הצגת המקור של הדף "אינטגרל רב-ממדי"

{{לשכתב|אי דיוקים (אופן חישוב)|נושא=מדעי הטבע|כל הערך=כן}}

'''אינטגרל רב-[[ממד (מתמטיקה)|ממד]]י''' הוא הרחבה של [[אינטגרל]] [[אינטגרל#האינטגרל המסוים|מסוים]] לפונקציה בשני [[משתנה|משתנים]] או יותר (פונקציה מהצורה <math>f(x,y,z)</math> למשל). [[אינטגרל לא מסוים]] אינו מוגדר עבור פונקציה עם יותר ממשתנה אחד, כי לא מוגדרת [[פונקציה קדומה]] שלה, או פעולת גזירה שבעזרתה חוזרים לפונקציה המקורית. את המקרה הכללי ביותר מספק [[משפט פוביני]], המספק נוסחה לחישוב אינטגרל לבג רב-ממדי על מרחבי מידה כלליים (סיגמא-סופיים).

את האינטגרל של הפונקציה <math>\ f(x,y)</math> (אינטגרל כפול - פונקציה עם שני משתנים) בתחום <math>D</math> מסמנים באמצעות:
:<math>\iint\limits_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y</math>
כאשר מספר סימני האינטגרציה מותאם למספר המשתנים שעליהם היא מבוצעת.

לאינטגרלים רב-ממדיים משמעות [[גאומטריה|גאומטרית]] ו[[פיזיקה|פיזיקלית]]: כפי שאינטגרל חד-ממדי יכול לחשב את ה[[שטח]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] בין שני עקומים, כך בעזרת אינטגרל דו-ממדי, הנקרא '''אינטגרל כפול''', מחשבים את ה[[נפח]] בין שני משטחים ב[[מרחב אוקלידי|מרחב]], ובממדים גבוהים יותר מחשבים [[היפר-נפח]]. דוגמה נוספת היא חישוב [[מומנט התמד]] של גוף דו-ממדי או תלת-ממדי בעל צפיפות משתנה.

==הגדרה==
אינטגרל רב ממדי מוגדר על פונקציה המוגדרת בתחום <math>D\subseteq\R^n</math>, כלומר פונקציה מהצורה <math>f:D\to\R</math>. נתחיל מהמקרה בו D הוא [[קובייה]], כלומר <math>D=[a_1,b_1]\times\dots\times[a_i,b_i]\times\dots\times[a_n,b_n]=\prod^n_{i=1}I_i</math> עבור <math>\forall i:a_i,b_i\in\R</math> כלשהם{{הערה|סימנו את הקטע <math>[a_i,b_i]</math> ב-<math>I_i</math>.}}. חלוקה של <math>[a_i,b_i]</math> היא קבוצה <math>P_i</math> של קטעים מהצורה <math>P=\{[a_{ij},a_{i,j+1}]|1\le j\le n_i\}</math> המקיימים <math>a_i=a_{i1}\le\dots\le a_{in_i}=b_i</math> עבור <math>n_i\in\N</math> כלשהו. לכל סדרה של חלוקות <math>(P_1,...,P_n)</math> שיש בה בדיוק איבר אחד לכל צלע של הקוביה D, נסמן את הסדרה בP (כחלוקה כללית). [[מכפלה קרטזית]] של איבר אחד מכל איבר בחלוקה תיקרא קובייה בחלוקה. נסמן קובייה כללית ב<math>Q</math>. נגדיר את הסכום העליון של החלוקה <math>P</math> להיות <math>U(f,P)=\sum_Q\inf\{f(\vec x)|\vec x\in Q\}\cdot v(Q)</math> כאשר <math>v(Q)</math> הוא הנפח של הקוביה Q{{הערה|אם <math>Q=\prod^n_{i=1}[c_i,d_i]</math>, אז <math>v(Q)=\prod^n_{i=1}|d_i-c_i|</math>.}}, ואת הסכום התחתון של החלוקה להיות <math>L(f,P)=\sum_Q\sup\{f(\vec x)|\vec x\in Q\}\cdot v(Q)</math>. נגדיר את האינטגרל התחתון של הפונקציה בתחום להיות <math>\underline{\int_D}f=\inf_PL(f,P)</math>, ואת האינטגרל העליון להיות <math>\overline{\int_D}f=\sup_PU(f,P)</math>. אם מתקיים <math>\overline{\int_D}f=\underline{\int_D}f</math>, נסמן את הערך המשותף ב-<math>\int_Df</math> ונקרא לו האינטגרל ה-n ממדי של f בתחום D.

במקרה שבו D אינה קובייה, תהי <math>\mathrm{Rec}</math> קובייה כלשהי המכילה את D. נגדיר <math>g:\mathrm{Rec}\to\R</math>: <math>g(\vec x)=\begin{cases}f(\vec x)&&\vec x\in D\\0&&\text{else}\end{cases}</math>, ונגדיר <math>\int_Df=\int_{\mathrm{Rec}}g</math>.

למקרה של אינטגרלים דו-ממדיים ותלת-ממדיים יש סימון אחר: במקרה שבו האינטגרל הוא על פונקציה מתת קבוצה של <math>\R^2</math>, נכנה אותו '''אינטגרל כפול''' ונסמן <math>\iint_Df(x,y)dxdy</math>. במקרה שבו האינטגרל הוא מתת קבוצה של <math>\R^3</math> נכנה אותו '''אינטגרל משולש''' ונסמן <math>\iiint_Df(x,y,z)dxdydz</math>.

==רקע==
מבחינה היסטורית, אינטגרל רימן שהוגדר על ידי ה[[מתמטיקאי]] [[ברנהרד רימן]] קודם לאינטגרל לבג שהוגדר על ידי [[אנרי לבג]] ופיתוחו דורש פחות ידע מתמטי מוקדם. לעומתו, כדי להגדיר את [[אינטגרל לבג]] אמנם יש להשתמש במושגים מ[[תורת המידה]] שפותחה לשם מטרה זו. למרות זאת הטיפול המתמטי באינטגרל לבג נוח הרבה יותר מבאינטגרל רימן והוא גם כללי בהרבה. כך, בתורת המידה, הגדרת אינטגרל כפול אינה שונה בדבר מהגדרת האינטגרל הרגיל וכמוהו תלויה רק בבניית [[פונקציית מידה]] מתאימה על המרחב הדו-ממדי. מידה כזו ניתן לבנות על ידי ה[[מלבן|מלבנים]] בדומה לבנייה של [[מידת לבג]] על [[הישר הממשי]] באמצעות הקטעים הסופיים.

==חישוב אינטגרל רב-ממדי==
בניגוד לאינטגרל על הישר הממשי, אותו ניתן לעיתים קרובות לחשב באמצעות [[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] את האינטגרל הכפול לא ניתן לחשב בדרך זו ישירות. במקרה המיוחד בו התחום עליו עורכים את האינטגרציה הוא מלבני, ניתן לבצע את האינטגרציה על ידי אינטגרציה כפולה של אינטגרל חד־ממדי בכל פעם:
:<math>\iint\limits_{\ [a,b]\times [c,d]} f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = \int _a^b \left( \int _c^d f(x,y)\, \mathrm{d}y \right)\, \mathrm{d}x</math>
למעשה, נוסחה זו היא [[מקרה פרטי]] של הנוסחה הבאה: בהינתן <math>A\subseteq\R^n\ ,\ B\subseteq\R^m</math> ותחום <math>D\subseteq\R^{n+m}</math> כך שמתקיים <math>D=A\times B</math>, וכן פונקציה <math>f:D\to\R</math>, אז מתקיים <math>\int_Df=\int_A\left(\int_Bf\right)</math>, כאשר באגף ימין רואים את הפונקציה <math>f</math> כפונקציה בm משתנים, ושאר n המשתנים הופכים להיות פרמטרים, וכך הפונקציה <math>\left(\int_Bf\right):A\to\R</math> מוגדרת כפונקציה של n המשתנים החסרים.

במקרים בהם התחום אינו מלבני, נשתמש בדימויו של האינטגרל לסכום:
כלומר שאם המשתנה <math>y</math> חסום בין שתי עקומות <math>m</math> ו-<math>n</math> המקיימות:
<math>m = f(x), n = g(y), n>m</math> ניתן לחשב את האינטגרל בעזרת סכימת המשתנה <math>y</math> מ-<math>g</math> עד <math>f</math>, וסכימת תוצר זה על כל ערכי <math>x</math>.

==ראו גם==
* [[משפט פוביני]]
* [[משפט גרין]]
* [[משפט גרין דיסקרטי]]
* [[משפט גאוס]]
* [[משפט סטוקס]]

{{אנליזה מתמטית}}
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* [https://gadial.net/2015/11/09/d-dimensional_integrals/ אינטגרלים כפולים, משולשים ו-d-ממדיים] באתר [https://gadial.net/ לא מדויק].

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אינטגרלים|רב-ממדי]]

[[de:Integralrechnung#Mehrdimensionale Integration]]