הצגת המקור של הדף "אידיאל (אלגברת לי)"

ב[[אלגברה מופשטת]], '''אידיאל של [[אלגברת לי]]''' הוא תת-[[מרחב וקטורי]] שלה הסגור לפעולה. האידיאלים של אלגברת לי מקבילים לתת [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] ב[[תורת החבורות]] ולאידיאלים של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]], ומהווים מינוח בסיסי וחשוב בתורת המבנה של אלגברות לי.

==הגדרה פורמלית==

תהי <math>L</math> [[אלגברת לי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>F</math>. תת-[[מרחב וקטורי]] <math>I</math> של <math>L</math> נקרא '''אידיאל''' אם מתקיים <math>\forall x \in L,y \in I : [x,y] \in I</math>, או בשקילות
<math>[I,L] \subseteq I</math>. אם <math>I</math> אידיאל של <math>L</math>, מסמנים <math>I \triangleleft L</math>.

אלגברת לי נקראת '''פשוטה''' אם אין לה אידיאלים לא טריוויאליים.

==תכונות==
* מרחב האפס והמרחב כולו הם אידיאלים.
* ה[[מרכז (אלגברה)|מרכז]] של [[אלגברת לי]] הוא אידיאל.
* <math>[L,L]</math> אידיאל של <math>L</math>.
* אם <math>I,J</math> אידיאלים של <math>L</math> גם סכומם <math>I+J=\{i+j:i \in I, j\in J\}</math> אידיאל.

==אלגברת המנה==
באותו האופן בו בונים מ[[מרחב מנה (אלגברה ליניארית)|מרחב מנה]] של מרחב וקטורי, או [[חוג מנה]], אפשר לבנות גם אלגברת מנה של [[אלגברת לי]] באידיאל נתון שלה.

פורמלית, המרחב מסומן על ידי <math>L/I</math>; כקבוצה הוא שווה למרחב המנה (כמרחב וקטורי), והוא הופך להיות אלגברת לי עם הפעולה <math>[x+I,y+I]=[x,y]+I</math>, ש[[מוגדר היטב|מוגדרת היטב]].

לאחר הגדרה זו, אפשר להגדיר [[הומומורפיזם]] אלגברות לי (כך שישמור את הפעולה), ולהוכיח את [[משפטי האיזומורפיזם]], בצורה אנלוגית לחלוטין לזו מתורת החוגים.

==ראו גם==
* [[אידיאל (אלגברה)]]
* [[חוג מנה]]

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
*Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, 6-7
</div>

[[קטגוריה:אלגבראות לי]]