הצגת המקור של הדף "איגודיות"

ב[[תורת ההסתברות]], איגודיות (Lumpability) היא תכונה של שרשרת מרקוב המאפשרת לצמצם את מרחב המצבים של השרשרת. שיטת הצמצום פורסמה לראשונה על ידי [[ג'ון קמני|קמני]] וסנל.
==הגדרה==
בהינתן [[שרשרת מרקוב]] שמרחב המצבים שלה ניתן ל[[חלוקה (תורת הקבוצות)|חלוקה]] על ידי תתי [[קבוצות זרות]] המסומנות ב ''t<sub>i</sub>'', כך שמתקבלת החלוקה <math>\scriptstyle{T = \{ t_1, t_2, \ldots \}}</math> של מצבי השרשרת{{הערה|הן מרחב המצבים והן החלוקה שלו יכולים להיות סופיים או [[בן מניה|בני-מנייה]]}}, השרשרת תיקרא ניתנת לאיגוד ביחס לחלוקה ''T'' [[אם ורק אם]] 

: <math>\forall t_i,t_j\in T, \forall n,n'\in t_i : \sum_{m \in t_j} q(n,m) = \sum_{m \in t_j} q(n',m) ,</math>

כאשר <math>q(i,j)</math> היא ההסתברות לעבור ממצב <math>i</math> למצב <math>j</math>.

כלומר, עבור כל שני מצבים מאוגדים <math>t_i</math> ו-<math>t_j</math> (כולל האפשרות <math>i=j</math>), סכום ההסתברויות של המעברים מכל מצב מקורי בודד שהתאגד ל-<math>t_i</math> אל כל המצבים שהתאגדו ל-<math>t_j</math> זהה.

==דוגמאות==
בהינתן [[מטריצה סטוכסטית|מטריצת הסתברויות המעברים]]

: <math>P = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{3}{8} & \frac{1}{16} & \frac{1}{16} \\
\frac{7}{16} & \frac{7}{16} & 0 & \frac{1}{8} \\
\frac{1}{16} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{7}{16} \\
0 & \frac{1}{16} & \frac{3}{8} & \frac{9}{16} \end{pmatrix}</math>

נבחין שמצבי המטריצה ניתנים לאיגוד על ידי החלוקה
<math>\scriptstyle{T = \{ (1,2),(3,4) \}}</math>
אז נגדיר מטריצה חדשה ''P''<sub>''t''</sub>  שתיקרא המטריצה המאוגדת של ''P'' על ''t'':

: <math>P_t = \begin{pmatrix}
\frac{7}{8} & \frac{1}{8} \\
\frac{1}{16} & \frac{15}{16} \end{pmatrix}</math>

הסבר:

החלוקה  <math>\scriptstyle{T = \{ (1,2),(3,4) \}}</math> מאגדת את המצבים 1 ו-2 יחד ואת המצבים 3 ו-4 יחד. ההסתברות לעבור ממצב מספר 1 לעצמו היא <math>\frac{1}{2}</math> ולמצב 2 היא <math>\frac{3}{8}</math>, ובסה"כ  <math>\frac{7}{8}</math>. שתי ההסתברויות למעברים ממצב 2 למצב 1 וממצב 2 לעצמו הן <math>\frac{7}{16}</math> ובסה"כ <math>\frac{7}{8}</math> .

מכיוון ששני סכומי ההסתברויות שווים זה לזה, ההסתברות למעבר מהמצב שאוגד מהמצבים 1 ו-2 לעצמו תהיה <math>\frac{7}{8}</math>.

ההסתברות לעבור ממצב מספר 3 לעצמו היא <math>\frac{1}{2}</math> ולמצב 4 היא <math>\frac{7}{16}</math>, ובסה"כ  <math>\frac{15}{16}</math>. ההסתברות לעבור ממצב מספר 4 לעצמו היא <math>\frac{9}{16}</math> ולמצב 3 היא <math>\frac{3}{8}</math>, ובסה"כ  <math>\frac{15}{16}</math>.

מכיוון ששני סכומי ההסתברויות שווים זה לזה, ההסתברות למעבר מהמצב שאוגד מהמצבים 3 ו-4 לעצמו תהיה <math>\frac{15}{16}</math>.

ההסתברות לעבור ממצב מספר 1 למצב מספר 3 או למצב מספר 4 היא <math>\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{8}</math>. ההסתברות לעבור ממצב מספר 2 למצב מספר 3 או למצב מספר 4 היא <math>0+\frac{1}{8}=\frac{1}{8}</math>. 

מכיוון שההסתברויות למעברים מהמצבים 1 ו-2 שאוגדו יחד אל מצבים 3 ו-4 שאוגדו יחד זהות, ההסתברות למעבר מהמצב שאוגד מהמצבים 1 ו-2 למצב שאוגד מהמצבים 3 ו-4 תהיה <math>\frac{1}{8}</math>.

ההסתברות לעבור ממצב מספר 3 למצב מספר 1 או למצב מספר 2 היא <math>\frac{1}{16}+0=\frac{1}{16}</math>. ההסתברות לעבור ממצב מספר 4 למצב מספר 1 או למצב מספר 2 היא <math>0+\frac{1}{16}=\frac{1}{16}</math>. 

מכיוון שההסתברויות למעברים מהמצבים 3 ו-4 שאוגדו יחד אל מצבים 1 ו-2 שאוגדו יחד זהות, ההסתברות למעבר מהמצב שאוגד מהמצבים 3 ו-4 למצב שאוגד מהמצבים 1 ו-2 תהיה <math>\frac{1}{16}</math>.

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:תורת ההסתברות]]
[[קטגוריה:תהליכים סטוכסטיים]]
[[קטגוריה:מודלים מרקוביים]]