הצגת המקור של הדף "איבר (תורת הקבוצות)"

{{סימון מתמטי}}
ב[[תורת הקבוצות]], '''איבר''' הוא פריט מתוך [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]]. קבוצה מוגדרת באמצעות האיברים השייכים אליה. ב[[תורת הקבוצות הנאיבית]] איבר יכול להיות כל עצם גשמי או מופשט, אך בדרך כלל איבר הוא [[אובייקט מתמטי]]. ניתן להציג קבוצה באמצעות [[סוגריים מסולסלים]], שביניהם מפורטים כל איברי הקבוצה (כל האיברים שונים זה מזה, ואין חשיבות לסדר הופעת האיברים), למשל הנוסחה <math>A=\{a,19,7\}</math> אומרת שקבוצה בשם <math>A</math> מכילה שלושה איברים: האות האנגלית <math>a</math> והמספרים 19 ו־7. ניתן גם להגדיר קבוצה באמצעות כלל המגדיר את תכונות איברי הקבוצה. למשל הנוסחה <math>z\}</math> הוא מספר שלם חיובי זוגי <math>A=\{z:</math>, מגדירה את הקבוצה שאבריה הם כל המספרים הטבעיים הזוגיים (ורק הם).

היחס הבסיסי בין איבר לקבוצה הוא השייכות ביניהם. כאשר איבר <math>\ x</math> שייך לקבוצה <math>\ A</math> מסמנים זאת בצורה <math>x\in A</math> ונאמר ש־<math>\ A</math> כוללת את <math>\ x</math> או ש־<math>\ x</math> שייך ל־<math>\ A</math>, אם אינו שייך נסמן זאת <math>x\not\in A</math>. קבוצה שאין בה איברים קרויה [[הקבוצה הריקה]], שסימנה <math>\emptyset</math>.

מקובל לחלק קבוצות לפי גודלן, או [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמתן]]:
* קבוצה בעלת עוצמה סופית, או [[קבוצה סופית]], היא קבוצה שבה מספר סופי של איברים (גם הקבוצה הריקה היא קבוצה סופית).
* קבוצה שמכילה [[אינסוף]] איברים היא בעלת עוצמה אינסופית, או [[קבוצה אינסופית]].
קבוצות אינסופיות ניתן להגדיר רק על ידי כלל המגדיר את אברי הקבוצה – אך יש כללים שהשימוש בהם יוצר [[הפרדוקס של ראסל|פרדוקסים]]. כדי להימנע מפרדוקסים כאלו, נוצרה [[תורת הקבוצות האקסיומטית]]. בתורה זו כל האובייקטים באשר הם, הם קבוצות, ולכן כל איבר הוא בעצמו קבוצה.

==דוגמאות==
* כלב הוא איבר בקבוצה {כלב, חתול, צרצר} ולכן נסמן {כלב, חתול, צרצר} <math>\in</math> כלב. פיל איננו איבר בקבוצה זו ולכן נסמן {כלב, חתול, צרצר} <math>\notin</math> פיל. זוהי קבוצה סופית בעלת שלושה איברים.
* תהי S הקבוצה {x הוא\היא אזרח.ית סין בתאריך 5.2.2024: x}<math>S=</math>: כל אזרח של סין בתאריך המצוין הוא איבר ב־<math>S</math>. בפרט <math>S</math> <math>\in</math> [[חו ג'ינטאו]]. זוהי קבוצה סופית שמספר איבריה גדול מאוד, וייתכן שמספר זה אינו ידוע.
* [[3 (מספר)|3]] הוא איבר בקבוצת [[מספר טבעי|כל המספרים החיוביים השלמים]] שהיא קבוצה אינסופית. נסמן את השיוך כך: {כל המספרים החיוביים השלמים} <math>\in</math> 3.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}

[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]

[[ru:Множество#Элемент множества]]