הצגת המקור של הדף "אלגברה אפינית"

ב[[אלגברה מופשטת]], '''אלגברה אפינית''' היא [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]], הנוצרת סופית מעל חוג הבסיס שלה. בדרך כלל המונח מתייחס לאלגברות (נוצרות סופית) מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], אך כמה תכונות חשובות נשארות בתוקף גם כאשר חוג הבסיס הוא [[חוג קומוטטיבי]] [[חוג נתרי|נתרי]]. 

==הגדרה==

[[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] <math>R</math> מעל החוג <math>C</math> היא '''אלגברה אפינית''' אם קיימים <math>a_1, a_2,..., a_n \in R</math> כך ש-<math>R=C[a_1,a_2,...,a_n]</math>, כאשר <math>C[a_1,a_2,...,a_n]</math> הוא החוג של כל הפולינומים ביוצרים <math>a_1,a_2,...,a_n</math> עם מקדמים ב-<math>C</math>. על-פי הגדרה זו, אלגברה אפינית היא [[חוג מנה|אלגברת מנה]] של אלגברת פולינומים בכמה משתנים מעל חוג הבסיס.

==תכונות ומשפטים==

[[משפט הנורמליזציה של נתר]], אותו הוכיחה [[אמי נתר]], קובע שכל אלגברה אפינית <math>A</math> (מעל שדה) היא [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] סופי מעל חוג פולינומים במספר משתנים מעל שדה הבסיס; מספר המשתנים שווה למספר המקסימלי של איברים [[תלות אלגברית|בלתי תלויים אלגברית]] ב- <math>A</math>, הקרוי '''דרגת הטרנסצנדנטיות''' של <math>A</math>. כמודול סופי, <math>A</math> היא [[הרחבת חוגים שלמה|הרחבה שלמה]] של חוג הפולינומים, ולכן יש להם אותו [[ממד קרול]]. לפיכך, ממד קרול של אלגברה אפינית שווה לדרגת הטרנסצנדנטיות שלה.

'''משפט:''' אם <math>\mathbb L</math> הוא שדה אפיני מעל שדה <math>\mathbb F</math>, אז הוא [[אלגברה אלגברית|אלגברי]] מעל <math>\mathbb F</math>. 

'''למת ארטין-טייט''': אם <math>L</math> אלגברה אפינית מעל שדה <math>F</math>, ו-<math>F\subset{K}\subset{L}</math> כך ש-<math>K</math> שדה, ו-<math>[L:K]< \infty</math> אז <math>K</math> אפיני מעל <math>F</math>. ללמה זו גרסאות רבות אחרות. למשל, אם <math>R,S</math> הן <math>C</math>-אלגברות, כאשר <math>C</math> חוג נתרי קומוטטיבי; <math>R</math> הוא חוג המוכל במרכז של חוג <math>S</math> שהוא מודול סופי מעל <math>R</math>, ו-<math>S</math> אפינית מעל <math>C</math>, אז גם <math>R</math> אפיני מעל <math>C</math>.

אם <math>R</math> היא אלגברה אפינית מעל החוג <math>C</math> ו-<math>A</math> אידיאל ב-<math>R</math> אז <math>R/A</math> אפיני מעל <math>C/(C\cap{A})</math>.

== דוגמה ==
* תהי <math>T</math> אלגברה אפינית מעל החוג <math>C</math>, ו-<math>L</math> אידיאל שמאלי נוצר סופית של <math>T</math>, אז <math>R = \begin{pmatrix}
C+L & T \\
L & T \\
\end{pmatrix}</math> הוא אפיני מעל <math>C*1</math>, ו-<math>Z(R)\subseteq C+L</math>.

== מקורות ==
* Louis H.Rowen. Ring Theory, Volume 1, Academic Press, San Diego
* Louis H.Rowen. Graduate Algebra:Commutative view, Volume 73, American Mathematical Society,Providence.

{{אלגברה מופשטת}}

[[קטגוריה:אלגברה]]