הצגת המקור של הדף "איזומורפיזם"

{{פירוש נוסף}}
{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''אִיזוֹמוֹרְפִיזְם''' הוא התאמה בין שני [[מבנה (מתמטיקה)|מבנים]] מתמטיים באופן ששומר על המאפיינים המגדירים את המבנה. מבנים שיש ביניהם איזומורפיזם הם '''איזומורפיים''' זה לזה. קיומה של ההתאמה מראה ששני המבנים זהים מכל בחינה בעלת עניין במסגרת התורה העוסקת בהם, גם אם הם נקראים בשמות שונים. מקור המלה מ[[יוונית]]: "אִיזוֹס" (שווה) ו"מוֹרפֶה" (מבנה).

בכמה מקרים קוראים למבנים איזומורפיים בשם מיוחד: איזומורפיזם של [[מרחב טופולוגי|מרחבים טופולוגיים]] נקרא "[[הומיאומורפיזם]]", איזומורפיזם של [[יריעה|יריעות דיפרנציאליות]] נקרא "[[דיפאומורפיזם]]", ואיזומורפיזם של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]] נקרא "[[איזומטריה]]". השם הייחודי מדגיש תכונות מסוימות של המבנה ומונע בלבול (למשל, בשאלה האם שני מרחבים מטריים איזומורפיים ככאלה, או רק כמרחבים טופולוגיים).

את המונח "איזומורפיזם" טבע המתמטיקאי הגרמני [[לאופולד קרונקר]] ב[[המאה ה-19|מאה ה-19]] כדי לתאר קשר בין שני מבנים אלגבריים שהם "בעיקרם זהים". עם זאת, לרעיון האיזומורפיזם יש היסטוריה ארוכה יותר וניתן לייחסו לעבודותיהם של מתמטיקאים מוקדמים יותר כמו [[אווריסט גלואה]] ו[[אוגוסטן לואי קושי]], אף הם בני המאה ה-19.{{מקור|נושא=מדעי הטבע}}

==הגדרה כללית==

אם <math>S_1</math> ו-<math>S_2</math> הם שני [[מבנה (לוגיקה)|מבנים מתמטיים]] של אותה [[שפה מסדר ראשון|שפה]] <math>L</math> של [[תחשיב היחסים]], אז [[פונקציה]] <math>H \colon S_1 \to S_2</math> נקראת '''איזומורפיזם''' ביניהם אם:

* לכל קבוע <math>a</math> של השפה <math>L</math> מתקיים <math>H(S_1(a)) = S_2(a)</math>.
* עבור כל [[אופרטור|פעולה]] <math>n</math>-מקומית <math>F</math> של <math>L</math>: לכל <math>a_1,...,a_n\in S_1</math> מתקיים  <math>H(S_1(F(a_1,...,a_n)))=S_2(F(H(a_1),...,H(a_n)))</math>.
* עבור כל [[יחס (תורת הקבוצות)|יחס]] <math>n</math>-מקומי <math>R</math> של <math>L</math>, לכל <math>a_1,...,a_n\in S_1</math> מתקיים <math>S_1(R(a_1,...,a_n))</math> אם ורק אם <math>S_2(R(H(a_1),...,H(a_n)))</math>.
*<math>H</math> [[חד-חד ערכית]] מ-<math>S_1</math> [[התאמה על|על]] <math>S_2</math>.

כשקיימת כזו פונקציה בין שני מבנים <math>S_1</math> ו-<math>S_2</math>, אומרים שהמבנים '''איזומורפיים''' ומסמנים <math>S_1 \cong S_2</math>.

פונקציה המקיימת את שלוש הדרישות הראשונות נקראת [[הומומורפיזם]]. אם <math>S_1 = S_2</math>, אז הומומורפיזם נקרא "[[אנדומורפיזם]]", ואיזומורפיזם נקרא [[אוטומורפיזם]].

==הגדרה במונחי תורת הקטגוריות==

ב[[תורת הקטגוריות]], [[מורפיזם]] <math>f \colon a \to b</math> ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] <math>C</math> נקרא "איזומורפיזם", אם הוא הפיך בקטגוריה, כלומר, קיים מורפיזם <math>g \colon b \to a</math> כך שמתקיים <math>f \circ g = 1_b</math> ו-<math>g \circ f = 1_a</math>.

בקטגוריות רבות ההגדרה הזו מתלכדת עם ההגדרה הקודמת, אך הדבר אינו נכון באופן כללי.

==הגדרה באלגברה==

===איזומורפיזם בין חבורות===

אם <math>A</math> ו-<math>B</math> הן שתי [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]], וקיימת [[פונקציה חד-חד ערכית ועל]] <math>f \colon A \to B</math> כך שעבור כל צמד איברים <math>\alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>f(\alpha \cdot \beta) = f(\alpha) \cdot f(\beta)</math>, אז <math>A</math> ו-<math>B</math> איזומורפיות זו לזו. אפשר להבין את ה"שוויון" בין החבורות, על ידי כך שנסמן את האיברים <math>f(\alpha),f(\beta)\in B</math> פשוט כ <math>\alpha,\beta</math>. לכן אפשר לראות שלכל מטרה מעשית, ההבדל בין החבורות הוא הבדל בסימון בלבד.

אפשר לראות שהאיזומורפיזם מקיים [[יחס שקילות]]:
* רפלקסיביות - ניקח חבורה <math>A</math> ונגדיר פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>f \colon A \to A</math> כך שעבור כל איבר <math>\alpha \in A</math> מתקיים <math>f(\alpha ) = \alpha</math>. אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן <math>A \cong A</math>.
* סימטריות - עבור צמד חבורות איזומורפיות, <math>A</math> ו-<math>B</math>, כשפונקציית האיזומורפיזם ביניהן היא <math>f \colon A \to B</math>, נגדיר פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>f^{-1} \colon B \to A</math> כך שעבור כל איבר <math>\alpha \in A</math> מתקיים <math>f^{-1}(f(\alpha) ) = \alpha</math>. אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן גם <math>B \cong A</math>.
* [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיביות]] - אם עבור שלוש החבורות  <math>A,B</math> ו-<math>C</math>, קיימות פונקציות <math>f_{A \to B} \colon A \to B</math> ו-<math>f_{B \to C} \colon B \to C</math> שמקיימות את תנאי האיזומורפיזם, אז אפשר להגדיר פונקציה שלישית <math>f_{A \to C} \colon A \to C</math> כך שעבור כל איבר <math>\alpha \in A</math> מתקיים <math>f_{A \to C}(\alpha) = f_{B \to C}(f_{A \to B}(\alpha ) )</math>. אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן <math>A \cong C</math>.

====דוגמאות לאיזומורפיזם של חבורות====

* החבורה <math>A \equiv \{ 1,-1,i,-i\} </math>  תחת פעולת הכפל, היא איזומורפית לחבורה <math>B\equiv \{ 0,1,2,3\}</math> תחת פעולת החיבור מודולו 4. פונקציית האיזומורפיזם היא <math>f(0) = 1 , f(1)=i, f(2)=-1, f(3)=-i</math>.
* החבורה <math>C \equiv \left\{ \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix} \right\} </math> תחת פעולת [[כפל מטריצות|הכפל]] איזומורפית ל-<math>A</math> (ולכן, גם ל-<math>B</math>). פונקציית האיזומורפיזם היא <math>f\left(\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\right) = 1 , f\left(\begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}\right)=i, f\left(\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix}\right)=-i, f\left(\begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\right)=-1</math>.
* עבור החבורה <math>A</math> מתקיים אוטומורפיזם, כשפונקציית האוטומורפיזם היא <math>f(1) = 1 , f(-i)=i, f(-1)=-1, f(i)=-i</math>. באופן דומה, גם עבור <math>B</math> ו-<math>C</math> מתקיים אוטומורפיזם.
* חבורת כל [[מספר שלם|המספרים השלמים]] (<math>\mathbb{Z}= \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}</math>), תחת פעולת החיבור, איזומרפית לחבורת המספרים השלמים והחצי שלמים (כלומר <math>\left\{ \dots,-1 \frac 1 2,-1,-\frac 1 2,0,\frac 1 2,1,1 \frac 1 2, \dots \right\}</math>), פונקציית האיזומורפיזם היא <math>f(n)=\frac n 2</math>.
* הפונקציה <math>f(n)=-n</math> עבור חבורת המספרים השלמים  <math>\mathbb{Z}</math> היא אוטומורפיזם.

===איזומורפיזם בין חוגים===

באופן דומה, אם <math>A</math> ו-<math>B</math> הם שני [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]], וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>f: A \mapsto B</math> כך שעבור כל צמד איברים <math>\alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>f(\alpha \cdot \beta) = f(\alpha) \cdot f(\beta)</math>, <math>f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)</math> וגם <math>f(1)=1 </math>  (התנאי האחרון רלוונטי רק לחוגים עם יחידה) אז <math>A</math> ו-<math>B</math> איזומורפיים זה לזה.<br>

===איזומורפיזם בין מודולים===

באופן דומה, אם <math>A</math> ו-<math>B</math> הם שני [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]] שמאליים מעל חוג <math>R</math>, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>f \colon A \to B</math> כך שעבור כל צמד איברים <math>\alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)</math>, וגם עבור כל <math>r\in R</math> מתקיים <math>f(r\alpha ) = r f(\alpha)</math>, אז <math>A</math> ו-<math>B</math> איזומורפיים זה לזה.

בנוסף, אם <math>A</math> ו-<math>B</math> הם שני מודולים שמאליים מעל שני חוגים <math>R_A,R_B</math> איזומורפיים, כשהאיזומורפיזם בין שני החוגים הוא <math>g \colon R_A \to R_B</math> וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>f \colon A \to B</math> כך שעבור כל צמד איברים <math>\alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>f(\alpha + \beta) = f(\alpha) + f(\beta)</math>, וגם עבור כל <math>r\in R_A</math> מתקיים <math>f(r\alpha ) = g(r) f(\alpha)</math> אז <math>A</math> ו-<math>B</math> איזומורפיים זה לזה.

===איזומורפיזם בין אלגברות===

באופן דומה, אם <math>A</math> ו-<math>B</math> הן שתי [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברות]] שמקיימות את תנאי האיזומורפיות כמודול עבור הפונקציה <math>f \colon A \to B</math> ובנוסף עבור כל צמד איברים <math>\alpha,\beta \in A</math> מתקיים <math>f(\alpha \star \beta) = f(\alpha) \star f(\beta)</math>, אז<math>A</math> ו-<math>B</math> איזומורפיות זו לזו.

==איזומורפיזם בין גרפים==

אם <math>(V_1,E_1)</math> ו-<math>(V_2,E_2)</math> הם שני [[תורת הגרפים|גרפים]], וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל <math>f \colon V_1 \to V_2</math> כך שקיימת קשת ב-<math>E_1</math> בין <math>v\in V_1</math> לבין <math>u\in V_1</math> [[אם ורק אם]] קיימת קשת ב<math>E_2</math> בין <math>f(v)\in V_2</math> לבין <math>f(u)\in V_2</math> אז הגרפים איזומורפיים זה לזה.

== איזומורפיזם של קבוצות סדורות ==
קבוצות סדורות הן איזומורפיות אם יש ביניהן פונקציה חד-חד-ערכית ועל, ה[[פונקציה שומרת סדר|שומרת על יחס הסדר]].

==ראו גם==
* [[הומומורפיזם (אלגברה)|הומומורפיזם]]
* [[משפטי האיזומורפיזם (אלגברה)|משפטי האיזומורפיזם]]

==קישורים חיצוניים==
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Isomorphism}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007565408405171|איזומורפיזם (מתמטיקה)}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:יחסי שקילות]]
[[קטגוריה:מורפיזמים]]