הצגת המקור של הדף "אינפיניטסימל"

ב[[מתמטיקה]], '''אינפיניטסימל''' הוא גודל חיובי קטן לאין שיעור ("קטן כרצוננו"). הרעיון היה מובלע בעבודתם הגאומטרית של ה[[יוון העתיקה|יוונים]], שיחק תפקיד מרכזי ב[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]] של [[המאה ה-18]] ואיבד את מקומו לטובת הפיתוח המסודר של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ב{{ה|מאה ה-19}}. כיום יש תורות של [[אנליזה לא סטנדרטית]] העושות בו שימוש. ב[[מערכת מספרים]] היפר-ממשיים קיימים מספרים אינפיניטסימלים.

מקור השם הוא בביטוי ב[[לטינית]] חדשה מ[[המאה ה-17]], ''infinitesimus'', שהתייחס לאיבר ה"אחרון" ב[[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] [[אינסוף|אינסופית]].

בשפת היומיום, [[גודל פיזיקלי|גודל]] אינפיניטסימלי הוא דבר קטן מעבר ליכולת המדידה, ותהי זו מדידה של זמן, מרחק, [[ריכוז (כימיה)|ריכוז כימי]], או כל דבר אחר.

==היסטוריה==
ה[[מתמטיקאי]] הראשון שעשה שימוש באינפיניטסימלים (בלי להשתמש במושג זה) היה [[ארכימדס]] (בערך בשנת [[250 לפנה"ס|250 לפני הספירה]]),{{הערה|Archimedes, ''The Method of Mechanical Theorems'', see the [[הפלימפססט של ארכימדס|Archimedes palimpsest]]|כיוון=שמאל}} אף על פי שלא שיער את קיומם של אינפיניטסימלים [[פיזיקה|פיזיקליים]]. [[תכונת ארכימדס]], שהוגדרה בסוף המאה ה-19 על ידי [[אוטו שטולץ]], מאפיינת מבנה סדור, שבו כל גודל קטן מכפולה של כל גודל אחר, ולכן אין בו אינפינטיסימלים שאינם משמרים תכונות חשבוניות.

ב[[הודו]], בתקופה שבין [[המאה ה-12]] עד [[המאה ה-16]], המתמטיקאי ההודי [[בהשקרה]] ומספר מתמטיקאים שעבדו בבית הספר המתמטי של מדינת [[קרלה]] ב[[דרום הודו]] עשו שימוש באינפיניטסימלים במסגרת גרסה ראשונית של חשבון דיפרנציאלי.

האינפיניטסימל כרעיון עומד ביסוד [[עקרון קאוואליירי]], הגדרת ה[[משיק]] באמצעים אלגבריים,{{הערה|כתביו של דקארט מכילים חידושים באשר לשימושיות ולממשות שיטות אלגבריות ושימוש באינפיניטסימלים בתקופה שבה גאומטריה הייתה למעשה ה"מתמטיקה" היחידה כיוון שרק זו נשענה על הנחות ומושגי יסוד באופן מוקפד, ידוע כי ניוטון בנעוריו למד את כתביו של דקארט, השפעה זו ניכרת בשיטותיו של ניוטון שפורסמו בחייו ב[[אריתמטיקה אוניברסלית]] ולאחר מותו, ובמפעלו למיון עקומים ממעלה שלישית, ככל הנראה בהשראת שאיפתו הלא מושגת של דקארט.}} [[משפט פרמה (לנקודות קיצון)|משפט פרמה]], [[כלל לופיטל]], תיאור [[קו השרשרת]], בעיות ה[[בעיית הברכיסטוכרון|ברכיסטוכרון]] וה[[בעיית הטאוטוכרון|טאוטכרון]]. גם [[יוהאנס קפלר|קפלר]] נעזר באינפינטסימלים לצורך מציאת [[שטח]] [[מעגל]]-[[תרבוע המעגל]] (כאמור עקרון קאוואליירי).

כאשר [[אייזק ניוטון]] ו[[גוטפריד וילהלם לייבניץ]] פיתחו באופן בלתי תלוי זה בזה את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, על אף מערכת הסימונים השונה שניהם עשו שימוש באינפיניטסימלים. טענה טיפוסית הכוללת גדלים כאלה:

: נניח שגוף נמצא בכל זמן t במרחק <math>\ X(t) = t^2</math> מן הראשית. כדי למצוא את מהירותו של הגוף (שהיא ה[[נגזרת]] של X), יהי <math>\ dt</math> אינפיניטסימל. בזמן <math>\ t+dt</math> הגוף נמצא במרחק <math>\ (t+dt)^2</math>, ומכאן שבמשך הזמן <math>\ dt</math> שמהזמן t, הוא הספיק לעבור מרחק של <math>\ (t+dt)^2 - t^2 = 2t \cdot dt + dt\cdot dt</math>. אם נחלק את המרחק בזמן נקבל <math>\ 2t+dt</math>. אבל <math>\ dt</math>קטן כרצוננו, ולכן היחס שווה ל-<math>\ 2t</math>.

בעקבות זאת יצא חוצץ ה[[בישוף]] וה[[פילוסוף]] [[ג'ורג' ברקלי]], בחיבורו "האנליסט", נגד עצם השימוש באינפיניטסימלים. ברקלי טען שהטענה הזו, אף על פי שהיא מעניינת במבט ראשון, ונותנת את התוצאה הנכונה, מבוססת על [[הנחה (לוגיקה)|הנחות]] ה[[סתירה (לוגיקה)|סותרות]] זו את זו: אנו [[חילוק|מחלקים]] ב-<math>\ dt</math> משום שזהו גודל חיובי שונה מ[[0 (מספר)|אפס]], ואז מחליפים אותו באפס, משום שהוא אינפיניטסימלי.

בין [[המאה ה-17]] ועד המחצית השנייה של [[המאה ה-19]], נעשה במערב שימוש מעשי בשיטות שהפכו לחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי שבסיסן עקרון שנוי במחלוקת זה. רק אז ניתן ל[[חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי|חשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] בסיס מתמטי פורמלי באמצעות הגדרת מושג ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] {{ציטוטון|לפונקציה <math>\,f</math> יש '''גבול''' <math>\ L</math> בנקודה <math>\ x_0</math> אם לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> (קטן ככל שיהיה) קיים <math>\ \delta>0</math> מתאים כך שלכל <math>x</math>, אם -<math>\ 0 < |x-x_0| < \delta </math> אז <math>|f(x)-L| < \varepsilon</math>.}}.{{הערה|להבנת ההגדרה ראו גם [[גבול של פונקציה]]}} באופן דומה ניתן להמשיך ולהגדיר את יתר מושגי היסוד של החדו"א: [[רציפות]], [[משפט ערך הביניים]] והכללותיו, [[פונקציה גזירה|גזירות]], [[נגזרת]] ו[[אינטגרל]].

==אינפיניטסימלים באנליזה הלא סטנדרטית==

ב{{ה|מאה ה-20}} נמצא שניתן לטפל באינפיניטסימלים ישירות, באופן [[ריגורוזי]], במסגרת ה[[אנליזה לא סטנדרטית|אנליזה הלא-סטנדרטית]].

בין המספרים הממשיים, לכל [[מספר שלם]] n יש [[מספרים חיוביים ושליליים|מספר חיובי]] h קטן מ- <math>\ 1/n</math>. [[משפט הקומפקטיות]] מאפשר להפוך את סדר ה[[כמת]]ים, ולהסיק שקיימת מערכת מתמטית עם מספר חיובי h, הקטן מכל המספרים מהצורה <math>\ 1/n</math> גם יחד. מערכת זאת הנקראת [[שדה המספרים ההיפר-ממשיים]], מרחיבה את [[שדה המספרים הממשיים]], והיא מהווה "מודל לא סטנדרטי" שלהם, שבו מתקיימות כל הטענות [[שפה מסדר ראשון|מסדר ראשון]] הנכונות עבור מספרים ממשיים. המספרים הממשיים הרגילים מהווים "איברים סטנדרטיים" של המודל, ויש בו בנוסף גם איברים לא סטנדרטיים.

באיבר הלא-סטנדרטי h של המערכת החדשה אפשר לראות אינפיניטיסימל, משום שהוא קטן מכל הממשיים החיוביים. (באותה מידה המספר <math>\ 1/h</math> "גדול לאינסוף" - הוא גדול מכל המספרים הממשיים). גישה זו היא פיתוח של [[אברהם רובינזון]], שיצר ב-[[1960]] את האנליזה הלא-סטנדרטית.

בגישה אחרת מרחיבים את השפה, כלומר את מערכת האקסיומות, המתארת את המספרים הממשיים. מערכת אקסיומות כזו פותחה ב-[[1977]] על ידי [[אדוארד נלסון]], והיא נקראת IST, על-שם שלוש האקסיומות שהיא מוסיפה: Idealization, Standardization ו- Transfer. באופן הזה אפשר להגדיר אינפיניטסימלים, שהם קטנים בערכם המוחלט מכל מספר חיובי ממשי סטנדרטי.

יש גם גישות אחרות, שבהן רמות שונות של אינפיניטסימלים. כל הגישות הללו עקביות מבחינה מתמטית (במסגרת [[אקסיומות צרמלו-פרנקל]]).

==הגישה האלגברית==
כדי לחקות את התכונות האלגבריות המופשטות של האינפיניטסימלים של החשבון הדיפרנציאלי, אפשר ליצור מערכת חדשה שבה יש איבר "קטן לאין שיעור" במובן שונה מזה שהוצע עד כה - האיבר הזה הוא [[איבר נילפוטנטי|נילפוטנט]], וריבועו אפס, אף על פי שהוא שונה מאפס. באינפיניטיסמל כזה אמנם אי-אפשר [[חלוקה באפס|לחלק]], אבל נגזרות אפשר עדיין לחשב, באמצעות [[גזירה (אלגברה)|גזירה אלגברית]].

==לקריאה נוספת==
<div style="direction:ltr; text-align: left">
* J. Keisler "Elementary Calculus" (200) University of Wisconsin {{קישור כללי|כתובת=http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html|כותרת=Elementary Calculus|תאריך_וידוא=2019-01-05|אתר=www.math.wisc.edu}}
* K. Stroyan "Foundations of Infinitesimal Calculus" (1993) [https://web.archive.org/web/20081222012119/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm]
* Robert Goldblatt (1998) "Lectures on the hyperreals" Springer. {{צ-ספר|שם=Lectures on the Hyperreals: An Introduction to Nonstandard Analysis|קישור=https://www.springer.com/us/book/9780387984643|שפה=en|מו"ל=Springer-Verlag|מקום הוצאה=New York|שנת הוצאה=1998|סדרה=Graduate Texts in Mathematics|מחבר=Robert Goldblatt}}
* "Nonstandard Methods and Applications in Mathematics" (2007) Lecture Notes in Logic 25, Association for Symbolic Logic. [https://web.archive.org/web/20090203104614/http://www.aslonline.org/books-lnl_25.html]
* "The Strength of Nonstandard Analysis" (2007) Springer.{{צ-ספר|שם=The Strength of Nonstandard Analysis|קישור=https://www.springer.com/us/book/9783211499047|שפה=en|מו"ל=Springer-Verlag|מקום הוצאה=Wien|שנת הוצאה=2007}}
</div>

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=אינפיניטסימל|ויקימילון 2=מרד}}
* {{בריטניקה}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{אנליזה מתמטית}}

[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי]]
[[קטגוריה:אנליזה לא סטנדרטית]]
[[קטגוריה:אינסוף]]