הצגת המקור של הדף "אי-שוויון המשולש האינטגרלי"

ב[[מתמטיקה]], ובמיוחד ב[[אנליזה פונקציונלית]], '''אי שוויון המשולש האינטגרלי''' הוא גרסה של [[אי שוויון המשולש]] עבור ה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] האינטגרלית.

== המשפט ==
'''משפט:''' אם <math>f\,</math> היא [[פונקציה אינטגרבילית]] בקטע <math>[a,b]\,</math> אזי מתקיים <math>\left| \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x \right| \le \int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x</math>.

'''הערה:''' ניתן להוכיח כי אם <math>\, f </math> אינטגרבילית בקטע <math>\, [a,b] </math>,  אז גם <math>\, |f| </math> אינטגרבילית שם.

== הוכחה ==
מהגדרת [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]], לכל <math>x \in [a,b]</math> מתקיים  <math>-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|</math>,

ומתכונת [[b:הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/מונוטוניות האינטגרל המסוים|המונוטוניות של האינטגרל]] נסיק ש- <math>\int_a^b -|f(x)| \,\mathrm{d}x \le 
\int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x \le
\int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x</math>.

מליניאריות האינטגרל נקבל ש- <math>-\int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x \le \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x \le \int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x</math>. {{ש}}בסה"כ קיבלנו כי <math>\left| \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x \right| \le \int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x</math>.

[[קטגוריה:אינטגרלים]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה פונקציונלית]]
[[קטגוריה:אי-שוויונות|משולש אינטגרלי]]