הצגת המקור של הדף "אי-שוויון קושי-שוורץ"

{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''אי־שוויון קושי-שוורץ''' הוא [[אי-שוויון (מתמטיקה)|אי־שוויון]] הקושר את המכפלה הפנימית וה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] ב[[מרחב מכפלה פנימית|מרחבי מכפלה פנימית]]. מכיוון ש[[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] רבים מצוידים במכפלה פנימית טבעית, יש לאי־שוויון קושי-שוורץ שימושים בתחומים שונים של המתמטיקה, ובפרט ב[[אנליזה פונקציונלית]].

==היסטוריה==
הגרסה הראשונה של האי־שוויון, אותה גילה [[אוגוסטין קושי]] ב־[[1821]], קובעת כי
:<math display=block>a_1b_1+\cdots+a_nb_n\le\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}</math>
כאשר <math>a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n</math> הם [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]]. לאי־שוויון יסודי זה ידועות היום עשרות רבות של הוכחות. קושי הוכיח גם ששויון מתקיים רק כאשר הווקטורים
<math>(a_1,\ldots,a_n),(b_1,\ldots,b_n)</math> פרופורציוניים זה לזה (תלויים ליניארית).

ב־[[1859]] הציג {{אנ|Viktor Bunyakovsky|ויקטור יקובלביץ' בוניקובסקי}} ([[1804]]–[[1889]]) את הגרסה האינטגרלית של האי־שוויון:
:<math display=block>\int\limits_a^b f(x)g(x)dx\le\sqrt{\int\limits_a^b f(x)^2dx}\sqrt{\int\limits_a^b g(x)^2dx}</math>
בוניקובסקי לא ראה צורך בהוכחה נפרדת של האי־שוויון החדש, והסתפק בציטוט האי־שוויון של קושי.

ב־[[1885]] הזדקק [[הרמן שוורץ]], שישב אז ב[[אוניברסיטת גטינגן]], לאי־שוויון <math>\iint f\cdot g\le\sqrt{\iint f^2}\sqrt{\iint g^2}</math>, המשווה בין [[אינטגרל כפול|אינטגרלים כפולים]]. מאוחר יותר הובנו שלושה אי־שוויונות אלה כמקרים פרטיים של הגרסה הכללית יותר, התקפה בכל [[מרחב מכפלה פנימית]] (ראו להלן).

שוורץ לא הכיר את ניסוחו של בוניקובסקי, וההוכחה שהציג לאי־שוויון שלו מתאימה לכל מרחב מכפלה פנימית (הוכחה זו, הנעזרת בתכונות פשוטות של [[פולינום]] ריבועי, מובאת בהמשך). משום כך נקרא האי־שוויון הכללי '''אי־שוויון קושי-שוורץ'''.

==האי־שוויון במרחבי מכפלה פנימית, ושימושים==
בצורתו המודרנית, אי־שוויון קושי-שוורץ קובע שאם <math>V</math> הוא [[מרחב מכפלה פנימית]] (מעל ה[[שדה המספרים הממשיים|ממשיים]] או ה[[שדה המספרים המרוכבים|מרוכבים]]), אז לכל <math>x,y\in V</math> מתקיים
:<math>\ |\langle x,y\rangle|\le\|x\|\cdot\|y\|</math>
כאשר <math>\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math> [[נורמה (אנליזה)#נורמה במרחבי מכפלה פנימית|הנורמה המושרית]] על <math>V</math> מן המכפלה הפנימית. שוויון ממש מתקיים אם ורק אם <math>x,y</math> תלויים ליניארית.

אחת התוצאות החשובות של אי־שוויון זה היא שהוא מאפשר להגדיר [[זווית]] <math>\theta</math> בין שני וקטורים <math>x,y</math> במרחב מכפלה פנימית לפי המשוואה <math>\cos(\theta)=\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\|y\|}</math>, שהרי שבר זה מהווה [[מקדם מתאם]] בין <math>x</math> ל־<math>y</math> ולכן ערכו נע בין 1- ל־1. במקרה של [[מכפלה סקלרית|המכפלה הפנימית הסטנדרטית]] במישור האוקלידי <math>\R^2</math> או במרחב התלת־ממדי, הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה המקובלת של זווית.

בין המקרים הפרטיים של האי־שוויון, ניתן למצוא את הטענות
:<math display=block>\begin{matrix}\displaystyle\left(\sum_{k\,=\,1}^nx_k y_k\right)^2\le\sum_{k\,=\,1}^nx_k^2\cdot\sum_{k\,=\,1}^ny_k^2\\\displaystyle\left|\int f(x)\overline{g(x)}dx\right|^2\le\int|f(x)|^2dx\cdot\int|g(x)|^2dx\end{matrix}</math>
המתקבלות מן המקרים <math>V=\R^n,V=L^2(X)</math> (המרחב [[מרחב_הילברט#המרחב L2|L2]]) עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית בכל מקרה.

==הוכחת האי־שוויון==
אם אחד הווקטורים שווה ל־0, האי־שוויון מתקיים באופן [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]] כי שני האגפים שווים לאפס. לכן נניח כי <math>x,y\ne0</math>.

כעת יהי <math>\lambda\in\R</math>. ההוכחה מתאימה גם למקרה שבו מרחב המכפלה הפנימית <math>V</math> הוא מרחב וקטורי ממשי, וגם למקרה שבו הוא מרוכב.

נפתח את הביטוי <math>\|x+\lambda\langle x,y\rangle y\|^2</math>. פיתוח ביטוי זה יתן לנו [[משוואה ממעלה שנייה|משוואה ריבועית]] ב־<math>\lambda</math>, ומכיוון שאנו יודעים שערך הביטוי אי־שלילי, נוכל להסיק מכך שה[[דיסקרימיננטה]] של המשוואה הריבועית אי־חיובית. מהאי־שוויון המתקבל נקבל את אי־שוויון קושי-שוורץ.
:<math display=block>\begin{align}0&\le\Big\|x+\lambda\langle x,y\rangle y\Big\|^2\\&=\Big\langle x+\lambda\langle x,y\rangle y,x+\lambda\langle x,y\rangle y\Big\rangle\\&=\langle x,x\rangle+\overline{\lambda\langle x,y\rangle}\langle x,y\rangle+\lambda\langle x,y\rangle\langle y,x\rangle+\lambda^2|\langle x,y\rangle|^2\langle y,y\rangle\\&=\|x\|^2+\lambda\overline{\langle x,y\rangle}\langle x,y\rangle+\lambda\langle x,y\rangle\overline{\langle x,y\rangle}+\lambda^2|\langle x,y\rangle|^2\|y\|^2\\&=\lambda^2|\langle x,y\rangle|^2\|y\|^2+2|\langle x,y\rangle|^2\lambda+\|x\|^2\end{align}</math>
ה[[פרבולה]] המיוצגת על ידי המשוואה נוגעת בציר X לכל היותר אך אינה עוברת מתחתיו, ולכן יש למשוואה פתרון אחד לכל היותר. על כן נקבל מחישוב הדיסקרימיננטה:
:<math>4|\langle x,y\rangle|^4-4|\langle x,y\rangle|^2\|x\|^2\|y\|^2\le0</math>.
אם <math>\langle x,y\rangle=0</math> האי־שוויון מתקיים באופן טריוויאלי (כי אגף ימין בו תמיד חיובי או אפס). לכן נניח כי <math>\langle x,y\rangle\ne0</math>, ולאחר העברת אגפים וחלוקה ב־<math>4|\langle x,y\rangle|^2</math> נקבל:
:<math display=block>|\langle x,y\rangle|^2\le\|x\|^2\|y\|^2</math>
[[הוצאת שורש ריבועי]] משני האגפים נותנת לנו את אי־שוויון קושי-שוורץ.

==הוכחה נוספת==
יהיו <math>\ x,y\isin V</math> שני וקטורים במרחב מכפלה פנימית, ונוכיח את אי-השוויון. אם <math>\ x=0</math> או <math>\ y=0</math>, ברור כי מתקיים שוויון. נניח מעתה <math>\ x\ne0</math> וכן <math>\ y\ne0</math>. נגדיר את הווקטור <math>\ u</math> באופן הבא:
<math>u= x - \frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2}</math>. נשים לב כי <math>\ u</math> ניצב ל-<math>\ y</math>: שני וקטורים הם ניצבים [[אם ורק אם]] המכפלה הפנימית ביניהם היא אפס. במקרה זה:
<center>
<math>
\left\langle u,y \right\rangle =
\left\langle x - \frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2},y
\right\rangle
=
\left\langle x, y\right\rangle -
\frac{\langle x,y\rangle\cdot \langle y,y\rangle }
{\|y\|^2}
=
</math>

<math>
=
\left\langle x, y\right\rangle -
\frac{\langle x,y\rangle\cdot \|y\|^2}{\|y\|^2}
=
\left\langle x, y\right\rangle -\langle x,y\rangle = 0
</math>
</center>
מכאן, נחשב את
<math> \|u\|^2 = \left\langle u,u \right\rangle </math>:
<center>
<math>
\left\langle u,u \right\rangle =
\left\langle u,x - \frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2}
\right\rangle =
\left\langle u,x \right\rangle -
\left\langle u,\frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2}
\right\rangle =
</math>

<math>
\quad
=\left\langle u,x \right\rangle -
\frac{\overline{\langle x,y\rangle}\cdot\left\langle u,y\right\rangle}{\|y\|^2}
=
\left\langle u,x \right\rangle
</math>

</center>
ומכאן:
<center>
<math>
\left\langle u,u \right\rangle =
\left\langle u,x \right\rangle =

\left\langle x - \frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2},x
\right\rangle =
\left\langle x,x \right\rangle -
\left\langle \frac{\langle x,y\rangle\cdot y }{\|y\|^2},x
\right\rangle =
</math>

<math>
=\left\langle x,x \right\rangle -
\frac{\langle x,y\rangle\cdot\left\langle y,x\right\rangle}{\|y\|^2}
=
\left\| x \right\|^2 -
\frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\|y\|^2}
</math>
</center>
כלומר, הראינו כי
<math>0\le\|u\|^2\ = \|x\|^2 - \frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\|y\|^2}</math>

ומכאן:
:
<math>|\langle x,y\rangle|^2\le \|x\|^2\|y\|^2</math>
או
<math>|\langle x,y\rangle|\le \|x\|\|y\|</math>.

(הוכחה זו תקפה רק עבור מרחבי מכפלה פנימיים מעל <math>\ \mathbb{R}</math>)

== אי שוויון המשולש==

[[אי שוויון המשולש]] ב[[מרחב נורמי|מרחבים נורמיים]] בהם ה[[נורמה מושרית]] ממרחב מכפלה פנימית, נובע מאי שוויון קושי-שוורץ:

<div align = left>
<math>
| \langle x,y\rangle | \le \|x\|\|y\|
</math>

<math>
2 | \langle x,y\rangle | \le 2\|x\|\|y\|
</math>

<math>
\|x\|^2 + 2 | \langle x,y\rangle | + \|y\|^2 \le \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 = (\| x\| +\| y\|)^2
</math>
</div>

לפי הגדרת הנורמה במרחבי מכפלה פנימית:
<div align = left>
<math>\ {\|x + y\|}^2 = \langle {x+y},{x+y}\rangle</math>
</div>

נפתח את הביטוי על ידי שימוש בתכונות המכפלה הפנימית ונקבל:
<div align = left>
<math>\langle {x+y},{x+y}\rangle = \langle x,x\rangle + \langle x,y\rangle + \langle y,x\rangle +\langle y,y \rangle = \| x\| ^2 + \langle x,y\rangle +\overline {\langle x,y\rangle} + \|y\| ^2 </math>

<math> \quad = \| x\| ^2 + 2 Re \langle x,y\rangle + \|y\| ^2 \le \| x\| ^2 + 2 | \langle x,y\rangle | + \|y\| ^2</math>

<math>\ {\|x + y\|}^2 \le \|x\|^2 + 2 | \langle x,y\rangle | + \|y\|^2 \le {(\|x\|+\|y\|)}^2
</math>
</div>

בשני האגפים מופיע מספר אי-שלילי שהועלה בריבוע, ולכן ניתן להוציא שורש:

<div align = left>
<math>\ \|x + y\| \le \|x\|+\|y\| </math>
</div>

== ראו גם ==

* [[אי-שוויון הולדר]]
* [[אי-שוויון מינקובסקי]]
* [[אי-שוויון המשולש]]

{{אנליזה מתמטית}}

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}


[[קטגוריה:משפטים באנליזה]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה פונקציונלית]]
[[קטגוריה:אי-שוויונות|קושי שוורץ]]
[[קטגוריה:הוכחות]]
[[קטגוריה:אוגוסטן לואי קושי]]