הצגת המקור של הדף "איבר יחידה"

'''איבר יחידה''' (גם: '''איבר נייטרלי''' או '''איבר אדיש''') מוגדר עבור [[פעולה בינארית]]  ב[[מבנה אלגברי]]. תכונתו היא שהפעלת הפעולה הבינארית על אבר זה ואבר אחר, כלשהו, תמיד יוחזר האבר האחר כתוצאת הפעולה.

כאשר נתונים קבוצה <math>\ S</math> ופעולה בינארית, שנסמנה <math>\ \star</math>, המוגדרת על איבריה, אזי:
* איבר <math>\ e\in S</math> ייקרא איבר יחידה שמאלי, אם לכל <math>\ x\in S</math> מתקיים <math>\ e\star x =x</math>.
* איבר <math>\ e\in S</math> ייקרא איבר יחידה ימני, אם לכל <math>\ x\in S</math> מתקיים <math>\ x\star e =x</math>.
אם <math>\ e</math> הוא איבר יחידה שמאלי וגם איבר יחידה ימני, הוא ייקרא בפשטות איבר היחידה.

נניח כי <math>\ e, e^\prime</math> איברי יחידה, אז <math>\ e = e\star e^\prime = e^\prime</math> ומכאן שאם ישנו איבר יחידה, אז הוא בהכרח יחיד.

נניח כי<math>e_R,e_L</math> איבר יחידה ימיני ואיבר יחידה שמאלי בהתאמה, אז <math>e_L = e_L \star e_R = e_R</math> ומכאן שאם קיימים הן איבר יחידה שמאלי והן איבר יחידה ימני, אז הם אותו איבר.

ב[[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] רבים, כגון [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] ו[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], קיומו של איבר יחידה הוא אחד המאפיינים של המבנה האלגברי.

== דוגמאות ==
* בפעולת ה[[חיבור]] המקובלת, איבר היחידה הוא [[0 (מספר)|0]], משום שלכל מספר a מתקיים: <math>a+0 = 0+a = a</math>. איבר יחידה זה קרוי [[איבר האפס]].
* בפעולת ה[[כפל]] המקובלת, איבר היחידה הוא [[1 (מספר)|1]], משום שלכל מספר a מתקיים: <math>a \times 1 = 1 \times a = a</math>.
* בפעולת ה[[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] המקובלת, איבר היחידה הימני הוא 1, משום שלכל מספר a מתקיים: <math>a^1=a</math>.{{כ}} 1 אינו איבר היחידה השמאלי, <math>1^a=1</math>, לא קיים איבר יחידה שמאלי לחזקה.
* ב[[כפל מטריצות]] איבר היחידה הוא [[מטריצת היחידה]] <math>\ I</math>, שהיא ה[[מטריצה]] שרכיבי האלכסון שלה הם 1 ושאר הרכיבים אפס, המקיימת: <math>\ A \cdot I = I \cdot A = A</math>.
* בפעולת [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] בין [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]], איבר היחידה הוא [[הקבוצה הריקה]].
* בהרכבת [[פונקציה|פונקציות]], איבר היחידה הוא [[פונקציית הזהות]].

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:1 (מספר)|*]]
[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:פעולות בינאריות|*1]]

[[fa:عمل دوتایی#عضو خنثی]]