הצגת המקור של הדף "אלגברה"

{{פירוש נוסף|נוכחי=תחום אלגברה}}
[[קובץ:Quadratic formula.svg|ממוזער|240px|שמאל|[[נוסחת השורשים]] מביעה את הפתרון של הנוסחה ממעלה שנייה <math>ax^2+bx+c=0</math> כש-a שונה מאפס.]]
'''אלגברה''' (מהמילה ה[[ערבית]]: '''الجـَبـْر''' ('''אַל-גַ'בְּר''') שפירושה: "חיבור של חלקים שבורים"{{הערה|{{קישור כללי|כתובת=https://en.oxforddictionaries.com/definition/algebra|כותרת=algebra {{!}} Definition of algebra in English by Oxford Dictionaries|אתר=[[המילון האנגלי של אוקספורד]] {{!}} אנגלית|תאריך_וידוא=2017-10-24}}}}) היא תחום ב[[מתמטיקה]] העוסק ב[[אופרטור|פעולות]], [[פונקציה|פונקציות]] ו[[יחס (תורת הקבוצות)|יחס]]ים עם דגש על ה[[מבנה (מתמטיקה)|מבנים]] שהם יוצרים.

אלגברה מתחלקת לכמה תחומים:
* [[אלגברה בסיסית]], שבמסגרתה מיוצגים [[מספר]]ים באמצעות סמלים, כך שמתאפשר [[פתרון בעיות]] המיוצגות באמצעות [[משוואה|משוואות]] העוסקות בקשרים בין עצמים. אלגברה בסיסית נחשבת להכרחית לכלל לימודי ה[[מתמטיקה]], [[מדע]]ים, [[הנדסה]], [[כלכלה]] ואף [[רפואה]].
* [[אלגברה מופשטת]], שבמסגרתה מוגדרים ונחקרים [[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] כגון [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]], [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]] ו[[חוג (אלגברה)|חוגים]]. התכונות של [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] נחקרות במסגרת ה[[אלגברה ליניארית|אלגברה הליניארית]]. התכונות של [[אלגברה בוליאנית (מבנה אלגברי)|אלגברות בוליאניות]] נחקרות במסגרת ה[[אלגברה בוליאנית|אלגברה הבוליאנית]].
* [[אלגברה אוניברסלית]], שבמסגרתה נחקרות התכונות המשותפות לכל המבנים האלגבריים.
* [[אלגברה חישובית]]{{אנ|Computer algebra}}, העוסקת ב[[אלגוריתם|אלגוריתמים]] לפתרון בעיות אלגבריות.
* בנוסף כלים מאלגברה (מופשטת בעיקר) משמשים רבות גם בתחומים אחרים. שילובים אלו יצרו תחומי ביניים כגון [[תורת המספרים האלגברית]], [[טופולוגיה אלגברית]] ו[[גאומטריה אלגברית]].

==ביטוי ערכים אלגבריים==

[[קובץ:Francois Viete.jpg|ממוזער|160px|שמאל|[[פרנסואה וייט]] היה הראשון שהשתמש באלגברה שמשתמשת אך ורק בסמלים.]]

אלגברה לא תמיד השתמשה בסמלים לביטוי ערכים, שכיום השימוש בהם מקובל במתמטיקה. לאלגברה היו שלושה שלבים ברורים של ביטוי ערכים:
* '''אלגברה מילולית''', שבה המשוואות כתובות באמצעות משפטים שלמים. לדוגמה, הביטוי המילולי של <math>x+1=2</math> יהיה "העצם ועוד אחד שווה שתיים" או אולי "העצם ועוד 1 שווה 2". אלגברה מילולית פותחה לראשונה על ידי הבבלים העתיקים ונשארה חשובה ושולטת עד למאה ה-16.
* '''אלגברה סינקופית''', שבה יש שימוש חלקי בסמלים, אך שאין בה את כל המאפיינים של האלגברה הסמלית. לדוגמה, יכולה להיות מגבלה האוסרת [[חיסור]] יותר מפעם אחת באגף של משוואה, מגבלה שלא קיימת באלגברה הסמלית. ביטויים סינקופיים הופיעו לראשונה ב"[[אריתמטיקה (ספר)|אריתמטיקה]]" של [[דיופנטוס]] שנכתב במאה השלישית לספירה, והמנהג הומשך על ידי [[בראהמגופטה]] במאה השביעית בספרו [[בראהמספהוטסידהאנטה]].
* '''אלגברה סמלית''', שבה יש שימוש מלא בסמלים. הצעדים הראשונים לשימוש מלא בסמלים נעשו על ידי [[מתמטיקה באסלאם בימי הביניים|מתמטיקאים אסלאמיים בימי הביניים]] כגון [[אבן אל-בנאא אל-מרכושי]] ו[[אבו אל-חסן אבן עלי אל-קצאדי]], אף על פי שאלגברה לגמרי סמלית פותחה לראשונה על ידי [[פרנסואה וייט]] במאה ה-16. מאוחר יותר, במאה ה-17 [[רנה דקארט]] הנהיג לראשונה את הסמלים האלגבריים המודרניים (לדוגמה - השימוש ב-<math>x</math>) והראה שאת הבעיות המתרחשות בגאומטריה אפשר לבטא גם באלגברה.

==היסטוריה==
===היסטוריה מוקדמת של האלגברה===

[[קובץ:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|ממוזער|ימין|ה[[פפירוס רינד]] פתר בעיות באמצעות שיטות גאומטריות, צורה אופיינית לתקופה.]]
[[קובץ:Diophantus-cover.jpg|שמאל|ממוזער|140px|[[עמוד שער|שער]] התרגום הלטיני של קלוד באשה ל"[[אריתמטיקה]]".]]

ניתן למצוא ראיות ראשוניות לעיסוק באלגברה אצל הבבלים העתיקים, שפיתחו שיטה אריתמטית מתקדמת שבה יכלו לחשב בדרך דמוי [[אלגוריתם|אלגוריתמית]]. הבבלים פיתחו נוסחאות לחישוב פתרונות של שאלות שהיום לפתרונם משתמשים במשוואות ליניאריות, משוואות ממעלה שנייה, ומשוואות ליניאריות [[לא מוגדר]]ות. בניגוד לכך רוב המתמטיקאים המצרים, הסינים והיוונים של [[האלף הראשון לפני הספירה]] פתרו בעיות כאלה בעזרת שיטות גאומטריות, כדוגמת אלה המתוארות ב[[פפירוס רינד]], ב[[יסודות (ספר)|יסודות של אוקלידס]], וב[[תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה]]. הכתבים הגאומטריים של היוונים, המוצגים ביסודות, היו לקווי יסוד ל[[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של נוסחאות שפתרו [[מקרה פרטי|מקרים פרטיים]] לשיטות יותר כלליות לביטוי של ופתירת משוואות, אף על פי שהמצוין לעיל לא מומש עד [[מתמטיקה באסלאם בימי הביניים|שהמתמטיקה התפתחה באסלאם היְמֵי-בֵּינַיְמִי]].

[[קובץ:Image-Al-Kitāb_al-muḫtaṣar_fī_ḥisāb_al-ğabr_wa-l-muqābala.jpg|145px|ימין|ממוזער|"[[הספר התמציתי לחישוב על ידי השלמה ואיזון]]" נחשב לאבן דרך בהתפתחות האלגברה ואשר הקנה לה את שמה.]]

עד שהגיעה תקופת [[אפלטון]], המתמטיקה היוונית השתנתה מאוד. היוונים פיתחו סוג של אלגברה גאומטרית שבה ערכים הוצגו על ידי צדדים של עצמים גאומטריים (לרוב קווים), עם אותיות המשויכות להם. [[דיופנטוס]] היה מתמטיקאי יווני [[אלכסנדריה|אלכסנדרי]] מהמאה השלישית לספירה, שכתב [[סדרת ספרים]] בשם [[אריתמטיקה (ספר)|אריתמטיקה]], שעסקו בפתרון של משוואות אלגבריות, שהובילו ב[[תורת המספרים]] למושג ה[[משוואה דיופנטית|משוואה הדיופנטית]].

המסורות המוקדמות המוזכרות לעיל השפיעו מאוד על המתמטיקאי הפרסי [[מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי]] (780 בערך - 845 בערך). הוא זה שכתב את הספר [[הספר התמציתי לחישוב על ידי השלמה ואיזון|"אל-כתאב אלמח'תצר פי חיסאב אל-ג'בר ואל-מוקאבלה" ("הספר התמציתי לחישוב על ידי השלמה ואיזון")]], שביסס את האלגברה כתחום מחקר מתמטי שנפרד מה[[אריתמטיקה]] ומה[[גאומטריה]].

[[קובץ:Hindu astronomer, 19th-century illustration.jpg|שמאל|ממוזער|145px|[[בראהמגופטה]], שספרו [[בראהמספהוטסידהאנטה]] הוא אחד מספרי המתמטיקה הראשונים בהם מופיעים הרעיונות של מספרים חיוביים, שליליים ואפס.]]

המתמטיקאים ה[[התקופה ההלניסטית|הלניסטים]] דיופנטוס ו[[הרון מאלכסנדריה]] וגם מתמטיקאים הודים כגון [[בראהמגופטה]] המשיכו את המסורות של [[מצרים העתיקה]] ושל בבל, אך ספריהם אריתמטיקה של דיופנטוס ו[[בראהמספהוטסידהאנטה]] של בראהמגופטה היו ברמה גבוהה יותר. לדוגמה, הפתרון האריתמטי המלא הראשון (זה שכולל פתרונות שהם אפס או שליליים) למשוואות ריבועיות תואר בספר של בראהמגופטה, בראהמספהוטסידהאנטה. בתקופה יותר מאוחרת, מתמטיקאים ערבים ופרסים פיתחו שיטות אלגבריות שהיו מתוחכמות ומורכבות בהרבה מהקודמים להם. למרות שדיופנטוס והבבלים השתמשו בעיקר בשיטות [[אד הוק]] מיוחדות לפתרון משוואות, התרומות של אל-ח'ואריזמי היו עצומות. הוא פתר משוואות ליניאריות וריבועיות ללא סמלים אלגבריים, [[מספר שלילי|מספרים שליליים]] או [[אפס (מספר)|אפס]], ולכן היה צריך להבדיל בין סוגים שונים של משוואות.

{{תמונות מרובות
| יישור = ימין
| כיוון = אופקי
| כותרת = אבות האלגברה: [[מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי|אל-ח'ואריזמי]] ו[[דיופנטוס]]
| יישור כותרת = ימין
| רקע כותרת =
| רוחב = 100

| תמונה1 = Διόφαντος - Diophantos - ДИОФАНТ.jpg
| רוחב1 =
| חלופי1 =
| הערה1 =

| תמונה2 = 1983 CPA 5426 (1).png
| רוחב2 =
| חלופי2 =
| הערה2 =
}}

בהקשר שבו האלגברה מזוהה עם תורת המשוואות, המתמטיקאי היווני דיופנטוס נחשב ל"אבי האלגברה", ובהקשר שבו אלגברה מזוהה כדרך וחוקים לפתירת משוואות ולשימוש בהן, אל-ח'ואריזמי נחשב ל"אבי האלגברה". בתקופתנו מתקיים דיון מי מבין השניים זכאי יותר לכינוי "אבי האלגברה" (באופן כללי). אלה שתומכים בדיופנטוס טוענים שהאלגברה שנמצאת באל ג'בר היא יותר בסיסית מהאלגברה באריתמטיקה, שבאריתמטיקה האלגברה סינקופית ובאל ג'בר האלגברה היא מילולית בלבד. אלה שתומכים באל-ח'ואריזמי טוענים שהוא זה שהמציא והנהיג את ה[[רדוקציה (מתמטיקה)|רדוקציה]], את העברת אגפים ואת המכנה המשותף, שאליהם המונח אל-ג'בר התייחס בהתחלה. אל-ח'אריזמי גם נתן הסבר מקיף לפתרון [[משוואה ריבועית|משוואות ריבועיות]], שנתמך על ידי הוכחות גאומטריות, וגם התייחס אל האלגברה כתחום מחקר משל עצמו. האלגברה שלו כבר לא טיפלה ברצף של בעיות שצריכות להיפתר אלא היא הייתה אקספוזיציה שמתחילה עם ביטוי ראשוני שבו הקומבינציות צריכות לתת את כל התשובות האפשריות שממנו, שמכאן והלאה זה הכתיב את המטרה האמיתית של תחום המחקר. אל-ח'ואריזמי גם בחן משוואות מטעם הבחינה שלהן ומבחינה כללית, כך שההגדרה היא לא של בעיה יחידה, אלא של מספר בעיות אינסופי.

למתמטיקאי פרסי נוסף בשם [[עומר ח'יאם]] מיוחס הזיהוי של הבסיס של [[גאומטריה אלגברית]], ומציאת פתרון גאומטרי כללי ל[[פונקציה ממעלה שלישית]]. הספר שלו "מאמר על הדגמה של בעיות של אלגברה", שנכתב ב-1070, הניח את היסודות של האלגברה, והיה חלק מרכזי של המתמטיקה הפרסית ומאוחר יותר הועבר גם לאירופה. מתמטיקאי פרסי נוסף, [[שרף אל-דין אל-טוסי]], מצא פתרונות [[חישוב נומרי|נומריים]] ואלגבריים למספר מקרים של משוואות ממעלה שלישית, וגם פיתח את מושג ה[[פונקציה]]. המתמטיקאים ההודים [[מאהבירה]] ו[[בהאסקארה]], המתמטיקאי הפרסי [[אל-כרג'י]] והמתמטיקאי הסיני [[ז'ו שיז'יה]] פתרו מגוון מקרים של משוואות ממעלה שלישית, [[משוואה ממעלה רביעית|רביעית]], [[משוואה ממעלה חמישית|חמישית]], ומשוואות [[פולינום|פולינומיות]] ממעלות יותר גבוהות בעזרת שיטות נומריות. מציאת הפתרון המלא למשוואה ממעלה שלישית במאה ה-13 על ידי [[פיבונאצ'י]] מייצגת את התחייה מחדש של המתמטיקה האירופאית. במאה ה-15 [[אבו חסן אבן עלי אל-קצאדי]] הערבי לקח את הצעדים הראשונים להנהגת סמלים אלגבריים. הוא גם חישב את סכום [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]] בחזקת שתיים ובחזקת שלוש (עד ל-n), ומצא דרך רציפה לאומדן שורשים ריבועיים. כשהמתמטיקה הערבית הידרדרה, המתמטיקה האירופאית פרחה, וכאן המתמטיקה התפתחה יתר על כן.

===היסטוריה מודרנית של האלגברה===

עבודתו של [[פרנסואה וייט]] על אלגברה חדשה בסוף [[המאה ה-16]] הייתה צעד חשוב לעבר האלגברה המודרנית. ב-1637 [[רנה דקארט]] הוציא את ספרו [[לה גאומטרי]], בו המציא את
ה[[גאומטריה אנליטית|גאומטריה האנליטית]] ואת הסמלים האלגבריים המודרניים. עוד אירוע חשוב להתפתחות הנוספת של האלגברה הוא פתרון אלגברי כללי ומלא למשוואות ממעלה שלישית ורביעית, שפותח באמצע המאה ה-16. מושג ה[[דטרמיננטה]] פותח על ידי המתמטיקאי היפני [[סקי טקאקאזו]] במאה ה-17, ונמשך על ידי [[גוטפריד וילהלם לייבניץ|גוטפריד לייבניץ]] באופן עצמאי עשר שנים מאוחר יותר, שעשה זאת כדי לפתור מערכות של משוואות ליניאריות סימולטניות בעזרת [[מטריצה|מטריצות]]. במאה ה-18, [[גבריאל קרמר]] גם עבד על מטריצות ודטרמיננטות. [[תמורה (מתמטיקה)|תרומות]] נחקרו על ידי [[ז'וזף לואי לגראנז']] במאמרו Réflexions sur la résolution algébrique des équations שנכתב ב-1770 שהוקדש לפתרון של משוואות אלגבריות, שחידש בתחום. בסוף [[המאה ה-18]], [[פאולו רופיני]] פיתח [[תאוריה]] ב[[תורת החבורות]] שבה עסק בהקשר של משוואות אלגבריות.

במאה ה-19 התפתחה לראשונה ה[[אלגברה מופשטת|אלגברה המופשטת]]. בתחילה האלגברה המופשטת התרכזה במה שמכונה כיום [[תורת גלואה]]. במאה ה-19 גם פותחה לראשונה המחשבה האקסיומטית באריתמטיקה ובאלגברה על ידי [[ג'ורג' פיקוק]]. [[אוגוסטוס דה מורגן]] גילה תחום נוסף באלגברה האבסטרקטית בעבודתו Syllabus of a Proposed System of Logic. [[ג'וסיה וילארד גיבס]] פיתח אלגברת ה[[וקטור (אלגברה)|וקטורים]] במרחב התלת-ממדי, ו[[ארתור קיילי]] פיתח אלגברה של מטריצות.

<gallery>
קובץ:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|רנה דקארט המציא את ה[[גאומטריה אנליטית|גאומטריה האנליטית]] ואת הסמלים האלגבריים המודרניים במאה ה-17
קובץ:Gerolamo Cardano (colour).jpg|המתמטיקאי האיטלקי [[ג'ירולמו קרדאנו]] פרסם פתרונות כללים למשוואות ממעלה שלישית ורביעית בספרו "[[האומנות הגדולה]]".
</gallery>

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקיספר=אלגברה|ימין}}
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007293933405171|אלגברה}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אלגברה|*]]
[[קטגוריה:מילים וביטויים בערבית]]