממידה אפס. כלומר, עבור מידה אטומית קיימים <math>\{A_1,A_2,\dots\}\subseteq \Sigma</math> כך ש:

# <math>\Omega=\bigcup_n{A_n}</math>
# <math>A_n</math> הוא אטום לכל <math>n\in \mathbb{N}</math>
# לכל <math>i,j\in \mathbb{N}</math> כך ש-<math>i\ne j</math> מתקיים כי <math>\mu(A_i\cap A_j)=0</math>

על פי ההגדרה, אם כל האטומים של מידה אטומית הם ממידה סופית, אז המידה היא [[מידה סיגמא-סופית|סיגמא-סופית]]. יתרה מכך, כל מידה סיגמא-סופית שעבורה כל קבוצה מדידה <math>B\in\Sigma</math> מכילה בתוכה אטום היא בהכרח מידה אטומית.

=== מידה בדידה ===
בהינתן [[מידה (מתמטיקה)|מרחב מידה]] <math>(\Omega, \Sigma,\mu)</math> המידה <math>\mu</math> תקרא '''מידה בדידה''' אם ורק אם קיימת קבוצה מדידה [[קבוצה בת מנייה|בת-מניה]] <math>\{a_1,a_2,\dots\}\in\Sigma</math> כך ש-<math>\mu(\Omega \backslash \{a_1,a_2,\dots\})=0</math>.

עבור [[סיגמא-אלגברת בורל]], ניתן להוכיח כי <math>\mu=\sum_i{\omega_i\delta_{a_i}}</math> כאשר <math>\delta_{a_i}</math> היא [[מידת דיראק]] סביב <math>a_i</math> ו-<math>\omega_i\in (0,\infty]</math> הן משקולות חיוביות או אינסופיות. כלומר, <math>\mu</math> המוגדרת על סיגמא-אלגברת בורל היא מידה בדידה אם ורק אם היא יכולה להכתב כסכום ממושקל בן-מניה של מידות דיראק.

ניתן להוכיח כי כל מידה אטומית סיגמא-סופית המוגדרת על סיגמא-אלגברת בורל היא מידה בדידה. לחלופין, כל מידה בדידה על סיגמא-אלגברת בורל היא מידה אטומית.

=== מידה אי-אטומית ===
בהינתן [[מידה (מתמטיקה)|מרחב מידה]] <math>(\Omega, \Sigma,\mu)</math> המידה <math>\mu</math> תקרא '''מידה אי-אטומית''' אם ורק אם אין לה אטומים כלל. כלומר, לכל <math>A\in \Sigma</math> המקיים <math>\mu(A)>0</math> קיים <math>\Sigma\ni B\subset A</math> כך ש-<math>0<\mu(B)<\mu(A)</math>.

חשיבותן של מידות אי-אטומיות היא שהן מקיימות את [[משפט שרפינסקי]]<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Wacław Sierpiński|שם=Sur les fonctions d'ensemble additives et continues|כתב עת=Fundamenta Mathematicae|כרך=3|שנת הוצאה=1922|עמ=240–246|doi=10.4064/fm-3-1-240-246|קישור=https://www.impan.pl/pl/wydawnictwa/czasopisma-i-serie-wydawnicze/fundamenta-mathematicae/all/3/0/92458/sur-les-fonctions-d-ensemble-additives-et-continues}}</ref>: בהינתן מרחב מידה אי-אטומי <math>(\Omega, \Sigma,\mu)</math>, לכל <math>A\in \Sigma</math> המקיים <math>\mu(A)=c\ne 0</math> ולכל <math>b\in [0,c]</math> קיימת קבוצה מדידה <math>\Sigma \ni B\subseteq A</math> כך ש-<math>\mu(B)=b</math>.

[[מידת לבג]] היא מידה אי-אטומית.

== ראו גם ==
* [[מידת דיראק]]
* [[מידה סינגולרית]]
* [[משפט הפירוק של לבג]]

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:תורת המידה]]