הצגת המקור של הדף "אלגברה (מבנה אלגברי)"

ב[[מתמטיקה]], '''אלגברה מעל חוג''' היא [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל [[חוג (אלגברה)|חוג]] [[חילופיות|חילופי]] [[פעולה בינארית|ופעולה בינארית]] ("כפל")  [[אופרטור ביליניארי|ביליניארית]] בין שני איברים שהופכת את המודול לחוג.

==הגדרה פורמלית==
אלגברה היא [[מבנה אלגברי]] הכולל [[חוג (אלגברה)|חוג]] <math>A</math> ותת-חוג <math>C</math>, כך ש-<math>C</math> מוכל ב[[מרכז (תורת החוגים)|מרכז]] של <math>A</math>. הגדרה שקולה: כאשר <math>C</math> חוג קומוטטיבי, חוג <math>A</math> המהווה מודול מעל <math>C</math>, ומקיים  <math>\alpha (xy)=(\alpha x)y=x(\alpha y)</math> לכל <math>x,y \in A</math>  וסקלר <math>\alpha \in C</math>, נקרא "אלגברה מעל <math>C</math>" (לעיתים גם "<math>C</math> - אלגברה").

הדוגמה החשובה ביותר היא כאשר <math>C</math> הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] (ואז המודולים מעל <math>C</math> הם מרחבים וקטוריים); [[מרחב וקטורי]] מעל שדה <math>C</math> הוא אלגברה, אם מוגדרת בו פעולת כפל ההופכת אותו לחוג (עם יחידה). במקרה כזה ה[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] של האלגברה הוא הממד שלה כמרחב וקטורי.

כפי שב[[אלגברה ליניארית]] נוח לחקור את המרחבים הווקטוריים מעל שדה קבוע ואת הקשרים ביניהם, כך האלגברה המודרנית עוסקת במידה רבה בחקר תכונות של האלגברות השונות מעל חוג בסיס קבוע, ואת הקשרים ביניהן.

==אסוציאטיביות==

בדומה להגדרה של חוג, האלגברה <math>A</math> היא '[[אסוציאטיביות|אסוציאטיבית]]' אם <math>x(yz)=(xy)z</math> לכל <math>x,y,z \in A</math>. לרוב כוללים את דרישת האסוציאטיביות בהגדרה של אלגברה, ואז מגדירים בנפרד מבנה כללי יותר, [[אלגברה לא אסוציאטיבית]], ללא האקסיומה הזו; כך אנו נוהגים בוויקיפדיה. מחברים אחרים אינם דורשים מאלגברה אסוציאטיביות, ואז משתמשים במונח 'אלגברה אסוציאטיבית' עבור אלגברות שכן מקיימות את תכונת האסוציאטיביות.

בלי קשר להנחת האסוציאטיביות, החוג  <math>A</math> הוא '''אלגברה <math>A</math> מעל <math>C</math>''' אם <math>\alpha(xy)=(\alpha x)y=x(\alpha y)</math> לכל <math>x,y \in A, \alpha \in C</math>.

==קבועי המבנה==

נניח ש-<math>A</math> נפרשת כמודול על ידי איברים <math>e_1,e_2,...</math>. אז כדי להגדיר את הכפל ב-<math>A</math>, מספיק להגדיר את המכפלה <math>e_i \star e_j = \sum_k \beta_{i,j}^k e_k</math> (כאשר <math>\beta_{i,j}^k \in C</math>). הקבועים <math> \beta_{i,j}^k\in C</math> נקראים '''קבועי המבנה''' של <math>A</math>. אם <math>A</math> הוא [[מודול חופשי]] (וזה תמיד כך אם <math>C</math> שדה), אז אפשר לתרגם תכונות מסוימות של האלגברה (למשל: אסוציאטיביות) למשוואות על קבועי המבנה; כך אפשר לראות את כל האלגברות האסוציאטיביות מממד <math>\ n</math> מעל שדה נתון כ[[יריעה אלגברית]] מעל השדה.

==דוגמאות==

* כל חוג הוא אלגברה מעל <math>\ \mathbb{Z} </math> או מנה סופית שלו.
* אם <math>K/F</math> [[הרחבת שדות|הרחבה של שדות]] (ראו [[תורת גלואה]]), אז <math>K</math> הוא אלגברה מעל <math>F</math>.
* אוסף [[מטריצה|המטריצות]] הריבועיות בגודל <math>n\times n</math> מעל שדה (או חוג) <math>C</math> מהוות אלגברה מעל <math>C</math>, כשהמכפלה היא [[כפל מטריצות|המכפלה הרגילה של מטריצות]].
* [[פולינום#חוג הפולינומים|חוג הפולינומים]] <math>C[x]</math> הוא אלגברה מעל <math>C</math>.
* [[גאומטריה אוקלידית|המרחב האוקלידי]] התלת-ממדי מהווה אלגברה מעל המספרים הממשיים כאשר [[מכפלה וקטורית|המכפלה הווקטורית]] היא המכפלה.

==קבוצת יוצרים ואלגברות אפיניות==

כל [[תת קבוצה]] <math>S \subset A</math> יוצרת את ה'''תת-אלגברה''' <math>C[S]</math>, שאבריה מתקבלים מאברי <math>S</math> על ידי חיבור, [[חיסור]], כפל, וכפל בסקלרים מ-<math>C</math> (זוהי תת-האלגברה הקטנה ביותר של <math>A</math> המכילה את <math>\ S</math>). אם קיימת [[קבוצה סופית]] <math>S</math> כך ש-<math>C[S] = A</math>, אז <math>A</math> '''נוצרת סופית''' או [[אלגברה אפינית|אפינית]].

==איברים אלגבריים ושלמים==

כאשר <math>A</math> אלגברה קומוטטיבית, אפשר לחקור את המבנה של האלגברה על ידי סיווג האיברים בהתאם לתכונות שלהם מעל <math>C</math>. כך איבר <math>a\in A</math> הוא 'אלגברי' אם הוא מקיים [[משוואה]] פולינומית עם מקדמים מ-<math>C</math>, ו'אלגברי שלם' (או סתם 'שלם') אם הוא מקיים משוואה כזו שהמקדם המוביל שלה הוא <math>\ 1</math>. איברים שאינם אלגבריים נקראים '''איברים טרנסצנדנטיים'''; הטרמינולוגיה הזו מכלילה את הדוגמה של המספרים המרוכבים כאלגברה מעל השלמים (ראו [[מספר טרנסצנדנטי]]). אם <math>R</math> אלגברה מעל <math>C</math> שכל איבריה שלמים, אומרים ש-<math>R/C</math> היא '''הרחבה שלמה'''.

משפט: אלגברה אפינית שהיא שדה מוכרחה להיות אלגברית (ואז היא בעלת ממד סופי). 

משפט הנורמליזציה של [[אמי נתר|נתר]] קובע שאם <math>A</math> אלגברה אפינית מעל שדה <math>C</math>, אז קיימת תת-אלגברה <math>R</math> של <math>A</math> שהיא שלמה מעל <math>C</math>, כך ש-<math>A</math> טרנסצנדנטית מעליה (כלומר: האיברים היחידים של <math>A</math> שהם אלגבריים מעל <math>R</math> הם אברי <math>R</math> עצמם). מזה נובע ש[[ממד קרול]] של <math>A</math> שווה ל[[דרגת טרנסצנדנטיות|דרגת הטרנסצנדנטיות]] שלה.

==תורת המבנה==

המרכז של חוג (אסוציאטיבי) פשוט (עם יחידה) הוא תמיד שדה, ואז אפשר לראות בו אלגברה מעל המרכז. אלגברות פשוטות שהמרכז שלהן הוא שדה קבוע <math>F</math> נקראות 'אלגברות פשוטות מרכזיות' מעל <math>F</math>. אם הממד סופי, האלגברה היא [[אלגברת מטריצות]] מעל [[חוג עם חילוק|אלגברת חילוק]]. אם <math>F</math> [[שדה סגור אלגברית|סגור אלגברית]], אז אין אלגברות חילוק מממד סופי שזה מרכזן, למעט <math>F</math> עצמו.

אם <math>A</math> אלגברה [[חוג ארטיני|ארטינית]], אז <math>J(A)</math> (ה[[רדיקל ג'ייקובסון|רדיקל של ג'ייקובסון]]) הוא [[אידיאל נילפוטנטי|נילפוטנטי]], ו[[חוג מנה|חוג המנה]] <math>A/J(A)</math> הוא אלגברה [[חוג פשוט למחצה|פשוטה למחצה]], שאפשר לכתוב כ[[סכום ישר]] של מספר סופי של אלגברות פשוטות. כל אחת מאלה היא אלגברת מטריצות מעל חוג עם חילוק. 

[[המשפט היסודי של ודרברן]] קובע שאם <math>A</math> אלגברה מממד סופי מעל [[שדה מושלם]] <math>F</math> (ובפרט, מעל [[שדה סגור אלגברית]]), אז יש ל-<math>A</math> תת-אלגברה <math>A'</math> איזומורפית ל-<math>A/J(A)</math>, וקיים פירוק לסכום ישר של מרחבים וקטוריים (אבל לא של חוגים), <math>A=A'\oplus J(A)</math>.

==ראו גם==
* [[אלגברה לא אסוציאטיבית]]

{{אלגברה מופשטת}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מבנים אלגבריים]]