הצגת המקור של הדף "אינטגרביליות במידה שווה"

{{סימון מתמטי}}

'''אינטגרביליות במידה שווה''' הוא מושג יסודי ב[[אנליזה פונקציונלית]] וב[[תורת המידה]] וה[[תורת ההסתברות|הסתברות]]. המושג משמש רבות בתאוריה של [[מרטינגל (תורת ההסתברות)|מרטינגל]]ים, וחשיבותו העקרונית באה לידי ביטוי ב[[משפט ההתכנסות של ויטלי]].

==הגדרה==

===הגדרה בתורת המידה===

יהי <math>\left(X, \mathcal{F}, \mu \right)</math> [[מרחב מידה]] בעל מידה לא טריוויאלית, יהי <math>L^1</math> מרחב הפונקציות המדידות ובעלות [[אינטגרל]] סופי במרחב המידה הנתון, ותהי <math>\mathcal{A} \subset L^1</math> משפחה של פונקציות כלשהן.

אומרים כי <math>\mathcal{A}</math> היא ''אינטגרבילית במידה שווה'', אם לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>\delta > 0</math>, כך שלכל <math>f \in \mathcal{A}</math>, לכל קבוצה <math>E \in \mathcal{F}</math> המקיימת <math>\mu \left(E\right) < \delta</math>, מתקיים <math>\left| \int_E f d\mu \right| < \epsilon</math>.

===הגדרה בתורת ההסתברות===

אם נתרגם את ההגדרה שבתורת המידה ל[[מרחב הסתברות]] <math>\left(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} \right)</math>, אומרים כי משפחה של [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] <math>\mathcal{A}</math> בעלי [[תוחלת]] סופית היא ''אינטגרבילית במידה שווה'', אם לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>\delta > 0</math>, כך שלכל <math>X \in \mathcal{A}</math>, לכל מאורע <math>E \in \mathcal{F}</math> המקיים <math>\mathbb{P} \left(E\right) < \delta</math>, מתקיים 
<math>\mathbf{E} \left[ \left| X \right| \cdot 1_E \right] < \epsilon</math>.

עם זאת, בהקשר של תורת ההסתברות נהוג להוסיף את הדרישה כי התוחלת של כל המשתנים המקריים ב-<math>\mathcal{A}</math> תהיה חסומה במידה שווה. כלומר שלא רק תהיה סופית, אלא שיהיה חסם <math>M \in \mathbb{R}</math> כך שלכל <math>X \in \mathcal{A}</math> יתקיים <math>\mathbf{E} \left[ X \right] \leq M</math>.

תחת הדרישה הנוספת לגבי חסימות התוחלות במידה שווה, ניתן להראות כי ההגדרה ההסתברותית לאינטגרביליות במידה אחידה שקולה להגדרה הבאה: משפחה של משתנים מקריים <math>\mathcal{A}</math> בעלי תוחלת סופית היא ''אינטגרבילית במידה שווה'', אם לכל <math>\epsilon >0</math> קיים <math>C \geq 0</math>, כך שלכל <math>X \in \mathcal{A}</math> מתקיים <math>\mathbf{E} \left[ X \cdot 1_{ \left| X \right| \geq C }\right] < \epsilon</math>.

הצורה השקולה להגדרה ההסתברותית לאינטגרביליות במידה שווה, מובילה לתוצאה כי אם משפחה של משתנים מקריים <math>\mathcal{A}</math> היא אכן אינטגרבילית במידה שווה, הרי שלכל <math>\epsilon > 0</math> קיים <math>C > 0</math> כך שמתקיים <math>\mathbb{P} \left( \left| X \right| > C \right) < \epsilon</math>.{{הערה|גוט, עמוד 236}}

==הקשר להתכנסות בממוצע ולהתכנסות בהסתברות==

{{הפניה לערך מורחב|משפט ההתכנסות של ויטלי}}

ניתן להראות כי סדרת משתנים מקריים <math> \mathcal{A} = \left\{ X_n \right\}_{n=1}^{\infty}</math> [[התכנסות בממוצע|מתכנסת בממוצע]] למשתנה מקרי <math>X</math>, [[אם ורק אם]] היא [[התכנסות בהסתברות|מתכנסת בהסתברות]] לאותו גבול, וגם אינטגרבילית במידה שווה (במובן ההסתברותי).

טענה זו נובעת מידית מ[[משפט ההתכנסות של ויטלי]], והיא למעשה מהווה הכללה של [[משפט ההתכנסות הנשלטת]].

==לקריאה נוספת==

* אלן גוט, "Probability: A Graduate Course", פרק 4 ("Uniform Integrability", עמוד 214), ספרינגר, 2005

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]