הצגת המקור של הדף "אינסוף"

'''אינסוף''' (סימון: <math>\infty</math>) הוא מונח עם משמעויות שונות ב[[מתמטיקה]], ב[[פילוסופיה]], ב[[תאולוגיה]] ובשפת היומיום, המתייחס להיעדר גבול כמותי, מרחבי, זמני, או רעיוני.

==האינסוף במתמטיקה==
אין סוף במתמטיקה מתאר גודל של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] (נהוג לקרא לו "[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]]" של קבוצה) שאינה [[קבוצה סופית|סופית]]. למשל קבוצת ה[[מספרים שלמים|מספרים השלמים]], וקבוצת ה[[מספרים ממשיים|מספרים הממשיים]], הן בעלות עוצמות אין סופיות. ה[[אינסוף (סימן)|סימן המקובל עבור אינסוף]] הוא <math>\infty</math>.

===עוצמות אינסופיות===
לצורך השוואה בין עוצמות של קבוצות אין סופיות, נוקטים בכלל כי שתי קבוצות אינסופיות שוות [[עוצמה (מתמטיקה)|בעוצמתן]] אם ורק אם קיימת [[התאמה חד חד ערכית]] בין אבריהן. לא כל הקבוצות האינסופיות שוות בעוצמתן. למשל עוצמת הקבוצה של המספרים הטבעיים קטנה מעוצמת הקבוצה של המספרים הממשיים. כמו כן ייתכן שקבוצה אין סופית תהיה שוות עוצמה ל[[תת-קבוצה|תת קבוצה]] אמיתית שלה. [[תורת הקבוצות]] היא תחום מתמטי העוסק ביחסים בין עוצמות של קבוצות אינסופיות.

===תהליכים אין סופיים===
[[קובץ:Infinite.svg|שמאל|ממוזער|250px|[[אינסוף (סימן)|סימן האינסוף]]]]
ה[[הבנה]], שלכל אחד מה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]] יש מספר גדול ממנו, הייתה ידועה כבר ליוונים הקדמונים (וזכתה לשם [[אקסיומת ארכימדס]]). אם נתבונן ב[[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] שאיבריה הם המספרים הטבעיים, נראה כי ככל שאנו מתקדמים בסדרה, הערכים של איברי הסדרה הולכים וגדלים בצורה כזו שעבור כל מספר טבעי, החל ממקום מסוים יהיו כל איברי הסדרה גדולים ממנו. זוהי דוגמה לתהליך של '''שאיפה לאינסוף''', אף שהאינסוף בו בא לידי ביטוי רק באמצעות מושגים סופיים. הגדרה פורמלית של תהליך הגדל לאינסוף ניתנה במאה ה-17, בעת העיסוק במושג ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]], בתחילת יצירתו של ה[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]]. במסגרת דיון זה הנהיג ה[[מתמטיקאי]] האנגלי [[ג'ון ואליס]] בשנת [[1655]] את הסמל <math>\infty</math> למושג האינסוף. הסמל בא לידי שימוש, למשל, ב[[ביטוי (מתמטיקה)|ביטוי]] מהצורה <math>\lim_{n \to \infty}x_n</math> שאותו יש לקרוא " הגבול של הסדרה <math>\ x_n</math> כאשר n שואף לאינסוף". יש לציין שסדרה אינסופית של מספרים יכולה להתכנס למספר סופי. (ראו הרחבה בעניין זה בערך [[גבול (מתמטיקה)|גבול]]). ואליס לא הסביר את הבחירה בסמל זה, אולם ייתכן כי הוא נובע מהדמיון לאות היוונית [[אומגה]], ששימשה לתאר כמות גדולה, או לצורת רישום מסוימת של המספר 1,000 ב[[ספרות רומיות]] (CIƆ או CƆ).

===האינסוף כגודל מוחשי===
[[קובץ:999_Perspective.svg|ממוזער|400px|[[השיטה העשרונית|הפיתוח העשרוני]] האינסופי של {{משמאל לימין|[[0.999...]]}} השווה גם ל-1]]{{ערך מורחב|עוצמה (מתמטיקה)}}
העיסוק באינסוף כגודל מוחשי בא לידי ביטוי ב[[הפרדוקס של גלילאו|פרדוקס של גלילאו]], המדגים את תכונותיהן הלא אינטואיטיביות של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]] שמספר איבריהן אינו סופי ([[קבוצה אינסופית|קבוצות אינסופיות]]). [[גלילאו]] הראה כי ניתן ליצור התאמה שממנה נובע כי מספרם של המספרים הטבעיים זהה למספרם של ה[[מספר ריבועי|מספרים הריבועיים]], אף שתוצאה זו סותרת לכאורה את העובדה הברורה, שיש מספרים טבעיים שאינם ריבועיים. מכאן הסיק גלילאו שמושגי ה"גדול", "קטן" ו"שווה" המוכרים לנו מקבוצות סופיות אינם תקפים באותה צורה עבור קבוצות אינסופיות, וניסיון לשימוש בהם מוביל לסתירה. המחשה נוספת לתכונות המפתיעות של קבוצות אינסופיות ניתנת בסיפור [[המלון של הילברט]].

טיפול פורמלי בקבוצות אינסופיות נוצר על ידי [[גאורג קנטור]] בסוף [[המאה ה-19]], במסגרת פיתוחה של [[תורת הקבוצות]]. מונח ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] נוצר במסגרת זו כדי לבטא את גודלה של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] שמספר איבריה אינו סופי, כגון [[קבוצת המספרים הטבעיים]] או קבוצת ה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]]. במסגרת זו, לקבוצת המספרים הטבעיים ולקבוצת המספרים הריבועיים יש אותה עוצמה, אף על פי שאחת הקבוצות מכילה ממש את רעותה. [[ריכרד דדקינד]] [[אינסופיות לפי דדקינד|הגדיר קבוצה אינסופית]] ככזו שהיא שוות עוצמה לקבוצה המוכלת בה ממש.

הישג גדול של קנטור היה ההוכחה שאין מקום לדבר על גודל אינסופי יחיד, אלא יש סוגים רבים של גדלים אינסופיים. העוצמה של קבוצת [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]], למשל, גדולה מזו של קבוצת המספרים הטבעיים. את העוצמה של המספרים הטבעיים סימן קנטור באות העברית <math>\ \aleph_0</math> (קרי: [[אלף אפס|אָלֶף אֶפֶס]]), ואת [[עוצמת הרצף|עוצמת הממשיים]] סימן באות <math>\ \aleph</math>.

יתרה מזו, [[משפט קנטור (לקבוצת החזקה)|משפט קנטור]] קובע שעוצמתה של [[קבוצת החזקה]] של A גדולה מעוצמתה של A, ובפרט אין עוצמה 'גדולה ביותר'. ניתן להוכיח כי קבוצת כל העוצמות היא כה גדולה עד כי לא ניתן לדבר על העוצמה שלה עצמה (כלומר, על פי [[תורת הקבוצות האקסיומטית]], אוסף העוצמות גדול מכדי להיות קבוצה, והוא נחשב ל[[מחלקה (תורת הקבוצות)|מחלקה]]). לקבוצת כל העוצמות (ולקבוצות השקולות לה), שלא ניתן לטפל בהן במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קרא קנטור "האינסוף המוחלט".

=== פעולות באינסוף ===
יש כמה דרכים שבהן ניתן לצרף את הסמל <math>\ \infty</math> ל[[מערכות מספרים]] מוכרות. בכל אחת מדרכים אלה מקבלות פעולות מסוימות משמעות, ובאותה עת מאבדים כמה מן התכונות המקוריות של המערכת. למערכות שונות הכוללות את סמל האינסוף יש שימושים שונים בהקשרים מתמטיים שונים, ולא קיימת דרך מוסכמת, "נכונה", לטפל באריתמטיקה של הסמל הזה.

דרך אחת לבצע פעולות באינסוף היא לספח ל[[הישר הממשי|ישר הממשי]], בתור [[קבוצה סדורה]], שתי נקודות חדשות: <math>\ \infty</math> ו- <math>\ -\infty</math>. מבחינת יחס הסדר, המוסכמה היא ש- <math>\ -\infty<a<\infty</math> לכל a ממשי; הקבוצה נשארת [[יחס סדר ליניארי|סדורה ליניארית]]. פעולת החיבור מוגדרת על-פי הכללים <math>\ \infty+a=\infty</math> ו- <math>\ -\infty+a=-\infty</math> לכל a ממשי, וכך מוגדרות כל האפשרויות לחבר שני איברים של הקבוצה החדשה, למעט <math>\ -\infty+\infty</math>, ביטוי שאינו מוגדר. אפשר להרחיב את הגדרת הכפל באופן דומה, כאשר הביטוי <math>\ 0\cdot \infty</math> נשאר [[לא מוגדר]]. פעולת החילוק מקיימת את הכלל <math>\ \frac{a}{\infty}=0</math> לכל a ממשי, וגם כאן, הביטוי <math>\ \frac{\infty}{\infty}</math> אינו מוגדר. הקבוצה החדשה אינה [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] (משום שהפעולות אינן מוגדרות שם באופן מלא). לכך שביטויים מסוימים נשארים בלתי מוגדרים יש סיבה: אם נקבע למשל ש- <math>\ \infty-\infty=0</math>, נצטרך לקבל גם את השוויון המופרך <math>\ 1= 1+0 = 1+(\infty-\infty)=(1+\infty)-\infty=\infty-\infty=0</math>, או לוותר על ה[[אסוציאטיביות]] של החיבור.

ראו גם [[שדה המספרים הסוריאליסטיים]].

===האינסוף בגאומטריה===
אחת התוצאות הראשונות הנובעות מה[[אקסיומה|אקסיומות]] של ה[[גאומטריה]] היא שכל [[ישר]] מכיל אינסוף [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]]. תוצאות נוספות הן שבכל [[מישור (גאומטריה)|מישור]] נמצאים אינסוף נקודות שונות ואינסוף ישרים שונים, וכן ישנם אינסוף מישורים שונים. עם זאת, עד סוף המאה ה-19, האינסוף כמעט ולא נדון בגאומטריה, למעט בהקשר של תהליכים שניתן להמשיך ללא כל הגבלה. למשל, [[ישר|קו]] היה מה שנקרא כיום [[קטע (גאומטריה)|קטע קו]], בתנאי שאפשר להרחיב אותו עד כמה שרוצים; אבל הרחבתו "עד אינסוף" לא באה בחשבון. באופן דומה, קו בדרך כלל לא נחשב כמורכב מאין סוף נקודות, אלא כמיקום שבו ניתן למקם נקודה. גם אם יש אינסוף מיקומים אפשריים, רק מספר סופי של נקודות יכול להיות ממוקם על קו.
[[קובץ:Riemann_sphere1.svg|שמאל|ממוזער|213x213 פיקסלים|על ידי [[הטלה סטריאוגרפית|הטלה סטריוגרפית]], ניתן "לעטוף" את המישור המורכב על כדור, כאשר הנקודה העליונה של הכדור מתאימה לאינסוף. כדור זה נקרא [[הספירה של רימן]] .]]
אחד היוצאים מן הכלל הנדירים של מושג מתמטי הכולל אינסוף ממשי היה [[גאומטריה פרויקטיבית]], שבה מוסיפים נקודה שבה נחתכים כל הישרים, זוהי נקודת האינסוף.

ניתן לראות את [[המישור המרוכב]] ככדור, המכונה [[הספירה של רימן]], המכיל את כל איברי המישור בתוספת נקודה אחת, בקוטב הצפוני של הכדור - האינסוף. זוהי דוגמה למצב שבו האינסוף הוא נקודה לכל דבר במרחב, והיא מאפשרת טיפול נוח בפונקציות שמקבלות ערכים אינסופיים.

במתמטיקה המודרנית, לאחר השימוש ב[[תורת הקבוצות]] ליסודות המתמטיקה, מקובל לדבר על קווים כ"קבוצות אינסופיות" של נקודות.

==האינסוף בפיזיקה==
[[קובץ:Infinity Mirror Effect.jpg|ממוזער|250px|השתקפות אינסופית של דמות בין שתי [[מראה|מראות]]]]

===באלקטרודינמיקה קוונטית===
ב[[אלקטרודינמיקה קוונטית]] וב[[תורת השדות הקוונטית]], שני ענפים של [[מכניקת הקוונטים|תורת הקוונטים]] שהיא נושא מרכזי ב[[פיזיקה]] המודרנית, עלתה בעיה של משוואות המציגות מציאות פיזיקלית ותוצאתן אינסוף. ה[[פיזיקאי]] [[ריצ'רד פיינמן]] הציע פתרון לבעיה זו, הקרוי [[רנורמליזציה]].

===בקוסמולוגיה===
ה[[תגלית]] לפיה [[היקום]] מתפשט העלתה בהכרח את השאלה האם [[התפשטות היקום]] היא תהליך שיימשך עד אינסוף או שתהליך זה ייעצר בשלב כלשהו. שאלה זו היא שאלת מפתח ב[[קוסמולוגיה]].

[[סינגולריות כבידתית]], הנקראת בקיצור '''סינגולריות''' וגם '''ייחודיות''', היא נקודה במרחב בה [[צפיפות החומר]] אינסופית. [[תורת היחסות הכללית]] מאפשרת את קיומן של נקודות סינגולריות, וצופה בהן עיקום אינסופי של ה[[מרחב-זמן]]. מודל [[המפץ הגדול]] של [[היקום]] מכיל נקודה סינגולרית בתחילתו של ה[[זמן]]. בסינגולריות המפץ הגדול, המודל חוזה שצפיפות החומר ועיקום המרחב-זמן יהיו אינסופיים. במודלים קוסמולוגיים מסוימים קיימת נקודה סינגולרית נוספת של היקום, הקרויה '''הקריסה הגדולה''', והיא מציינת את קץ הזמן ביקום.

משפט מתמטי קובע כי סינגולריות קיימת בהכרח בכל [[חור שחור]].

==האינסוף באמנות==
[[קובץ:Vegetables 1370912 Nevit droste.jpg|ממוזער|250px|[[אפקט דרוסטה]]: צלחת אוכל אינסופית.]]

הצייר [[מאוריץ קורנליס אשר]] הרבה לחקור את מושג האינסוף ביצירותיו. רבות מיצירותיו מציגות דמויות ההולכות וקטנות לאינסוף. דוגמה מובהקת לכך היא הציור "גבול מעגל 4 - שמים וגיהנום" משנת [[1960]].

בטכניקת [[מיז-אנ-אבים|מיז-אנ-אבּים]] (בצרפתית: Mise en abyme) סיפור נמצא בסיפור או תמונה נמצאת בתמונה בין שיהיה אינסוף ליניארי כמו ב[[אפקט דרוסטה]] ובין שיהיה מחזורי (סיפור אחרון מתחבר לסיפור ראשון).
אפקט דומה מתקבל בצילום בהצבת מראה מול מראה.

==האינסוף בפילוסופיה==
{{הפניה לערך מורחב|אינסוף (פילוסופיה)}}
הרעיון המוקדם ביותר שתועד על האינסוף ביוון הוא ככל הנראה הרעיון של הפילוסוף היווני ה[[פילוסופיה קדם-סוקרטית|פרה-סוקרטי]], [[אנכסימנדרוס|אנקסימנדר]] (בערך 610 - 546 לפנה"ס לערך). הוא השתמש במילה ''apeiron'', שפירושה "בלתי מוגבל", "אינסופי", ואולי ניתן לתרגם כ"אינסופי". <ref>{{צ-מאמר|מחבר=Allen, Donald|שם="The History of Infinity" (PDF)|כרך=Texas A&M Mathematics|שנת הוצאה=2003|קישור=https://web.archive.org/web/20200801202539/https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf}}</ref>

[[אריסטו]] (350 לפנה"ס) הבחין בין "האינסוף הפוטנציאלי" לבין "[[אינסוף בפועל|האינסוף הממשי]] (אקטואלי)", שאותו הוא ראה כבלתי אפשרי בשל הפרדוקסים השונים שנראה שהוא מייצר. <ref>{{Cite book|last=Aristotle|url=http://classics.mit.edu/Aristotle/physics.3.iii.html|title=Physics|publisher=The Internet Classics Archive|at=Book 3, Chapters 5–8|translator-last=Hardie|translator-first=R. P.|translator-last2=Gaye|translator-first2=R. K.}}</ref> אריסטו כתב:
: תמיד אפשר לחשוב על מספר גדול יותר, משום שמספר הפעמים שבהן ניתן לחלק גודל נתון לשניים אינו מוגבל. לפיכך האינסוף הוא פוטנציאלי ולעולם לא אקטואלי. מספר החלקים שביכולתנו ליצור גדול מכל מספר נתון.

רעיונותיו של אריסטו נוסחו ביתר פירוט ב[[ימי הביניים]], למשל על ידי ה[[פילוסוף]] בן [[המאה ה-14]] [[ויליאם איש אוקאם]].

[[הפרדוקסים של זנון|הפרדוקסים]] המפורסמים של [[זנון מאליאה|זנון מאלאה]] (c. 495 – 430 c. לפני הספירה), במיוחד "אכילס והצב", היו תרומות חשובות לדיון הפילוסופי בכך שהבהירו את הפערים בהבנת האדם את מושג האינסוף. <ref>{{צ-ספר|שם=Zeno’s Paradoxes|קישור=https://plato.stanford.edu/archives/spr2024/entries/paradox-zeno/|מו"ל=Metaphysics Research Lab, Stanford University|שנת הוצאה=2024|מהדורה=Spring 2024|מחבר=Nick Huggett}}</ref> טיעוניו של זנון עוסקים בפרדוקסליות של ה[[תנועה (פיזיקה)|תנועה]] ושל ה[[זמן]] כאשר מחלקים גודל סופי נתון לחלקים רבים והולכים לבלי גבול. פתרון לפרדוקסים אלה נמצא רק בביסוס התאורטי של מושג האינסוף במתמטיקה, החל מ[[המאה ה-17]]. הפרדוקסים הללו תוארו על ידי הפילוסוף הבריטי [[ברטראנד ראסל|ברטרנד ראסל]] כ"עדינים ועמוקים לאין שיעור". <ref>{{צ-מאמר|מחבר=Russell, Bertrand|שם=The Principles of Mathematics|כתב עת=New York: Norton|שנת הוצאה=(1996) [1903]|קישור=https://www.finophd.eu/wp-content/uploads/2018/11/Russell-Principles-of-Mathematics.pdf}}</ref>

==האינסוף בתאולוגיה==
{{להשלים|נושא=מדעי הטבע}}
===ביהדות===
{{להשלים|נושא=מדעי הטבע}}
ב[[תורת הסוד]] היהודית, מכונה התגלות האל הראשונית והעילאית ביותר כ"אור אין סוף". האור שמגיע מהאינסוף. ה[[מקובל]]ים כינו את ההתגלות האלוהית בשם אור, מכיוון שהאור מתייחד בתכונות רבות שיכולות להוות דוגמה ומשל ביחס להתגלות האלוהות - להלן חלק מהתכונות: 1. האור מחובר למקורו. 2. האור הוא "מעין המאור" כלומר דומה בתכונותיו למאור. (לדוגמה אור השמש הוא בהיר כמו גוף כדור השמש) 3. האור מאיר באופן פסיבי ממקורו ואין לו מציאות כשלעצמו. (הוא אינו "מחליט" האם להאיר או לא). כך גם האור האלוהי - 1. מחובר למקורו = עצם האלוה.
2. האור האלוהי ש"מאיר" בעולם הוא כמו השתקפות של המקור - האל. 3. האור אינו אלוהים נפרד אלא התפשטות "אוטומטית" של האלוהים. ביטוי רווח בספרות הקבלה לגבי "אור אין סוף" הוא "לית מחשבה תפיסא ביה"{{הערה|התחלת "[[פתיחת אליהו הנביא|פתח אליהו]]"}} = אין מחשבה נתפסת בו. כלומר בלתי ניתן "לתפוס" בחוש כלשהו את האור מכיוון שהוא למעלה מחושי האדם, ובכל זאת הוא מתגלה אצל בני האדם
על אף ש"כליהם" מצומצמים והבנתם [[רלטיביות|יחסית]] ומוגבלת. נושא זה נחקר רבות ב[[חסידות]]<ref name=":0">ראה לדוגמה [[ספר התניא]] פרק נ"א ועוד</ref> וב[[קבלה]].

== אינסוף בפסיכולוגיה ==
{{ערך מורחב|אספים לחופש}}
[[קובץ:Autism infinity sign.png|ממוזער]] 
השימוש בסמל האינסוף ב[[פסיכולוגיה]] מהווה ייצוג ל[[אוטיזם]]. הסמל, שהחל לשמש ביוני 2004, נבחר כתגובה להקשרים השליליים הקשורים לסמל הפאזל, אשר ארגוני הורים נוהגים להשתמש בו. רוב חברי הקהילה האוטיסטית תופסים את סמל הפאזל כהתייחסות מעליבה, המצביעה על כך שאוטיסטים עשויים להיראות כחידה.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://www.altogetherautism.org.nz/autism-no-puzzle-nothing-wrong-with-us/|הכותב=Altogether Autism|כותרת=Autism no puzzle, nothing wrong with us|אתר=Altogether Autism|תאריך=2021-03-28|שפה=en-NZ|תאריך_וידוא=2025-02-21}}</ref>

==ראו גם==
* [[רציפות (פילוסופיה)]]
* {{משמאל לימין|[[0.999...]]}}
* [[אד אינפיניטום]]

==לקריאה נוספת==
* מריוס כהן, "פרדוקסים של האינסוף - חלק א'", '''[[גליליאו (כתב עת)|גליליאו]]''' 112, דצמבר 2007
* מריוס כהן, "פרדוקסים של האינסוף - חלק ב'", '''[[גליליאו (כתב עת)|גליליאו]]''' 113, ינואר 2008
* [[חיים שפירא (מתמטיקאי)|חיים שפירא]], '''אינסוף - המסע שאינו נגמר''', [[כנרת זמורה-ביתן דביר|כנרת וזמורה ביתן]], 2010

== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקימילון=אינסוף|ויקימילון 2=גדל אינסופי}}
* {{MathWorld}}
* {{הארץ|אמנדה גפטר, [[ניו סיינטיסט]]|האם אפשר לסלק את האינסוף מחיינו?|1.2124832|23 בספטמבר 2013}}
* {{ynet|שי זמיר, "[[גליליאו צעיר]]"|ברוכים הבאים לאינסוף|3825294|28 בדצמבר 2009}}
* {{פרונטירז|פלוריאן בוייר|אֵינְסוֹף, וניסיון לפתור תרגילי חשבון בעזרתו|2018.00061|31 במאי 2019}}
* {{בריטניקה}}
* {{דוידסון|מאיר ברק|מה מקור הסמל של האינסוף המתמטי?|askexpert/general_know/מה-מקור-הסמל-של-האינסוף-המתמטי-מיה|ספטמבר 2009}}
* {{יוטיוב|Uj3_KqkI9Zo|שם=The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky|אורך=06:00|ערוץ=TED-Ed}} - פרדוקס המלון האין סופי, סרטון הסבר באנגלית עם כתוביות בעברית
* {{יוטיוב|bOC07fLNEhk|שם=פרופ' שירי ארטשטיין: "אל האינסוף ומעבר לו"|אורך=17:38|ערוץ=TAUVOD}}

==הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{בקרת זהויות}}
[[קטגוריה:אינסוף|*]]
[[קטגוריה:מושגים במתמטיקה]]
[[קטגוריה:מטאפיזיקה]]
[[קטגוריה:תורת ההכרה]]