הצגת המקור של הדף "איבר הפיך"

ב[[אלגברה]], '''איבר הפיך''' הוא [[איבר (מתמטיקה)|איבר]] של [[מבנה אלגברי]] שקיים לו [[איבר הופכי]] במסגרת המבנה.

==הגדרה פורמלית==
יהי <math>S</math> מבנה אלגברי עם [[פעולה בינארית]] ו[[איבר יחידה]] שנסמנו <math>e</math>. 

עבור <math>a\in S</math>, אם קיים <math>b\in S</math> כך ש־<math>ab=e</math> אז <math>a</math> נקרא איבר '''הפיך מימין''', ו־<math>b</math> נקרא ההופכי מימין שלו. אם <math>ba = e</math>, אז <math>a</math> נקרא איבר '''הפיך משמאל''' ו־<math>b</math> נקרא ההופכי משמאל שלו. איבר שהפיך הן מימין והן משמאל נקרא איבר '''הפיך דו־צדדי''' או פשוט איבר '''הפיך'''.

==בתורת המונואידים==
באופן כללי, במבנה אלגברי עם איבר יחידה, לאיבר יכולים להיות הופכיים רבים, הן מימין והם משמאל. אם המבנה הוא [[מונואיד (מבנה אלגברי)|מונואיד]] (כלומר הפעולה הבינארית [[אסוציאטיביות|קיבוצית]]), אז לאיבר הפיך <math>a</math> (דו־צדדי, אך לא חד־צדדי) יש הופכי יחיד, הן מימין והן משמאל, וסימונו <math>a^{-1}</math>. זאת מהטעם הפשוט שאם ל־<math>a</math> יש הופכי מימין <math>b</math> והופכי משמאל <math>c</math> אז:
:<math>\ b = eb = (ca)b = c(ab) = ce = c</math>

ההופכי של ההופכי הוא האיבר עצמו.

איבר היחידה הוא תמיד איבר הפיך, שכן הוא ההופכי של עצמו. מונואיד בו כל האיברים הפיכים נקרא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]]. קבוצת כל האיברים ההפיכים במונואיד היא חבורה, כי היא [[סגירות (אלגברה)|סגורה]]; אם <math>a</math> ו־<math>b</math> הפיכים, אז גם <math>ab</math> הפיך ומתקיים:
:<math>(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}</math>
חבורה זו נקראת '''חבורת ההפיכים''' של המונואיד.

==בתורת החוגים==
איברי [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] (עם יחידה) יוצרים מונואיד ביחס לכפל (ביחס לחיבור הם יוצרים [[חבורה אבלית]] וכל איבר הפיך). חבורת האיברים ההפיכים ביחס לכפל נקראת '''חבורת ההפיכים''' של החוג. עבור חוג <math>R</math> היא לרוב מסומנת <math>R^\times</math> או <math>U(R)</math>. [[איבר האפס]] בחוג תמיד [[חלוקה באפס|אינו הפיך]] (למעט בחוג ה[[טריוויאלי]] בו 0 האיבר היחיד ולכן גם איבר היחידה הכפלי והופכי לעצמו) מכיוון שלכל <math>\ r</math> בחוג <math>0\cdot r = 0 \ne 1</math>. מהסיבה הזו חבורת ההפיכים בחוג (לא טריוויאלי) לעולם אינה חבורה ביחס לחיבור. קבוצת האיברים הלא הפיכים היא חבורה ביחס לחיבור [[אם ורק אם]] החוג הוא [[חוג מקומי]] (ואז היא גם [[אידיאל מקסימלי]]).

חוג בו כל האיברים מלבד אפס הפיכים נקרא [[חוג עם חילוק]] (ניתן להגדיר בו [[חילוק]] ככפל בהופכי). אם פעולת הכפל בחוג עם חילוק [[חילופיות|חילופית]], החוג נקרא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]. [[משפט היחידות של דיריכלה]] קובע שחבורת ההפיכים של [[חוג שלמים]] של [[שדה מספרים]] היא חבורה [[חבורה נוצרת סופית|נוצרת סופית]].

חבורת ההפיכים של חוג חילופי [[פעולת חבורה|פועלת]] על החוג דרך כפל. כך מוגדר על החוג [[יחס שקילות]] הנקרא '''חברות'''; שני איברים בחוג, <math>r, s</math>, נקראים '''חברים''' אם קיים איבר הפיך <math>u</math> כך ש־<math>r=us</math>, והיחס מסומן <math>r\sim s</math> ([[מחלקת שקילות|מחלקות השקילות]] הם ה[[מסלול (תורת החבורות)|מסלולים]] של החבורה). לחברות חשיבות בחקר [[תחום שלמות|תחומי שלמות]], שם היא מאפשרת להכליל את [[המשפט היסודי של האריתמטיקה]] ל[[תחום פריקות יחידה|תחומי פריקות יחידה]] – איבר בתחום כזה ניתן לפירוק יחיד לגורמים [[איבר אי-פריק|אי־פריקים]] [[עד כדי]] סדר הגורמים וחברות (ב[[חוג המספרים השלמים]] הדבר מתבטא בכך שפירוקים שקולים יכולים להיבדל ב[[סימן (אריתמטיקה)|סימן]] של הגורמים).

חבורת ההפיכים מגדירה [[פונקטור]] מ[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריית]] החוגים לקטגוריית החבורות, משום שאם שני חוגים [[הומומורפיזם|הומומורפיים]], אז גם חבורות ההפיכים שלהם הומומורפיות.

===דוגמאות===
*ב[[חוג המספרים השלמים]] האיברים ההפיכים היחידים הם <math>1</math> ו־<math>-1</math>. לכן כל [[מספר שלם]] הוא חבר של עצמו ושל הנגדי של עצמו בלבד.
*ב[[חוג השלמים של גאוס]] האיברים ההפיכים הם <math>1, -1, i, -i</math>.
*באופן כללי בכל חוג [[שורש יחידה|שורשי היחידה]] תמיד הפיכים, שכן אם <math>\rho^n=1</math>, אז <math>\rho^{-1}=\rho^{n-1}</math>.
*בחוג ה[[פולינום|פולינומים]] מעל שדה נתון האיברים ההפיכים הם ה[[פונקציה קבועה|פולינומים הקבועים]] (מלבד פולינום האפס). כלומר חבורת ההפיכים היא החבורה הכפלית של השדה.
*בחוג ה[[מטריצה|מטריצות]] מסדר נתון מעל שדה נתון האיברים ההפיכים הם ה[[מטריצה הפיכה|מטריצות ההפיכות]] וחבורת ההפיכים היא [[החבורה הליניארית הכללית]].
*בחוג המספרים השלמים [[חשבון מודולרי|מודולו]] <math>n</math> האיברים ההפיכים הם אלו ש[[מספרים זרים|זרים]] ל־<math>n</math> וחבורת ההפיכים היא [[חבורת אוילר]] מסדר <math>n</math>.
*כל [[איבר נילפוטנטי]] <math>x\in R</math> הוא קוואזי־הפיך, שפירושו שהאיבר <math>1-x</math> הפיך. ה[[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]] הגדול ביותר שכל איבריו קוואזי־הפיכים הוא [[רדיקל ג'ייקובסון]].

==הכללות==
{{ערך מורחב|חוג פון-נוימן רגולרי}}
קל לראות שאיבר הפיך מקיים <math>aa^{-1}a = a</math>. תכונה זו מאפשרת להכליל את תכונת ההפיכות גם ל[[חבורה למחצה|חבורות למחצה]] בהן אין בהכרח איבר יחידה. בחבורה למחצה, איבר <math>a</math> נקרא איבר '''רגולרי''' אם קיים איבר <math>b</math> כך שמתקיים <math>aba=a</math> (<math>b</math> נקרא הפסאודו־הופכי של <math>a</math>). אם גם <math>bab=b</math> אז <math>b</math> נקרא ההופכי של <math>a</math>. לכל איבר רגולרי יש איבר הופכי. אם <math>aba=a</math>, אז <math>bab</math> הופכי של <math>a</math> (עולה מחישוב ישיר). המכפלה של זוג הופכיים היא איבר [[אידמפוטנט]], <math>(ab)^2 = abab=ab</math> הדומה במובנים רבים לאיבר יחידה.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:תורת החוגים]]
[[קטגוריה:תורת המספרים האלגברית]]