הצגת המקור של הדף "אינדוקציה מתמטית"

[[קובץ:Dominoeffect.png|ממוזער|שמאל|גישת האינדוקציה המתמטית מומחשת לעיתים באמצעות האפקט הסדרתי של אבני [[דומינו]] נופלות.]]
{{סימון מתמטי}}
'''אינדוקציה מתמטית''' היא שיטה המאפשרת [[הוכחה|להוכיח]] שתכונה מסוימת משותפת לכל ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]]. ההוכחה באינדוקציה מורכבת משני שלבים: 

* צעד בסיס: מוכיחים כי המספר 1 מקיים את התכונה.
* צעד האינדוקציה: מוכיחים כי אם מספר טבעי n כלשהו מקיים את התכונה, אז גם המספר n+1 מקיים אותה. 

שיטת האינדוקציה היא אחד מכלי ההוכחה החזקים ביותר בארגז הכלים של כל [[מתמטיקאי]], לא רק עבור המספרים הטבעיים, אלא גם עבור [[קבוצה סדורה היטב|קבוצות סדורות היטב]].

אין לבלבל בין שיטת האינדוקציה המתמטית לבין שיטת ההסקה הלוגית [[אינדוקציה]].

== היסטוריה ==
שיטת האינדוקציה הפורמלית, כפי שהיא מוכרת כיום התפתחה בעיקר במאה ה-19 על ידי מתמטיקאים כגון [[ג'ורג' בול]], [[אוגוסטוס דה מורגן|אוגוסטוס דה-מורגן]], [[צ'ארלס פרס|צ'ארלס פירס]], [[ג'וזפה פאנו|ג'וזפה פיאנו]] ו[[ריכרד דדקינד]]. את המונח "אינדוקציה מתמטית" הציע [[אוגוסטוס דה-מורגן|דה-מורגן]], כשכתב את הערך "אינדוקציה (מתמטיקה)" ב[[ציקלופדיית פני]] ב-[[1838]].{{הערה|שם=Cajori|1={{JSTOR|Florian Cajori|Origin of the name Mathematical Induction|2972638|American Mathematical Monthly|25 (1918), pp. 197–201}}.}}  

וריאציות שונות של השיטה הופיעו אצל מחברים רבים קודם לכן. מקובל לייחס את השימוש הראשון באינדוקציה באופן מפורש  למתמטיקאי [[בלז פסקל]], בעבודתו ''Traité du triangle arithmétique'' שנכתבה בשנת 1654.{{הערה|1=Carl B. Boyer, '''A History of Mathematics''', 2nd ed., p. 364}} בעבודה זו עסק פסקל  במשולש האריתמטי, הידוע כיום כ[[משולש פסקל]], והוכיח תכונות יסוד שלו, כמו העובדה שכל מקדם שווה לסכום שני המקדמים שמעליו במשולש. לשם הוכחת התכונות הגדיר פסקל לראשונה באופן [[ריגורוזיות|ריגורוזי]] את עקרון האינדוקציה. 

[[קובץ:Sum-square01.png|ממוזער|250px|הדגמת הטענה "סכומם של n המספרים האי-זוגיים הראשונים הוא המספר הריבועי העומד במקום n".]]
[[גאורג קנטור]], ב-[[1902]], מייחס את שיטתו של פסקל ל[[מאורוליקוס]], שספרו "אריתמטיקה" פורסם ב-[[1575]].{{הערה|1={{JSTOR|W.H. Bussey|The Origin of Mathematical Induction|2974308|American Mathematical Monthly|24 (1917), pp. 199–207}}}} מאורוליקוס בנה בספר טבלאות של [[מספר טבעי|מספרים]] "מיוחדים", כגון [[מספר זוגי|זוגיים]], [[מספר אי-זוגי|אי-זוגיים]], [[מספר משולשי|משולשיים]] ו[[מספר ריבועי|ריבועיים]], והבחין בתכונות שונות שלהן. לאחר שהוכיח את טענה XIII בספר, ש"כל ריבוע שמוסיפים לו את המספר האי-זוגי הבא שווה לריבוע הבא" (היינו, <math>n^2+(2n+1)=(n+1)^2</math>), הוא הוכיח את הטענה ה-XV, "סכומם של n המספרים האי-זוגיים הראשונים הוא המספר הריבועי העומד במקום n" (בלשון מודרנית, <math>1+3+\cdots+(2n-1)=n^2</math>), כך: "המספר הריבועי הראשון, כשהוא נוסף למספר האי-זוגי הבא, נותן את הריבוע הבא (4); והמספר הריבועי השני, כשהוא נוסף למספר האי-זוגי הבא (5), נותן את הריבוע השלישי (9); וכך, המספר הריבועי השלישי, כשהוא נוסף למספר האי-זוגי הרביעי (7), נותן את המספר הריבועי הרביעי (16); וכך באופן עוקב עד אינסוף הטענה מוכחת באמצעות הפעלה חוזרת של טענה XIII".

ההיסטוריון של המתמטיקה [[פלוריאן קג'ורי]] {{אנג|Florian Cajori}} מצא סימנים של הוכחות עם טיעון חוזר, המזכירות את שלבי האינדוקציה הראשונים (ראו להלן) כבר אצל קמפנוס ({{אנ|Campanus of Novara|Campanus}},{{כ}} 1260) ואצל [[פרוקלוס]], אבל סיכם שהוכחות אלו "אינן אינדוקציה".{{הערה|שם=Cajori}}

הרב ד"ר [[נחום אליעזר רבינוביץ'|נחום רבינוביץ']] טען שרבי לוי בן גרשום (ה[[רלב"ג]], 1288–1344) היה "הכותב הראשון שהשתמש באינדוקציה באופן שיטתי, ושהכיר בה כהליך מתמטי נפרד".{{הערה|{{JSTOR|Nachum L. Rabinovitch|Rabbi Levi Ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction|41133303|Archive for the History of Exact Sciences|Vol. 6(3), (1970)}}}} רבי לוי בן גרשום כתב כמה ספרי הערות על "[[יסודות (ספר)|יסודות]]" של [[אוקלידס]]; בספר "[[מעשה חושב (ספר)|מעשה חושב]]" (1321) הוא ביאר את הספרים השביעי, השמיני והתשיעי של אוקלידס, והוכיח תוצאות קומבינטוריות משל עצמו. לשיטה של עלייה צעד אחר צעד ששימשה אותו בהוכחות הוא העניק את השם העברי "הדְרגה". הרב רבינוביץ' הציע שהרלב"ג יכול היה לשאוב את רעיונותיו מפירושו של ר' [[שבתאי בן אברהם דונולו]] (913–970) ל[[ספר יצירה]], שמנה [[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]] והסביר כיצד לחשב ([[רקורסיה|רקורסיבית]]) את מספר התמורות של 3 עצמים מזה של 2 עצמים, של 4 מזה של 3, של 5 מזה של 4, וכן הלאה, עד לתמורות של 7 עצמים (אותן הוא מנה אחת לאחת).

== עיקרי הטיעון ==
ל'''הוכחה באינדוקציה''' שני חלקים. ראשית, מראים שהמספר 1 מקיים את התכונה המבוקשת (זהו '''בסיס האינדוקציה'''), ושנית, שאם המספר n מקיים אותה, אז גם המספר n+1 מקיים אותה ('''צעד האינדוקציה'''). בשפה פורמלית, '''אקסיומת האינדוקציה''' קובעת שלכל [[פסוק (לוגיקה)|פסוק]] P, מתקיים:
<math display="block">\left[P(1) \wedge \forall n (P(n) \implies P(n+1))\right] \implies \forall n P(n)</math>
כלומר, אם המספר 1 מקיים את התכונה, ומנכונותה עבור n נובעת גם נכונותה עבור n+1, אז כל המספרים הטבעיים מקיימים את התכונה.

=== מבנה ההוכחה ===
מבנה ההוכחה באינדוקציה תמיד זהה: בדיקה למקרה n=1, הנחה עבור n כללי, והוכחה שמההנחה נובעת נכונות הטענה עבור n+1. בין השגיאות הנפוצות בהוכחות באינדוקציה: הוכחת צעד האינדוקציה ללא הבסיס (צעד האינדוקציה תקף [[באופן ריק]] גם לתכונות שאף מספר אינו מקיים), או הוכחת צעד האינדוקציה עבור n>2 בלבד (כפי שמדגים [[פרדוקס הסוסים]]). הנוסח המתאר את צעד האינדוקציה בספרים אחדים "נניח שהוכחנו את הטענה עבור n, ונוכיח אותה עבור n+1", פגום: אם הוכחנו את הטענה עבור n כללי, אין עוד צורך להוכיח דבר; ואם כך, ניסוח זה של צעד האינדוקציה נכון באופן ריק, ולא ניתן להסיק ממנו דבר.

=== וריאציות ===
# כדי להוכיח באינדוקציה שטענה מסוימת נכונה לכל המספרים הטבעיים ממספר K ואילך, אפשר להוכיח שהיא נכונה עבור K, ושמן הנכונות עבור n נובעת הנכונות גם עבור n+1. כך אפשר למשל להוכיח ש-<math>2^n>3n^{4}</math> לכל <math>n\geq 19</math> (אף על פי שהטענה אינה נכונה עבור <math>n < 19</math>).
# {{עוגן|אינדוקציה שלמה}}'''אינדוקציה שלמה'''. לפעמים הנכונות של טענה Q עבור n+1 אינה נובעת מן הנכונות עבור n, אלא מן הנכונות עבור כל המספרים 1,2,3 ועד n (לדוגמה, כשרוצים להוכיח שכל [[מספר שלם]] [[פירוק לגורמים של מספר שלם|מתפרק לגורמים ראשוניים]]). במקרה כזה, אפשר להחליף את התכונה Q בתכונה P, המוגדרת לפי <math>P(n) \iff \forall m (m \leq n \implies Q(m))</math> (הכוונה היא שניתן להחליף את התכונה Q בתכונה P, המוגדרת כך ש-<math>P(n)</math> [[אם ורק אם]] כל הטענות <math>Q(1), Q(2), \dots, Q(n)</math> נכונות), ולהפעיל את טיעון האינדוקציה הרגיל על P. שיטה זו נקראת "אינדוקציה שלמה" על התכונה Q.
# '''אינדוקציה כפולה''' (או '''משולשת''' וכן הלאה). כאשר הטענה היא על זוגות של מספרים <math>P(n,m)</math>, אפשר להוכיח אותה לכל n באינדוקציה (רגילה) על הפרמטר m, כאשר בסיס האינדוקציה <math>P(n,1)</math> מוכח באינדוקציה על הפרמטר n. לחלופין, אפשר להיעזר בצעד האינדוקציה <math>P(n-1,m) \land P(n,m-1) \implies P(n,m)</math>, כמו בדוגמה 4 להלן.
# עקרון האינדוקציה חל לא רק על המספרים הטבעיים, אלא על כל [[קבוצה סדורה היטב]]. כאשר מדובר בקבוצה שה[[מספר סודר|סודר]] שלה גדול מזה של המספרים הטבעיים, קוראים לתהליך [[אינדוקציה טרנספיניטית]].
# יש הוכחות הכרוכות ב"[[נסיגה אינסופית]]": מראים שאם הטענה נכונה עבור m, היא נכונה גם עבור ערך קטן יותר, עד שבסופו של דבר מסיקים שהיא נכונה גם עבור m=1. [[לאונרד אוילר|אוילר]] הראה [[סכום של שני ריבועים#הוכחה באמצעות נסיגה|באופן כזה]] שאם p [[מספר ראשוני|ראשוני]] השקול ל-1 [[מודולו]] 4, אז אפשר להציג את p כ[[סכום של שני ריבועים]] (בסיס האינדוקציה במקרה זה הוא העובדה שאפשר להציג את <math>mp</math> כסכום כזה, אם m [[גדול מספיק]], משום ש-<math>-1</math> הוא [[שארית ריבועית]] מודולו p).
# '''אינדוקציה הפוכה'''. מראים שהטענה נכונה עבור [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] עולה של מספרים (כגון המספרים <math>2^n</math>), ואז מראים שמן הנכונות עבור m נובעת הנכונות עבור m-1. על שיטה זו מבוססת אחת ההוכחות הקלות ל[[אי-שוויון הממוצעים|אי-השוויון]] בין ה[[ממוצע גאומטרי|ממוצע הגאומטרי]] וה[[ממוצע חשבוני|ממוצע החשבוני]].

== דוגמאות ==
===דוגמה 1===
נוכיח באינדוקציה את הנוסחה <math>1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math> (הנוסחה ל[[מספר משולשי|סכום המספרים הטבעיים עד n]]):

ראשית, ברור כי הטענה נכונה עבור n=1, משום שבמקרה זה, הערך בשני האגפים הוא 1. שנית, נניח שהטענה נכונה עבור n, כלומר, <math>1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>.

עלינו להוכיח את השוויון <math>1+2+\cdots+n+(n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}</math>.

אולם, לפי הנחת האינדוקציה, <math>1+2+\cdots+n+(n+1) = (1+2+\cdots + n)+(n+1) = \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) = </math>

ואזי <math>\frac{(n^2+n)+(2n+2)}{2} = \frac {(n^2 + 3n + 2)}{2}= \frac{(n+1)(n+2)}{2}</math> כפי שרצינו.

===דוגמה 2===
[[קובץ:Tower of Hanoi.jpeg|שמאל|ממוזער|250px|[[מגדלי האנוי]]]]
[[מגדלי האנוי]] היא [[חידה]] פופולרית שבה יש להעביר מגדל של דיסקיות מעמוד אחד לעמוד אחר, תוך שימוש בעמוד עזר ועל פי החוקים הבאים:
* בכל תור מותר להזיז דיסקית אחת בלבד, מראש עמוד אחד לראש עמוד אחר.
* אסור להניח דיסקית גדולה על גבי דיסקית קטנה ממנה.

ניתן להוכיח באינדוקציה שניתן לפתור את החידה, לא משנה כמה דיסקיות יש במגדל. ניתן לפתור את החידה עבור מגדל בעל דיסקית אחת בלבד, בעזרת מהלך אחד. עתה נניח שניתן להעביר מגדל בעל n דיסקיות ונראה שניתן להעביר מגדל בעל n+1 דיסקיות. ההעברה מתבצעת בשלושה שלבים. ראשית נעביר את n הדיסקיות העליונות אל עמוד העזר – דבר שניתן לעשות על פי הנחת האינדוקציה, שנית נעביר את הדיסקית התחתונה – ולבסוף נעביר שוב את n הדיסקיות שעל עמוד העזר אל מעל לדיסקית התחתונה.

===דוגמה 3===
[[מספר רמזי]] <math>R_{n,m}</math> (עבור <math>n,m\geq 2</math>) הוא המספר הקטן ביותר בעל התכונה הבאה: בכל אירוע שבו נפגשים <math>R_{n,m}</math> אנשים, מוכרחים להיות n אנשים שכולם מכירים זה את זה, או m אנשים שאף אחד מהם אינו מכיר את רעהו. (יחס ההיכרות הוא [[יחס סימטרי]]: אם a מכיר את b, אז גם b מכיר את a). מלכתחילה לא ברור שהמספרים האלו קיימים (משום שייתכן, לכאורה, שאפשר להימנע מן הקבוצות המיוחדות גם באירועים המוניים).

נוכיח שמספרי רמזי קיימים, בכך שנראה ש-<math>R_{n,m} \leq \binom{n+m-2}{n-1}</math>, כאשר <math>\binom{n+m-2}{n-1}=\frac{(n+m-2)!}{(n-1)!\ (m-1)!}</math> הוא [[מקדם בינומי]].

ראשית, <math>R_{n,2} = n</math> משום שאם אין אפילו זוג אנשים שאינם מכירים זה את זה, מוכרחים כולם להכיר את כולם. מאותה סיבה גם <math>R_{2,m}=m</math>, ולכן הטענה נכונה כאשר n=2 או m=2. זהו בסיס האינדוקציה. כעת נניח ש-<math>n,m\geq 3</math>. נניח שבאירוע משתתפים <math>R_{n-1,m}+R_{n,m-1}</math> אנשים. נתבונן במערך ההיכרויות של אחד ממשתתפי האירוע: או שהוא מכיר לפחות <math>R_{n-1,m}</math> משתתפים, או שהוא אינו מכיר לפחות <math>
R_{n,m-1}</math> משתתפים. במקרה הראשון, לפי ההגדרה של <math>R_{n-1,m}</math>, יש בין האנשים שהוא מכיר n-1 מכרים-הדדית (ואז יש באירוע כולו קבוצה של n מכרים-הדדית), או שיש ביניהם קבוצה של m זרים-הדדית; במקרה השני, יש בין האנשים שהוא אינו מכיר קבוצה של n מכרים-הדדית, או שיש ביניהם קבוצה של m-1 זרים-הדדית (ואז יש m זרים-הדדית באירוע). הוכחנו שמספר המשתתפים גדול דיו כדי לחייב אחת משתי התוצאות שבהגדרה, ולכן <math>R_{n,m} \leq R_{n-1,m}+R_{n,m-1}</math>.

לפי הנחת האינדוקציה, <math>R_{n,m} \leq \binom{n+m-3}{n-2}+\binom{n+m-3}{m-2} = \binom{n+m-2}{n-1}</math>. (הערך המדויק של מספרי רמזי ידוע רק במקרים בודדים; אפילו הערך של <math>R_{5,5}</math> אינו ידוע).

===דוגמה 4===
[[עץ בינארי]] הוא עץ מכוון, שבו לכל קודקוד יש לכל היותר שני בנים, ולכל קודקוד, פרט לקודקוד מיוחס הנקרא שורש, יש אב יחיד. קודקוד של עץ כזה נקרא גם צומת. עלה הוא צומת חסר בנים. עץ לא ריק הוא עץ שקיים בו שורש. צאצאים של כל צומת בעץ יוצרים ביחד איתו תת-עץ של העץ המקורי. נגדיר "צומת מלא" כצומת שיש לו שני בנים.

נוכיח באינדוקציה שבעץ בינארי לא ריק, מספר העלים בעץ גדול ב-1 ממספר הצמתים המלאים בו.

עבור עץ עם צומת בודד הטענה מתקיימת: ישנו עלה אחד ואין צמתים מלאים. נניח שהטענה נכונה עבור כל עץ בינארי עם n צמתים, כאשר n חיובי. נוכיח שהטענה נכונה עבור עץ עם 1+n קודקודים:
בהינתן עץ שאינו שורש עם n+1 צמתים, נסיר ממנו עלה כלשהו ונקבל עץ חדש עם n צמתים. נסמן את מספר העלים ב-N<sub>0</sub> ואת מספר הצמתים המלאים ב-N<sub>2</sub>. על-פי הנחת האינדוקציה בעץ החדש מתקיים השוויון N<sub>0</sub>=N<sub>2</sub>+1.

נחזיר חזרה לעץ את העלה שהסרנו.

אם העלה שהוסר היה בן יחיד מספר העלים לאחר החזרתו לא השתנה: מצד אחד עלה אחד נוסף ומצד שני אותו הצומת שהוסיפו לו עלה הפך מעלה לאב יחיד. מספר הצמתים המלאים לא השתנה אף הוא ולכן השוויון נשמר.

אם העלה שהוסר לא היה בן יחיד אז מצד אחד מספר הצמתים המלאים בעץ לאחר החזרת העלה גדל ב-1, ומצד שני מספר העלים גדל ב-1 לאחר החזרת העלה. ולכן גם במקרה זה השוויון נשמר.

===דוגמה 5===
{{ערך מורחב|פרדוקס הסוסים}}
ישנן גם [[הוכחה שגויה|הוכחות שגויות]], המבוססות על גרסה שגויה של אקסיומת האינדוקציה או שיש בהן דילוג על שלב מהותי. אף על פי שברוב ההוכחות באינדוקציה הבדיקה לערך קטן של n היא קלה ומיידית, ישנם מקרים שבהם צעד האינדוקציה תקין והבעיה היא דווקא בערכים הקטנים. דוגמה מפורסמת לתופעה זו היא [[פרדוקס הסוסים]], המתיימר להוכיח שכל הסוסים בעולם הם בעלי אותו צבע. מכיוון שמספר הסוסים בעולם סופי, אפשר להוכיח את הטענה באינדוקציה: בכל קבוצה בת n סוסים, לכולם יש אותו צבע. טענה זו נכונה כמובן עבור n=1. כעת נניח שהטענה נכונה עבור n, ונוכיח אותה עבור n+1: נבודד אחד מבין n+1 הסוסים, כך שיישארו n סוסים, שכולם בעלי אותו צבע לפי הנחת האינדוקציה. נחליף את הסוס שהוצאנו קודם לכן בסוס אחר, ושוב נקבל שלכל הסוסים בקבוצה שלפנינו אותו צבע. לכן לכל n+1 הסוסים יש אותו צבע.

הטענה נכונה עבור n=1, אבל המעבר בין n לבין n+1 תקין רק בתנאי ש-n>1, משום שכדי להסיק שלכל n+1 הסוסים אותו צבע, אנו מניחים שבשתי הקבוצות בגודל n יש סוסים משותפים, שאליהם אפשר להשוות את שני הסוסים שהוצאנו בתחילת הצעד ובסופו. אם הטענה הייתה נכונה עבור n=2 (לכל שני סוסים יש אותו צבע), באמת אפשר היה להוכיח אותה לכל n. אבל המעבר בין n=1 לבין n=2 (אם לכל סוס יש הצבע שלו, אז לכל שני סוסים יש צבע משותף) שגוי, ולכן ההוכחה אינה תקפה.

== תקפותה של הוכחה באינדוקציה ==
לכאורה, מבוססת האינדוקציה המתמטית על הפעלה חוזרת של כלל הגזירה [[מודוס פוננס]]. לדוגמה, כדי להוכיח את הטענה <math>P(4)</math>, די להוכיח את טענת הבסיס <math>P(1)</math>, ואת ה[[אם-אז|גרירות]] <math>P(1)\implies P(2)</math>,
<math>P(2)\implies P(3)</math> ו-<math>P(3)\implies P(4)</math>: מן הגרירה הראשונה נובע (לפי טענת הבסיס) <math>P(2)</math>, מן הגרירה השנייה נובע כעת <math>P(3)</math>, ומן השלישית – <math>P(4)</math>. מכיוון שבצעד האינדוקציה הוכחנו את כל הגרירות <math>P(n) \implies P(n+1)</math>, אפשר להוכיח באופן הזה את כל הטענות <math>P(n)</math>.

אם לדייק, מצאנו, לכל n, סדרה סופית של טיעונים, המוכיחה ש-<math>P(n)</math>; אבל מספר הצעדים בכל הוכחה הולך וגדל. זהו מעין "[[אפקט הדומינו|אפקט דומינו]]": כל אבן מפילה את האבן שאחריה, וכל אבן תיפול בזמן סופי, אבל אם השרשרת אינסופית, הזמן עד שיפלו כולן הוא אינסופי. עקרון האינדוקציה הופך את הסדר: הוא נותן הוכחה בסדרה סופית של טיעונים, לכל אינסוף הטענות <math>P(n)</math>.

יש שתי גישות להצדקת עקרון האינדוקציה. במערכת האקסיומות המגדירה את [[מערכת פאנו]] של המספרים הטבעיים, ישנה [[סכימת אקסיומות]] מיוחדת, הקובעת את חלות האינדוקציה. במסגרת הרחבה יותר של [[תורת הקבוצות האקסיומטית]], המבוססת על [[אקסיומות צרמלו-פרנקל]], נובע עקרון האינדוקציה מכך שקבוצת המספרים הטבעיים [[סדר טוב|סדורה היטב]] (ראו [[עקרון הסדר הטוב]]): אם הטענה <math>P(n)</math> אינה מתקיימת לכל n, מוכרח להיות מספר קטן ביותר שעבורו היא אינה מתקיימת; מספר זה אינו יכול להיות 1, משום שבסיס האינדוקציה מאשר את הטענה <math>P(1)</math>, והוא אינו יכול להיות גדול מ-1, משום שבמקרה כזה הטענה <math>P(n)</math> נובעת מן הטענה <math>P(n-1)</math>, הנכונה לפי המינימליות של n.

בתורה, העובדה שקבוצת המספרים הטבעיים סדורה היטב נובעת מ[[אקסיומת האינסוף]] (הקובעת שקיימת [[קבוצה רקורסיבית]] אינסופית), ומ[[אקסיומת היסוד]].

== ראו גם ==
* [[אינדוקציה|אינדוקציה במדעי הטבע]]
* [[אינדוקציה טרנספיניטית]]
* [[רקורסיה]]

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית|שם ויקיספר=אינדוקציה מתמטית}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* {{לא מדויק|2010/12/25/dont_believe_in_induction/|גם אני לא מאמין באינדוקציה (כי לאמונה אין קשר לזה)}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

{{ערך טוב}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מספרים טבעיים]]
[[קטגוריה:שיטות הוכחה]]