הצגת המקור של הדף "אי-שוויון המשולש"

[[קובץ:Triangle inequality.svg|שמאל|250px]]
ב[[מתמטיקה]], '''אי-שוויון המשולש''' הוא [[אי-שוויון (מתמטיקה)|אי-שוויון]] מהצורה <math>\ d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)</math>, כאשר <math>\ d(\cdot,\cdot)</math> היא פונקציית מרחק. אי-השוויון מתאר את העובדה הגאומטרית שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות; בפרט, אורכה של [[צלע (גאומטריה)|צלע]] ב[[משולש]] אינו עולה על סכום אורכי הצלעות האחרות. אי-שוויון המשולש נחשב לתכונה יסודית של כל [[מטריקה|שיטה למדידת מרחק]], ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל [[מרחב מטרי]] או [[מרחב נורמי|נורמי]]. הגרסה החזקה <math>\ d(A,C)\leq \max\{d(A,B),d(B,C)\}</math> נקראת '''אי-שוויון המשולש למטריקות לא ארכימדיות'''.

== אי-שוויון המשולש בין מספרים ממשיים ==
ניתן לראות את אי-שוויון המשולש ב[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]] כמקרה פרטי של אי-השוויון על [[הישר הממשי]]. כיוון שהמרחק בין שתי נקודות על הישר נמדד באמצעות ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]], אי-השוויון במקרה זה שקול ל-<math>\ |a-c|\leq |a-b|+|b-c|</math>, לכל <math>\ a,b,c \in R</math>. 

כשבוחרים c=0, b=y ו-a=x+y, מתקבלת הצורה החלופית <math>\ |x+y|\leq |x|+|y|</math>. צורה זו אפשר להוכיח בעזרת חיבור שני האי-שוויונים <math>\ -|x|\leq x \leq |x|</math> ו-<math>\ -|y|\leq y \leq |y|</math>, או בדיקה של האפשרויות השונות לסימנים של x ושל y.

גרסה נוספת של אי-שוויון המשולש היא: <math> \bigg||x|-|y|\bigg| \leq |x-y|</math>.

=== הוכחה פורמלית ===
לצורך הוכחת אי השוויון נשתמש בתכונות <math>\ |a|=|-a|</math> ו-<math>\ a\leq|a|</math>. אם <math>\ x+y \geq 0</math> אז <math>\ |x+y| =x+y\leq |x|+|y|</math>. אחרת, <math>\ x+y<0</math> ומכאן <math>\ |x+y| =-x-y\leq |-x|+|-y|=|x|+|y|</math> ולכן <math>\ |x+y|\leq |x|+|y|</math>. 

דרך נוספת היא להשתמש בשוויון <math>\ |a| = \max\{a,-a\}</math>, ואז <math>\ |x+y| = \max\{x+y,-x-y\} \leq \max\{|x|+|y|,|-x|+|-y|\} = \max\{|x|+|y|,|x|+|y|\} = |y|+|x|</math>.

=== המקרה המרוכב ===
אי-שוויון המשולש ב{{ה|מישור המרוכב}} הוא הטענה <math>\ |x+y|\leq |x|+|y|</math>, המתייחסת ל[[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]]. ניתן להוכיח את נכונותו שם בכמה דרכים: גאומטרית, הוא שקול לתכונות היסוד של משולש; [[אלגברה|אלגברית]], אפשר לקבל אותו על ידי העברת אגפים מתאימה והעלאה בריבוע; וניתן להסיק אותו מאי-השוויון הממשי באמצעות [[משפט פיתגורס]].

== אי-שוויון המשולש במרחבים מופשטים ==
אי-שוויון המשולש מבטא את העובדה שלא ניתן לקצר את הדרך מ-A ל-C על ידי מעבר בנקודה B. זוהי תכונה יסודית כל-כך של מושג ה"מרחק", עד שהיא מהווה אחת מהאקסיומות המגדירות [[מטריקה]] ו[[מרחב מטרי]]. מאותה סיבה, מניחים את האקסיומה <math>\ \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|</math> בהגדרה של [[נורמה (אנליזה מתמטית)|נורמה]] ו[[מרחב נורמי]]. 

==ראו גם==
*[[אי-שוויון המשולש האינטגרלי]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
{{בקרת זהויות}}
[[קטגוריה:משפטים באנליזה]]
[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]
[[קטגוריה:אי-שוויונות]]
[[קטגוריה:משולש]]