הצגת המקור של הדף "אי-שוויון ברנולי"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
[[קובץ:Bernoulli inequality.svg|שמאל|ממוזער|150 פיקסלים|המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור <math>n=3</math>]]
'''אי-שוויון ברנולי''' הוא ה[[אי-שוויון (מתמטיקה)|אי-שוויון]] <math>(1+x)^n\ge1+nx</math> לכל מספר שלם <math>n\ge0</math> ולכל [[מספר ממשי]] <math>x>-1</math>. יסודי ושימושי ב[[אנליזה מתמטית]]. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> עולה בזמן שהסדרה <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math> יורדת, וכך להגדיר את [[e (קבוע מתמטי)|בסיס הלוגריתם הטבעי]] <math>e=2.718\ldots</math>, כ[[גבול (מתמטיקה)|גבולן]] המשותף.

==תחולה==
האי-שוויון נכון לכל <math>n</math> ממשי, ובלבד ש-<math>n\ge1</math> (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת ה[[נגזרת|נגזרות]] של שני האגפים). כאשר <math>n</math> טבעי זוגי האי-שוויון נכון לכל <math>x</math>, וכאשר <math>n</math> אי-זוגי הוא נכון לכל <math>x>-2</math> (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

==הוכחה==
עבור <math>x>0</math> אפשר להוכיח על פי נוסחת [[הבינום של ניוטון]]:
:<math>(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}x^k\ge\binom{n}{0}1^nx^0+\binom{n}{1}1^{n-1}x^1=1+nx</math>
את המקרה הכללי (כלומר <math>x>-1</math>) ניתן להוכיח ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]]:

עבור <math>n=1</math> מתקיים: <math>(1+x)^1=1+x\ge1+x</math>.
נניח את נכונות האי-שוויון עבור <math>n=k</math>, ונוכיח את נכונותו עבור <math>n=k+1</math>. כלומר נניח כי <math>(1+x)^k\ge1+kx</math> ונוכיח כי <math>(1+x)^{k+1}\ge1+(k+1)x</math>. נשים לב כי <math>x>-1</math> ולכן <math>1+x>0</math>. מכיוון שכפל של אי-שוויון בגורם חיובי לא משנה את כיוונו, מתקיים: <math>(1+x)(1+x)^k\ge(1+x)(1+kx)</math>, ומכאן <math>(1+x)^{k+1}\ge1+kx+x+kx^2</math>. הביטוי <math>kx^2</math> חיובי ולכן מתקיים: <math>(1+x)^{k+1}\ge1+kx+x+kx^2\ge1+kx+x=1+(k+1)x</math>.

==הכללה==
לכל חזקה [[מספר ממשי|ממשית]] <math>r</math> ניתן להכליל את האי-שוויון כך שלכל <math>r\notin(0,1)</math> ולכל <math>x>-1</math>
:<math>(1+x)^r\ge1+rx</math>
ולכל <math>r\in[0,1]</math>
:<math>(1+x)^r\le1+rx</math>
כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת ה[[נגזרת]].

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
*{{MathWorld}}

[[קטגוריה:אי-שוויונות|ברנולי]]