הצגת המקור של הדף "אי-שוויון מרקוב"

[[קובץ:Markov Inequality.svg|ממוזער|אי-שוויון מרקוב מספק חסם עליון להסתברות ש-X נמצא בתחום המסומן באדום]]

ב[[תורת ההסתברות]] '''אי-שוויון מרקוב''' חוסם את ה[[הסתברות]] לכך ש[[משתנה מקרי]] אי שלילי יהיה גדול מ[[קבוע מתמטי|קבוע]] נתון. אי שוויון מרקוב (בדומה ל[[אי-שוויון צ'בישב]] ו[[אי-שוויון קולמוגורוב]]) הוא אחד מאי-השוויונים הבסיסיים המשתמשים במושג ה[[תוחלת]] בשביל לאמוד (אם כי לעיתים רבות באופן גס) את [[פונקציית צפיפות|פונקציית הצפיפות]] של משתנה מקרי. לדוגמה, מאי-השוויון נובע שלא ייתכן כי רף הכניסה ל[[העשירון העליון|עשירון העליון]] של ההכנסות יהיה פי 12 מהמשכורת הממוצעת. למרות פשטותו, אי-השוויון מאפשר להוכיח תוצאות לא טריוויאליות, כגון [[החוק החלש של המספרים הגדולים]].

אי-שוויון מרקוב קרוי על שם המתמטיקאי הרוסי [[אנדריי מרקוב]], אם כי קיים תיעוד שלו בעבודותיו המוקדמות של [[פפנוטי צ'בישב]] שהיה מורו של מרקוב. אי-שוויון מרקוב מכונה גם אי שוויון צ'בישב ואי שוויון ביניימה בספרות מקצועית רבה (בפרט ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]]), אך אין לבלבל בינו לבין [[אי-שוויון צ'בישב]] המפורסם.

==נוסח פורמלי==

במושגים של [[תורת המידה]], אי-שוויון מרקוב גורס כי בהינתן [[מרחב מידה]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> ו[[פונקציה מדידה]] <math>f</math> אל [[הישר הממשי המורחב]], אז לכל <math>t>0</math> מתקיים:
{{סימון מתמטי}}<math display="block"> \mu(\{x\in X:|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X |f|\,d\mu.</math>
במקרה הפרטי של [[מרחב הסתברות]] (כלומר, המרחב בעל מידה 1), אי-השוויון שקול לטענה שעבור כל <math>a>0</math> מתקיים
<math display="block">\Pr(|X| \geq a) \leq \frac{E(|X|)}{a}</math>
==הוכחה==
מספיק להוכיח עבור פונקציה מדידה חיובית.
f פונקציה מדידה, לכן הקבוצה <math> \{x\in X:f(x)\geq t\} </math> מדידה. מתקיים:

<math display="block"> t * 1_{\{x\in X:f(x)\geq t\}} \leq f</math>
נוציא [[אינטגרל לבג]] על הקבוצה X משני צידי אי השוויון:
<math display="block"> \int_X t * 1_{\{x\in X:f(x)\geq t\}}d\mu \leq \int_X f d\mu</math>
לפי הגדרת אינטגרל לבג על [[פונקציה מציינת]] של קבוצה מדידה, מתקיים:
<math display="block"> t * \mu(\{x\in X:f(x)\geq t\}) \leq \int_X f d\mu</math>
נחלק ב-t ונקבל:
<math display="block"> \mu(\{x\in X:f(x)\geq t\}) \leq {1\over t} \int_X f d\mu</math>
כנדרש.

==הוכחה למשתנים מקריים==
יהי <math>X</math> משתנה מקרי חיובי [[משתנה מקרי רציף|רציף]] (ההוכחה למקרה הבדיד דומה). אזי:
<div style="text-align: left;">
<math>E[X] = \int_{0}^{\infty}x f_{X}(x)dx \geq \int_{a}^{\infty}xf_{X}(x)dx \geq \int_{a}^{\infty}af_{X}(x)dx = aP(|X|\ge a)
</math>
</div>

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אי-שוויונות בתורת ההסתברות|מרקוב]]