הצגת המקור של הדף "אינטגרלי מסלול"

שיטת '''אינטגרלי המסלול''' היא תיאור של [[מכניקת הקוונטים]] על פיה, למשל, ניתן להציג את [[הסתברות]] המעבר של חלקיק מנקודה אחת לאחרת כסכום ([[אינטגרל]]) על כל המסלולים האפשריים בהם החלקיק יכול לעבור בין שתי הנקודות. שיטה זו פותחה על ידי הפיזיקאי חתן [[פרס נובל]] [[ריצ'רד פיינמן]] ב-1948. גישה זו מצטרפת לאלו  של [[ארווין שרדינגר|שרדינגר]] ו[[ורנר הייזנברג|הייזנברג]] כתיאור נוסף של מכניקת הקוונטים. היא מדגישה את השוני בין המכניקה הקוונטית ו[[מכניקה קלאסית|המכניקה הקלאסית]], כיוון שבזו האחרונה, מעבר חלקיק בין שתי נקודות נתונות מתבצע לאורך מסלול אחד ויחיד. אינטגרלי מסלול הוכיחו עצמם כיעילים מאוד לצורך פיתוח התמונה הפיזיקלית, ופתרון של בעיות רבות בתורת הקוונטים, וההכללה שלהם ל[[תורת השדות הקוונטית|תורת שדות]] היא כיום ה"שפה" המקובלת של ה[[פיזיקה]] התאורטית.

==הערת מינוח==
אינטגרלי המסלול (path integrals) שהוצגו על ידי [[ריצ'רד פיינמן|פיינמן]] ב-[[1948]] ובהם דן מאמר זה, הומצאו מתוך ניסיון להבנה עמוקה יותר של [[מכניקת הקוונטים]] והם שונים בתכלית מ[[אינטגרל קווי|אינטגרלי המסלול]] ב[[מתמטיקה]]. במתמטיקה אינטגרלי מסלול (או אינטגרלים מסילתיים)  מתייחסים לאינטגרלים של [[פונקציה|פונקציות]] ([[סקלר (פיזיקה)|סקלריות]] או [[וקטור (פיזיקה)|וקטוריות]]) לאורך מסילות במרחב. לעומת זאת כאן האינטגרציה היא של [[פונקציונל|פונקציונלים]] והמסילות במרחב הן למעשה משתני האינטגרציה. כשם ש[[חשבון וריאציות]] הוא הכללה של פעולת ה[[נגזרת]] עבור [[פונקציונל|פונקציונלים]], אינטגרלי מסלול, בהקשר בו נדון כאן, מהווים הכללה של פעולת ה[[אינטגרציה (מתמטיקה)|אינטגרציה]].

==דיון איכותי==
בניגוד ל[[מכניקה קלאסית|מכניקה הקלאסית]] ה[[דטרמיניזם|דטרמיניסטית]], תיאור הדינמיקה של מערכות קוונטיות נעשה במונחים של [[הסתברות]]. בפרט, [[משוואת שרדינגר]] מתארת את ההתפתחות בזמן של מערכת קוונטית, היא [[משוואה]] עבור [[אמפליטודת הסתברות]] או [[פונקציית הגל]] אשר ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] שלה בריבוע נותן את ה[[הסתברות]] עבור מציאת החלקיק במקום מסוים או במצב מסוים.
אינטגרלי המסלול של פיינמן מבטאים את אמפליטודת ההסתברות <math>\ \psi_{x_0}(x_f,t)</math> למעבר מנקודת ההתחלה <math>\ x_0</math> לנקודת הסיום <math>\ x_f</math>, לאחר זמן<math>\ t</math>, כסכום על כל המסלולים האפשריים <math>\ x^{(j)}(\tau)</math> המחברים נקודות אלו, כלומר מסלולים שנקודת ההתחלה שלהם היא <math>\ x^{(j)}(\tau=0)=x_0</math> ונקודת הסיום <math>\ x^{(j)}(\tau=t)=x_f</math>:
<math display="block">\ \psi_{x_0}(x_f,t)=\sum_{\{x^{(j)}(\tau)\}}A_j e^{\frac{i}{\hbar} S[x^{(j)}(\tau)]}</math>
כאן המקדם <math>\ A_j</math> מייצג את המשקל (ה[[יחידת מידה|מידה]]) של תרומת המסלול ה-<math>\ j</math>י, ואילו <math>\ S[x^{(j)}(\tau)]</math> הוא [[פונקציונל]] ה[[פעולה (פיזיקה)|פעולה]] הקלאסית של החלקיק הנע לאורך המסלול זה. אם, בפרט, נניח שחלקיק בעל [[מסה]] <math>\ m</math> נע תחת ההשפעה של ה[[אנרגיה פוטנציאלית|אנרגיה הפוטנציאלית]] <math>\ V(x)</math>, אזי [[פונקציונל]] ה[[פעולה (פיזיקה)|פעולה]] המתייחס למסלול כלשהו <math>\ x(\tau)</math> הוא:
<math display="block">\ S[x(\tau)]= \int_0^t d\tau L\left( \dot{x}(\tau), x(\tau) \right)</math>
כאשר
<math display="block">\ L( \dot{x}, x )=\frac{1}{2}m \dot{x}^2-V(x)</math>
הוא ה[[לגראנז'יאן]] של המערכת, ו-<math>\ \dot{x}(\tau)</math> מציין את מהירות החלקיק או ה[[נגזרת]] לפי הזמן של מיקומו. הפעולה המחולקת ב[[קבוע פלאנק]] מיצגת את ה[[פאזה (גלים)|פאזה]] שצובר החלקיק לאורך המסלול. הפרוש של נוסחה זו הוא שחלקיק קוונטי עובר מנקודה אחת לשנייה דרך כל המסלולים האפשריים בו זמנית, וה[[התאבכות]] של התרומות מכל המסלולים היא שקובעת את אמפליטודת ההסתברות (ולכן גם את ההסתברות) למעבר.

ההצגה בעזרת אינטגרלי מסלול מבהירה את הבדל בין הדינמיקה הקלאסית והקוונטית: הדינמיקה הקלאסית נקבעת מ[[עקרון הפעולה המינימלית]] לפיו המסלול בו נע החלקיק הוא זה עבורו פונקציונל הפעולה מינימלי. לעומת זאת התורה הקוונטית מאפשרת תנועה של החלקיק גם במסלולים אחרים עבורם הפעולה אינה מינימלית. למרות זאת, כפי שנראה בהמשך, למסלולים הקלאסיים, בהיותם "נקודות מינימום" של [[פונקציונל]] הפעולה (ע"ע [[חשבון וריאציות]]), מעמד מיוחד, ותרומתם בגבול של [[אורך גל|אורכי גל]] קצרים דומיננטית.

==גזירה של אמפליטודת המעבר==
{{הפניה לערך מורחב|משוואת שרדינגר ואינטגרלי פיינמן}}
בחלק זה נראה תמצות לדרך בה מקבלים, באופן פורמלי, את ההצגה של אמפליטודת ההסתברות בעזרת אינטגרלי המסלול. החישוב המפורט, מראשיתו ועד סופו, מופיע בערך המורחב. לשם פשטות, נתבונן במערכת חד-ממדית המתוארת באמצעות ה[[המילטוניאן]]:
<math display="block">\  H=\frac{p^2}{2m}+V(x)</math>
כאשר <math>\ m</math> היא [[מסה|מסת]] החלקיק, <math>\ p</math> ה[[תנע]] שלו, <math>\ x</math> מיקומו ו- <math>\ V(x)</math> [[אנרגיה פוטנציאלית|האנרגיה הפוטנציאלית]] שלו.
אמפילטודת המעבר מנקודה <math>\ x_0</math>  לנקודה <math>\ x_f</math> נתונה בביטוי: 
<math display="block">\psi_{x_0}(x_f,t)=\langle x_f | e^{-\frac{i}{\hbar} H t} | x_0 \rangle</math>
כאשר השתמשנו ב[[סימון דיראק]] בו המצב  <math>|x \rangle</math> מציין מצב מקום. לגודל זה נהוג גם לקרוא [[אופרטור ההתפתחות בזמן]] (או ה[[פרופגטור]]) כיוון שהוא מקדם את המערכת ב[[זמן]]. מכיוון שהמערכת אינה תלויה מפורשות בזמן אפשר לרשום את ה[[אופרטור]] <math>\ e^{-\frac{i}{\hbar} H t}</math> כמכפלה של <math>\ N</math> גורמים <math>\ \left(e^{-\frac{i}{\hbar} H \Delta t} \right)^N</math> כאשר <math>\ t=N\Delta t</math>. בשלב הבא מציבים בין כל זוג גורמים במכפלה הזו את [[אופרטור]] הזהות <math>\ I</math> המבוטא באמצעות  [[יחס השלמות]] של מצבי המקום:
<math display="block">\ I=\int dx |x\rangle \langle x|</math>
ומכאן מקבלים

<math display="block">\psi_{x_0}(x_N,t)=\int \mathrm{d}x_1\,\mathrm{d}x_2 \cdots \mathrm{d}x_{N-1} \langle x_N|e^{-\frac{i}{\hbar} H \Delta t}|x_{N-1} \rangle \langle x_{N-1}| \cdots |x_1\rangle\langle x_1 | e^{-\frac{i}{\hbar}H \Delta t}|x_0 \rangle</math>
כאשר לשם נוחות ההצגה החלפנו את המציין של נקודת הסיום להיות <math>\ x_f=x_N</math>. 
אופרטור ההתפתחות בזמן עבור פרק זמן קטן <math>\Delta t \to 0</math> הוא:
<math display="block">\ \langle x_{j+1} | e^{-\frac{i}{\hbar} H\Delta t} | x_{j} \rangle =\sqrt{\frac{m}{2 \pi i\hbar \Delta t}}e^{\frac{i}{\hbar}\left(\frac{m}{2} \frac{ (x_{j+1} - x_{j})^2}{\Delta t}-V(x_j)\right)}</math>
ולכן אמפליטודת המעבר בגבול <math>\ N \to \infty</math> היא

<math display="block">\psi_{x_0}(x_N,t)=\int \mathrm{d}x_1\,\mathrm{d}x_2 \cdots \mathrm{d}x_{N-1} \left(\frac{m}{2\pi i\hbar \Delta t} \right)^{\frac{N-1}{2}}e^{\frac{i}{\hbar} \sum_{j=1}^{N-1} \Delta t \left[\frac{m}{2}\left( \frac{x_{j+1}-x_j}{\Delta t} \right)^2 -V(x_j)\right]}</math>
לנוסחה זו ניתן לתת את הפרוש הבא: אמפליטודת ההסתברות למעבר בין שתי נקודות נתונות בפרק זמן <math>\ t</math> היא מכפלה של אמפליטודות הסתברות למעבר דרך סדרת נקודות <math>\ (x_0,x_1,x_2\cdots x_N)</math> כאשר פרק הזמן למעבר בין כל שתי נקודות שכנות הוא <math>\ \Delta t</math>, ויש לסכם על כל  נקודות הבינים האפשריות. אם נפרש את המשתנים <math>\ x_j</math> כדגימה של הפונקציה <math>\ x(\tau)</math>, המתארת את מסלול החלקיק, בזמנים <math>\ \tau_j=j \Delta t</math>, אזי האינטגרל שלמעלה מתאר אינטגרציה על כל המסלולים האפשריים המחברים את נקודת ההתחלה והסיום.

השלב האחרון הוא בסך הכול הסימון של האינטגרל שלעיל. בהנחה ש- <math>\ x_j</math> הן נקודות הדגימה של מסלול החלקיק <math>\ x(\tau)</math>, ניתן להבין את הסכום באספוננט כ[[סכום רימן]] אשר בגבול <math>\ N \to \infty</math> נותן את הפעולה לאורך המסלול:
<math display="block">\ \lim_{N \to \infty} \sum_{j=1}^{N-1} \Delta t\left[ \frac{m}{2}  \left( \frac{x_{j+1}-x_j}{\Delta t} \right)^2 - V(x_j) \right]= \int_0^t \mathrm{d}\tau \frac{m}{2} \dot{x}^2(\tau)-V(x(\tau))</math>
ולכן נהוג לסמן את האינטגרל המסלולי בצורה:
<math display="block">\psi_{x_0}(x_f,t)= \int \mathrm{D}x(\tau) e^{\frac{i}{\hbar} \int_0^t d\tau L(\dot{x},x)}</math>
כאשר <math>L(\dot{x},x)</math> הוא הלגראנז'יאן של המערכת. הסמל <math>\mathrm{D}x(\tau)</math> אנלוגי לסמל <math>\mathrm{d}x</math> באינטגרציה של [[פונקציה|פונקציות]], ומשמעותו שיש לסכם על כל המסלולים עם משקל (מידה) הנקבעת דרך הדיסקרטיזציה של האינטגרל לנקודות זמן <math>\ \Delta t=t/N</math>, בגבול <math>\ N\to \infty</math>.

== מקרים פרטיים ==
* [[חלקיק חופשי]]: <math> \ \psi_{x_0}(x_f,t) = G(x_f, t ; x_0, 0) = \sqrt{\frac{m}{2 \pi i \hbar t}} \exp{ \left( \frac{i m}{2 \hbar t} (x_f - x_0)^2 \right) } </math>
* [[אוסצילטור הרמוני קוונטי]]:  <math> \ \psi_{x_0}(x_f,t) = G(x_f, t ; x_0, 0) = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi i \hbar \sin(\omega t) }} \exp{ \left( \frac{i m \omega}{2 \hbar \sin(\omega t)} \left( (x_f^2 + x_0^2) \cos(\omega t) - 2x_f x_0 \right) \right) } </math>

==הכללות==
אינטגרלי מסלול, שהוצגו כאן עבור חלקיק יחיד בממד אחד, ניתנים להכללה בכמה אופנים:
* '''חלקיק יחיד הנע בממד גבוה יותר:''' במקרה יש ההכללה נעשית על ידי מעבר מהקואודינטה <math>\ x</math> ל[[וקטור (פיזיקה)|וקטור]] הקואורדינטנות בעל ממד גבוה יותר, בפרט בשלושה ממדים <math>\ \vec{r}=(x,y,z)</math>.
* '''חלקיק הנע תחת השפעה של [[שדה מגנטי]]:''' ההכללה במקרה זה לוקחת בחשבון את ההתנהגות הלא-מקומית הנובעת מ[[אפקט אהרונוב-בוהם]]. כמו כן אופן הבחירה של משקלות המסלולים (המידה) שונה מעט (ע"ע [[חשבון איטו]]).
* '''[[מערכות מרובות חלקיקים]] ([[בוזון|בוזונים]] או [[פרמיון|פרמיונים]])''': זוהי ההכללה החשובה ביותר של אינטגרלי מסלול כיוון שהיא מאפשרת לדון במערכות פיזיקליות כלליות כמו [[מתכת|מתכות]] או [[אטום|אטומים]] מרובי [[אלקטרון|אלקטרונים]]. (ע"ע [[תורת שדות]]).
* '''תיאור מערכות ב[[שיווי משקל תרמודינמי]]:''' מתקבל על ידי [[המשכה אנליטית]] של אינטגרלי המסלול לזמן [[מספר מרוכב|דמיוני]].

==שימושים==
===גזירת [[עקרון הפעולה המינימלית]]===
המכניקה הקוונטית מהווה תיאור מיקרוסקופי מדויק של חוקי ה[[פיזיקה]], ולכן אפשר לצפות שחוקי [[מכניקה קלאסית|המכניקה הקלאסית]] מתקבלים כ[[גבול]] של ה[[תורת הקוונטים|תורה הקוונטית]], כשם ש[[חוקי ניוטון]] מתקבלים מ[[תורת היחסות הפרטית]] בגבול של מהירויות נמוכות מ[[מהירות האור]]. במקרה דנן, ה[[מכניקה קלאסית|מכניקה הקלאסית]] מתקבלת מהגבול בו [[קבוע פלאנק]] שואף לאפס <math>\ \hbar \to 0</math>. כדי לראות שגבול זה מזדהה עם [[עקרון הפעולה המינימלית]] (ממנו נגזרים חוקי המכניקה הקלאסית) יש לזהות מהם המסלולים בעלי התרומה הגדולה ביותר לאינטגרל המסלולי המתאר את אמפליטודת המעבר בין שני מצבים.  כפי שאפשר לראות אמפליטודת המעבר בעלת [[סינגולריות עיקרית]] בגבול <math>\ \hbar \to 0</math>. משמעות הדבר, כאן, שבגבול <math>\ \hbar \to 0</math> שינוי קטן בצורת המסלול משנה את הפאזה שלו באופן משמעותי, ולכן הסכום על המסלולים, בדרך כלל, יתמצע לאפס בדומה לאינטגרציה של [[פונקציה מחזורית]] שהממוצע שלה אפס. יוצאים מן הכלל הם המסלולים אשר שינויים קטנים שלהם אינם משנים את הפאזה באופן משמעותי. מסלולים אלו הם המסלולים עבורם:
<math display="block">S[x(\tau)+\delta x(\tau)]-S[x(\tau)] =0</math> 
כאשר
<math display="block">S[x(\tau)]= \int \mathrm{d}\tau L(\dot{x},x)</math>
הוא [[פונקציונל]] הפעולה, ו- <math>\ \delta x\left( \tau\right)</math> מציינת [[חשבון וריאציות|וריאציה]]  קטנה של המסלול <math>\ x(\tau)</math>, והאפס באגף ימין הוא עד כדי אבר מסדר שני בווריאציה (ע"ע [[חשבון וריאציות]]). המסלולים היחידים שתורמים בגבול הקלאסי <math>\ \hbar \to 0</math> הם, אם כן, אלו שפעולתם מינימלית, ובכך הוכחנו את [[עקרון הפעולה המינימלית]].

=== הקשר בין אינטגרלי מסלול ו[[מכניקה סטטיסטית]]===
מתברר שאינטגרלי המסלול של פיינמן, ובפרט פרופוגטורי פיינמן, הם אנלוגיים ל[[פונקציית החלוקה (פיזיקה)|פונקציית החלוקה]] של מערכת קלאסית (בעלת מימד אחד גבוה יותר מהמימד של המערכת הקוונטית). אם אנו מעוניינים לעקוב אחרי דמיון זה, עלינו לבצע אינטגרל בזמן מדומה. לקשר זה משמעות גדולה כיוון שהוא מספק נקודת מבט נוספת על מערכות קוונטיות. נדגים אותו באמצעות דוגמה: נתבונן ב[[מיתר (גאומטריה)|מיתר]] המתוח בין שתי נקודות <math>\ z_0</math> ו-<math>\ z_f</math> ונניח שהוא יכול לבצע תנודות רוחביות בכיוון ציר <math>\ x</math> הניצב לישר שלאורכו מתוח המיתר כאשר הוא במנוחה. נוכל לתאר את צורת המיתר בעזרת הפונקציה <math>\ x(z)</math>. נניח כעת שהמיתר נמצא תחת השפעה של [[אנרגיה פוטנציאלית|פוטנציאל]] כך שה[[אנרגיה]] של אלמנט אורך אינפינטיסימלי <math>\ dz</math> היא <math>\ V(x(z))dz</math>. בנוסף לכך אם [[מתיחות]] המיתר היא <math>\ \mu</math> אז האנרגיה הכרוכה בעיוות המיתר ממצב שיווי המשקל שלו לצורה כלשהי <math>\ x(z)</math> נתונה על ידי ה[[פונקציונל]]:
<math display="block">\ E[x(z)]=\int_{z_0}^{z_f} \mathrm{d}z \left[ \frac{\mu}{2}\left( \frac{dx(z)}{dz}\right)^2 +V(x(z)) \right]</math>
פונקציית החלוקה של מערכת זו, <math>Z</math>, מוגדרת להיות הסכום על כל מצבי המיתר האפשריים כאשר המשקל של מצב בעל אנרגיה <math>E</math> הוא <math>e^{-\frac{E}{k_B T}}</math>. כאן <math>k_B</math> הוא [[קבוע בולצמן]] ו- <math>\ T</math>  היא ה[[טמפרטורה]], ולכן:
<math display="block">Z= \int \mathrm{D}x(z) e^{-\frac{1}{k_B T} \int  dz \left[\frac{\mu}{2}\left( \frac{\mathrm{d}x(z)}{\mathrm{d}z}\right)^2 +V(x(z)) \right]}</math> 
אמפליטודת המעבר <math>\psi_{x_0}(x_f,t)</math> עבור זמן מדומה <math>t=-it'</math> נתונה באינטגרל המסלולי:
<math display="block">\psi_{x_0}(x_f, -it') = \int \mathrm{D}x(i\tau) e^{-\frac{1}{\hbar} \int_0^{t'} \mathrm{d} \tau \left[ \frac{m}{2} \left( \frac{\mathrm{d}x(i\tau)}{\mathrm{d}\tau} \right)^2 + V(x(i \tau)) \right]}</math>
המבנה של שני הביטויים שקיבלנו, פונקציית החלוקה של מיתר קלאסי, ואמפליטודת המעבר בזמן מדומה, זהה, ומכאן נובעת האנלוגיה בין שתי הבעיות. בטבלה הבאה מסוכמת [[אנלוגיה]] זו בין  הבעיות:

{| bgcolor="#ccccff" align="center" border="2" cellpadding="3"
|-
|colspan="2" align="center" | '''האנלוגיה בין פונקציית חלוקה ואמפליטודת מעבר''' 
|-align="center"
|'''פונקציית חלוקה '''|| '''אמפליטודת מעבר'''  
|-align="center"
|טמפרטורה     <math>\ k_B T</math>   ||   קבוע פלאנק  <math>\ \hbar</math>     
|- align="center"
| אורך המיתר    <math>\ z_f-z_0</math>   ||  זמן המעבר המדומה  <math>\ -it'</math>     
|-align="center"
|מתיחות  <math>\ \mu</math> ||   מסה <math>\ m</math>  
|-align="center"
|צורת המיתר   <math>\ x(z)</math>   ||  מיקום החלקיק כפונקציה של הזמן המדומה <math>\ x(-i\tau)</math>            
|}

אינטגרלי המסלול של פיינמן, האנלוגיה שלהם לבעיות ב[[פיזיקה סטטיסטית]], כמו גם אינטגרציה בזמן מדומה, אינן שעשוע מתמטי ותו לא. לאינטגרלי המסלול של פיינמן אפליקציות רבות ומגוונות בתחומים כגון מחקר של [[פולימרים ואינטגרלים מסלוליים|פולימרים]], של [[DNA]], של [[תנועה בראונית]] ואף של תנודות ה[[בורסה לניירות ערך|בורסה]]. אינטגרלי המסלול של פיינמן נותנים אף רקע להבנה אינטואיטיבית של ההבדלים בין הסטטיסטיקה הפרמיונית והבוזונית.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מכניקת הקוונטים]]