הצגת המקור של הדף "אלגברה ליניארית"

{{סימון מתמטי}}
[[קובץ:Linear subspaces with shading.svg|ממוזער|250px|שמאל|שלושה [[מישור (גאומטריה)|מישורים]] ב[[מרחב (מתמטיקה)|מרחב]] שהחיתוך ביניהם הוא [[ישר]]. [[נקודה (גאומטריה)|הנקודות]] בכל מישור מבין השלושה הן ה[[פתרון משוואות|פתרונות]] של [[משוואה ליניארית]] בשלושה [[משתנה|נעלמים]], ונקודות הישר הכחול הן הפתרונות של שתי המשוואות יחדיו.]]

'''אלגברה לִינֵאָרִית''' היא ענף של ה[[אלגברה]] העוסק ב[[מערכת משוואות ליניאריות|מערכות של משוואות ליניאריות]] כמו <math>a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b</math> וב[[העתקה ליניארית|העתקות ליניאריות]] כמו <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\ldots +a_nx_n</math> והצגותיהן בעזרת [[מטריצה|מטריצות]] ו[[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] (בהתאמה).{{הערה|{{cite web|last=Weisstein|first=Eric|title=Linear Algebra|url=http://mathworld.wolfram.com/LinearAlgebra.html|work=From MathWorld--A Wolfram Web Resource.|publisher=Wolfram|accessdate=16 February 2018}}}}

אלגברה ליניארית היא תחום מרכזי ב[[מתמטיקה]] והשימוש בה נפוץ בתחומים רבים אחרים. למשל, אלגברה ליניארית חיונית להצגה מודרנית של [[גאומטריה]], שכן היא מספקת הגדרה של מונחי היסוד הגאומטריים: [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]], [[ישר]] ו[[מישור (גאומטריה)|מישור]], באמצעות מונחים אלגבריים. הגדרה זו מאפשרת גם להגדיר מרחבים אוקלידיים בעלי ממד גדול מ-3. נעשה שימוש נרחב באלגברה ליניארית במסגרת ה[[אלגברה מופשטת|אלגברה המופשטת]], ה[[אנליזה פונקציונלית|אנליזה הפונקציונלית]] וה[[גאומטריה אנליטית|גאומטריה האנליטית]]. כמו כן נעשה שימוש באלגברה ליניארית גם במסגרת [[מדעי הטבע]], [[מדעי המחשב]], [[הנדסה]] ו[[מדעי החברה]].

== היסטוריה ==
{{להשלים|נושא=מדעי הטבע}}
אחד מיסודות האלגברה הליניארית הונחו על ידי [[רנה דקארט]] שפיתח את [[מערכת צירים קרטזית|מערכת הצירים הקרטזית]] (הקרויה על שמו) ב-[[1637]] לתיאור ה[[מישור (גאומטריה)|מישור]] והשתמש בה במסגרת [[גאומטריה אנליטית|הגאומטריה האנליטית]] לתקוף בעיות של [[גאומטריה אוקלידית|הגאומטריה הקלאסית]]. על מנת לציין [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] במישור, השתמש בסימון של [[זוג סדור]] <math>(x,y)</math>.

עוד יסוד של האלגברה הליניארית הונח על ידי [[גוטפריד וילהלם לייבניץ]], שהשתמש במושג ה[[דטרמיננטה]] לפתרון [[מערכת משוואות ליניאריות|מערכות משוואות]] ב-[[1693]]. לאחר מכן, ב-[[1750]], פיתח [[גבריאל קרמר]] נוסחה לחישוב פתרון של מערכת משוואות, הנקרא כיום [[כלל קרמר]]. מאוחר יותר, השתמש המתמטיקאי [[קרל פרידריך גאוס]] ב[[דירוג מטריצות|שיטת החילוץ של גאוס]] (הנקראת גם שיטת הדירוג של גאוס) לפתרון מערכות משוואות.

האלגברה הליניארית המודרנית החלה את דרכה בשנים [[1843]] ו-[[1844]]. ב-1843 גילה [[ויליאם רואן המילטון]] (ש[[תחדיש|טבע]] את המונח [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] בהקשרו האלגברי) את [[אלגברת הקווטרניונים]]. ב-1844 פרסם [[הרמן גראסמן]] את ספרו "על אלגברה ליניארית".
ב-[[1857]] הגדיר [[ארתור קיילי]] את ה[[מטריצה]], אחת מאבני היסוד של האלגברה הליניארית. למרות התקדימים האלו, מרבית האלגברה הליניארית המודרנית פותחה ב[[המאה ה-20|מאה ה-20]].

== מושגי יסוד ==
=== שדה ===
{{הפניה לערך מורחב|ערך=[[שדה (מבנה אלגברי)]]}}
כל דיון באלגברה ליניארית מתחיל בקביעת [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], שלאיבריו קוראים [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]]ים. הם משחקים תפקיד של מספרים. ואכן במקרים רבים שדה זה הוא אוסף המספרים מסוג מסוים, למשל [[שדה המספרים הממשיים]], [[שדה המספרים המרוכבים]] או [[שדה המספרים הרציונליים]].

שדה <math>F</math> הוא [[מבנה אלגברי]] הכולל לפחות שני איברים, 0 ו-1 בעל שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]], המסומנות ב-"<math>+</math>" ו-"<math>\cdot</math>" (חיבור וכפל) המקיים לכל <math>a, b, c</math> ב-<math>\ F</math>:
* <math>a+b=b+a</math> ([[קומוטטיביות]], חוק החילוף לחיבור)
* <math>(a+b)+c=a+(b+c)</math> ([[אסוציאטיביות]], חוק הקיבוץ לחיבור)
* <math>a+0=a</math> (0 הוא [[איבר נייטרלי]] לחיבור)
* לכל <math>a</math> קיים <math>b</math> כך ש-<math>a+b=0</math> (לכל איבר קיים [[איבר נגדי]])
* <math>a \cdot b = b \cdot a</math> (חוק החילוף לכפל)
* <math>(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)</math> (חוק הקיבוץ לכפל)
* <math>a \cdot 1 = a</math> (1 נייטרלי לכפל)
* לכל <math>a</math> שונה מ-0 קיים <math>b</math> כך ש-<math>a \cdot b =1</math> (קיום [[איבר הופכי]])
* <math>a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c</math> ([[דיסטריבוטיביות]], חוק הפילוג)

מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות, כדוגמת יחידוּת של האיברים הנייטרליים (מכיוון שהתכונה '<math>\ a+x=a</math> לכל <math>a</math>' ייחודית ל[[איבר האפס]], וכן בכפל לאיבר היחידה), יחידות האיבר הנגדי וההפכי, והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.

האלגברה הליניארית אינה עוסקת בשדות עצמם (לשם כך נועדה [[תורת השדות הקלאסית|תורת השדות]]). רוב השאלות הבסיסיות באלגברה ליניארית אינן רגישות לשדה, וההתנהגות תהיה דומה למדי עבור שדות שונים. אולם חלק מההגדרות והתוצאות דורשות טיפול שונה בשדות עם [[מציין של שדה|מציין]] חיובי (בעיקר עבור מציין 2). כמו כן חלקים מתקדמים יותר של התורה תלויים בכך שהשדה סגור אלגברית, ובפרט בכך שהוא שדה המספרים המרוכבים, ושונים מהותית עבור שדות שאינם כאלה.

=== מערכת משוואות ליניאריות ===
{{ערך מורחב|מערכת משוואות ליניאריות}}
מערכת משוואות ליניארית זו [[מערכת משוואות]] {{אנ|System of equations}} מהצורה:

:<math>\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2 \\
\vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && &&& \;\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m \\
\end{alignat}</math>

כאשר <math>x_1,x_2,...,x_n</math> הם המשתנים, <math>a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}</math> הם המקדמים של המשתנים ו-<math>b_1,\ b_2,...,b_m</math> הם המקדמים החופשיים. כל אלה הם איברים ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>F</math>, ולרוב השדה הזה הוא המספרים הממשיים. אם <math>x_1,x_2,...,x_n</math> מקיימים את המשוואות, הם והצגתם כ-<math>(x_1,x_2,...,x_n)</math> נקראים פתרון.

הבעיה המכוננת של האלגברה הליניארית היא לתאר ולחקור את המבנה והסימטריות של אוסף הפתרונות למערכת משוואות כזאת. מערכת משוואות בה המקדמים החופשיים מתאפסים נקראת [[מערכת משוואות הומוגנית|הומוגנית]].

====דירוג====
{{ערך מורחב|דירוג מטריצות}}
שתי מערכות של משוואות ליניאריות נקראות שקולות אם יש להן אותם פתרונות. אפשר "להגיע" ממערכת ליניארית אחת למערכת ששקולה לה באמצעות עשיית מספר סופי של כל אחד מ-3 הסוגים הבאים של [[פעולת שורה אלמנטרית|פעולות שורה]] עליה:
* החלפת השורות של שתי משוואות
* [[כפל בסקלר]] שונה מ-0 של כל המקדמים (גם החופשיים)
* הוספת שורה מוכפלת בסקלר לשורה אחרת
ביצוע של כל אחד מ-3 הסוגים האלה של פעולות על מערכת משוואות ליניארית יצור מערכת משוואות ששקולה לה.

נאמר שמערכת משוואות היא מדורגת קנונית אם:
* בכל שורה המקדם הפותח (המקדם הראשון בכל שורה שהוא לא 0) שווה ל-1.
* המקדם הפותח של כל שורה נמצא משמאל למקדם הפותח של השורה שמתחתיה (מכאן המילה "מדורג").
* בכל עמודה בה אחד המקדמים הוא פותח, כל שאר המקדמים שווים ל-0.

אחד המשפטים הבסיסיים של אלגברה ליניארית מראה שמכל מערכת משוואות ליניארית ניתן ליצור מערכת מדורגת קנונית יחידה ששקולה לה (ראו [[דירוג מטריצות|שיטת הדירוג של גאוס]]), ומכאן נובעות תכונות רבות של מערכות משוואות ליניאריות. ביניהן התכונה שלכל מערכת ליניארית מעל שדה אינסופי יש 0, 1, או אינסוף פתרונות.

=== מרחב וקטורי ===
{{הפניה לערך מורחב|ערך=[[מרחב וקטורי]]}}
==== המרחב <math>F^n</math>====
כאמור פתרון של מערכת משוואות ליניאריות הוא n-יה של מספרים ב-F (סדרה של n מספרים, או וקטור). ניתן לאגד את אוסף כל ה־n-יות האלה לקבוצה אחת המסומנת ב-<math>F^n</math>. ניתן לחשוב על <math>F^n</math> כעל אובייקט גאומטרי. למשל, עבור <math>\R^1,\R^2,\R^3</math> מקבלים את ה[[ישר]], ה[[מישור (גאומטריה)|מישור]] וה[[מרחב תלת-ממדי|מרחב]] (בהתאמה). הקבוצה <math>F^n</math> מהווה אבטיפוס בסיסי למרחבים הווקטוריים. ההגדרה של מרחב וקטורי נוטלת מקבוצה זאת את המבנה והתכונות שלה והופכת אותם למושג מופשט.

==== אוסף הפתרונות של מערכת משוואת הומוגנית====
אוסף הפתרונות של מערכת משוואת הומוגנית הוא תת-קבוצה של <math>F^n</math> המהווה גם היא דוגמה למרחב וקטורי. דוגמה זאת מספקת צעד נוסף לקראת ההגדרה הכללית של מרחב וקטורי.

==== ההגדרה של מרחב וקטורי====
מרחב וקטורי (או בשמו הנוסף מרחב ליניארי) <math>V</math> מעל שדה <math>F</math> (כגון [[שדה המספרים הממשיים]] או [[שדה המספרים המרוכבים]]) זהו [[מבנה אלגברי]] בעל 2 פעולות בינאריות "<math>+</math>" ו-"<math>\cdot</math>" המקיים מספר תכונות. איברי המרחב הווקטורי נקראים [[וקטור (אלגברה)|וקטורים]] ואיברי השדה נקראים [[סקלר (מתמטיקה)|סקלרים]]. הפעולה הראשונה נקראת "חיבור וקטורי" והשנייה נקראת "כפל בסקלר", מכיוון שהפעולה הראשונה היא <math>+: {V\times V}\to V</math> והשנייה <math>\cdot: {F\times V}\to V</math>. התכונות הן:
* המבנה <math>\ (V, +, \vec{0})</math> (עבור <math>\vec{0}</math> כלשהו) הוא [[חבורה אבלית]], כלומר: החיבור [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבי]] ו[[חילופיות|קומוטטיבי]], <math>\vec{0}</math> (הנקרא "וקטור האפס", לא בהכרח האיבר הנייטרלי של <math>F</math>) הוא איבר נייטרלי של <math>V</math>, ולכל איבר יש נגדי;
* <math>a \cdot (v+u) = a \cdot v + a \cdot u</math> לכל <math>a \in F, u,v \in V</math>
* <math>(a+b) \cdot v = a \cdot v + b \cdot v</math> לכל <math>a,b \in F, v \in V</math>
* <math>a \cdot (b \cdot v) = (a \cdot b) \cdot v</math> לכל <math>a,b \in F, v \in V</math>
* <math>1 \cdot v = v</math> לכל <math>v \in V</math> כאשר 1 הוא איבר היחידה בשדה <math>F</math>.

לדוגמה, <math>{F}^n</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>F</math>. כל מרחב וקטורי מממד סופי [[איזומורפיזם|איזומורפי]] למרחב מצורה זו.

=== צירוף ליניארי, בסיס ותת-מרחב ===
{{הפניה לערך מורחב|ערכים=[[צירוף ליניארי]], [[בסיס (אלגברה)]], [[קבוצה פורשת]], [[תלות ליניארית]], [[ממד (אלגברה ליניארית)]]}}
תת-מרחב ליניארי, בצורה לא פורמלית, הוא מרחב וקטורי שמוכל בתוך מרחב וקטורי אחר וסגור ביחס לאותן שתי הפעולות הבינאריות. כלומר, עבור 2 איברים בתת-המרחב, סכומם יהיה שייך לתת-המרחב ויהיה שווה לסכומם במרחב עצמו; באופן דומה עבור כפל בסקלר. מכיוון שפעולות אלו הן אותו דבר במרחב ובתת-המרחב, הן כבר מקיימות את כל האקסיומות של קומוטטביות, אסוציאטיביות, וכו', מה שאומר שהתכונות שצריכות להתקיים בתת-קבוצה של מרחב וקטורי <math>V</math> כדי שהוא יהיה תת-מרחב ליניארי <math>L</math> הן: לכל <math>v,u \in L, \lambda \in F</math>: <math>\lambda \cdot v \in L</math> ו־<math>v+u \in L</math>. תכונות אלו נקראות "סגירות ביחס לחיבור" ו"סגירות ביחס לכפל בסקלר" בהתאמה. בפרט הוא כולל גם את וקטור האפס של המרחב המקורי.

במרחב וקטורי <math>V</math> מעל שדה <math>F</math>, הווקטור <math>v</math> מוגדר להיות [[צירוף ליניארי]] של אוסף הווקטורים <math>v_1,v_2,...,v_n</math> אם <math>{\lambda}_1v_1 + ... + {\lambda}_nv_n = v </math> עבור <math>{\lambda}_1,...,{\lambda}_n \in F</math> כלשהם (המקדמים). ה[[קבוצה פורשת|פרישה]] (span) של סדרת (אוסף) וקטורים כזו היא אוסף כל הצירופים הליניאריים שלה, מה שיוצר תת-מרחב. בהינתן סדרת וקטורים <math>v_1,v_2,...,v_n</math>, ניתן להציג את <math>\vec{0}</math> כצירוף ליניארי שלהם על ידי מקדמי 0. אם זאת הדרך היחידה שבה ניתן להציג את <math>\vec{0}</math> כצירוף ליניארי של הסדרה, הסדרה תיקרא [[תלות ליניארית|בלתי תלויה ליניארית]]. [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] של מרחב וקטורי <math>V</math> הוא סדרת וקטורים בת"ל (בלתי תלויה ליניארית) שגם פורשת את <math>V</math>. כתוצאה מהיותם של בסיסים האיזון הדק שבין קבוצה פורשת לקבוצה בת"ל, כל קבוצה פורשת של וקטורים ניתן לצמצם לבסיס וכל קבוצת וקטורים בלתי תלויה ליניארית ניתן להשלים לבסיס.

לכל שני בסיסים (בהנחה שהם סופיים) של מרחב וקטורי <math>V</math> יש אותו גודל, המוגדר להיות ה[[ממד (מתמטיקה)|מימד]] של <math>V</math>, ומסומן ב-<math>\dim(V)</math> או ב-<math>\dim{V}</math>. בהינתן בסיס <math>v_1,...,v_n</math> של מרחב וקטורי <math>V</math> מעל שדה <math>F</math>, נוכל ליצור [[קואורדינטות]]: הווקטור עם הקואורדינטות <math>(a_1,a_2,...a_n)</math> יהיה הווקטור <math>a_1 v_1 + a_2 v_2 + ... + a_n v_n </math>. לכל וקטור יש קואורדינטות מפני שהסדרה פורשת, והקורדינטות הן יחידות משום שהסדרה בת"ל. לכן, קורדינאטות מוגדרות ביחידות לכל וקטור, מה שנותן דרך לייצג כל וקטור כ-<math>\dim{V}</math> סקלרים.

עבור שני תת-מרחבים של <math>V</math>, <math>M_1</math> ו-<math>M_2</math>, נגדיר את סכומם להיות <math>M_1 + M_2 = \{ v_1 + v_2 : v_1 \in M_1, v_2 \in M_2 \}</math>, ובצורה כללית יותר, עבור <math>s</math> תתי מרחבים, סכומם יהיה <math>M_1 + ... + M_s = \{ v_1 + ... + v_s : v_i \in M_i \forall{1\le i \le s}\} </math>. סכום של תתי-מרחבים הוא תת-מרחב בעצמו. הגדרה זו שונה מ[[איחוד (תורת הקבוצות)|איחוד]] של קבוצות, שכן איחוד כולל רק את איברי הקבוצות עצמם, וסכום כולל גם וקטורי סכום שאינם נמצאים באף אחד מתתי-המרחב לבדם.

בניסיון לחישוב מימד של סכום תתי מרחבים, נמצאה נוסחה הנקראת [[משפט הממדים]]: {{עוגן|משפט הממדים}}
:<math>\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2)</math>.{{הערה|Axler (2204), עמוד 33}}

=== העתקות ליניאריות ===
{{הפניה לערך מורחב|ערך=[[העתקה ליניארית]]}}
בהינתן שני מרחבים וקטוריים <math>V</math> ו-<math>W</math> מעל אותו שדה <math>F</math>, העתקה ליניארית (הנקראת גם טרנספורמציה ליניארית או [[אופרטור]] ליניארי) מ-<math>V</math> ל-<math>W</math> היא [[פונקציה]] <math>T : V \to W</math> שהיא סגורה ביחס לחיבור ולכפל בסקלר, כלומר:
: <math>T(v+u)=T(v)+T(u)</math>
: <math>T(\lambda \cdot v) = \lambda \cdot T(v)</math>
לכל <math>v,u \in V, \lambda \in F</math>.

אם העתקה ליניארית <math>T : V \to W</math> היא [[פונקציה חד-חד ערכית|חח"ע]] ו[[פונקציה על|על]], נאמר שהיא [[איזומורפיזם]], ושהמרחבים <math>V</math> ו-<math>W</math> הם איזומורפיים זה לזה. אם שני מרחבים (מעל אותו שדה) הם איזומורפיים זה לזה, הדבר שקול להיותם שווי מימד.

לכל העתקה ליניארית מוגדרים שני תת-מרחבים: [[גרעין (אלגברה)|גרעין ההעתקה]] <math>\ker(T):= \{x\in V|T(x)=\vec{0}\}</math> (כל הווקטורים שנשלחים ל-0), ותמונת ההעתקה <math>Im(T):=\{T(x)|x \in V\}</math> (כמו תמונה של פונקציה רגילה). שניהם תת-מרחבים ליניאריים, הגרעין תת-מרחב של תחום הפונקציה והתמונה תת-מרחב של טווח הפונקציה. יש קשר בין הממדים שלהם, הנקרא [[משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות|משפט הממדים]]:{{עוגן|משפט הממדים העתקות ליניאריות}}

<math>\dim Im(T) + \dim \ker(T) = \dim(V)</math>.

ההעתקה T היא חד-חד ערכית אם גרעינה מתאפס. היא על [[אם ורק אם]] תמונתה היא כל W.

=== מטריצות ===
{{הפניה לערך מורחב||ערכים=[[מטריצה]], [[כפל מטריצות]], [[מטריצה הפיכה]], [[דמיון מטריצות]]}}
בהינתן שני מספרים טבעיים <math>m</math> ו־<math>n</math>, מטריצה <chem>A</chem> בגודל <math>m</math> על <math>n</math> (מעל שדה <math>F</math>) היא פונקציה <math>A: S\to F</math> מהקבוצה <math>S = \{(i,j) | 1\leq i \leq m, 1\leq j \leq n\} </math> לסקלרים ב-<math>F</math>. הפונקציה הזו מוצגת בעזרת טבלה בת <math>m</math> שורות ו־<math>n</math> עמודות, כאשר במקום ה־<math>(i,j)</math> בטבלה רשום הערך <chem>A(i,j)</chem> (שמקובל לסמן ב־<math>A_{i,j}</math> או ב־<math>a_{i,j}</math>). דוגמה פשוטה למטריצה מעל שדה המספרים הממשיים היא <math>A = \begin {bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
6 & 1 & 5\end{bmatrix}</math>. כאן, במקום ה־<math>(2,1)</math> מופיע הערך 6, כלומר <chem>A_{2,1} = 6</chem>, ובמקום ה־<math>(1,2)</math> מופיע הערך 2, כלומר <chem>A_{1,2} = 2</chem>. שמות המטריצות לרוב מסומנות באותיות לטיניות גדולות.

שני שימושים בולטים של מטריצות הם הצגה של העתקה ליניארית לפי בסיס מסוים באמצעות מטריצות, והצגה של [[תבנית ריבועית]] באמצעות מטריצה סימטרית. כמו כן, אפשר לסמן [[מערכת משוואות ליניאריות]] באמצעות מטריצה אחת.

לכל <math>T: V \to W</math> העתקה ליניארית, כך ש-<math>\dim{V} = n</math> ו-<math>\dim{W} = m</math>, בהינתן שני בסיסים קבועים ל-<math>V</math> ו-<math>W</math>, אפשר להתאים להעתקה הליניארית מטריצה מסדר <math>m \times n</math> באמצעות וקטורי הבסיס של <math>V</math>. בהרבה מקרים מתעניינים בהעתקות <math>T:V \to V</math> כך שה[[מטריצה ריבועית]]. ניתן גם להשתמש באותו הבסיס פעמיים. באופן הזה, כל מושג שמוגדר להעתקות ליניאריות ניתן להגדיר למטריצות ולהפך.

ההתאמה בין העתקה ליניארית למטריצה תלויה בבסיס שבו משתמשים. דבר זה יוצר מצב שבו העתקה אחת יכולה להתאים למטריצות רבות, ומטריצה אחת יכולה להתאים להעתקות רבות. כדי להתמודד עם הבעיה הזאת הוגדר מושג נוסף: 2 מטריצות ריבועיות נקראות [[דמיון מטריצות|דומות]] אם הן מייצגות אותה העתקה ליניארית בבסיסים שונים (בכל הצגה של ההעתקה הליניארית <math>T:V \to V</math> משתמשים פעמיים באותו בסיס למרחב הווקטורי <math>V</math>, שהוא התחום של ההעתקה וגם הטווח שלה).

הייצוג הזה יוצר קשר עמוק מאוד בין העתקות ליניאריות ומטריצות. למשל, בהינתן שתי העתקות ליניאריות <math>T:V \to W, S:W \to U</math> כך שהמטריצה שמייצגת את <math>T</math> היא <math>A</math> ואת <math>S</math> מייצגת <math>B</math>, אז המטריצה <math>B \cdot A</math> היא המטריצה שמייצגת את ההרכבה <math>S\circ T</math> (ביחס לבסיסים הנתונים). אחרי חישוב קל, מוצאים גם נוסחה מפורשת עבור [[כפל מטריצות]]. חישוב כפל מטריצות באמצעות הנוסחה המפורשת, מאפשר להגיע בקלות למטריצה המייצגת של [[הרכבת פונקציות|הרכבת ההעתקות]].

===דטרמיננטה===
{{הפניה לערך מורחב|דטרמיננטה}}

מושג מרכזי בתורת המטריצות היא ה[[דטרמיננטה]]. דטרמיננטה היא פונקציה מקבוצת המטריצות הריבועיות לשדה מעליו הן מוגדרות. מבחינה גאומטרית, אם ניקח מטריצה <math>n \times n</math> ונשרטט את <math>n</math> הווקטורים (שורות המטריצה) ב-<math>{F}^n</math>, נוכל להשלים אותם ל[[מקבילון]]. הדטרמיננטה של המטריצה היא "הנפח המכוון של המקבילון" (זוהי ההגדרה של נפח מכוון).

לדטרמיננטה יש תכונות רבות. במקרים רבים, דטרמיננטה מספקת תשובות לשאלות בפיזיקה, מדעי מחשב ובתחומי מדע נוספים. גם במסגרת האלגברה הליניארית יש לה משמעות, בשל התכונה שמטריצה ריבועית <math>A</math> היא [[מטריצה הפיכה]] אם ורק אם <math>\det(A)\neq 0
</math>. מזה נובע, שסדרת וקטורים (שאורכה הוא כמו גודל ממד הווקטורים) היא בלתי תלויה ליניארית אם ורק אם הדטרמיננטה של מטריצה ששורותיה הן הווקטורים לא מתאפסת.

=== [[מרחב דואלי]] ===
בניה חשובה במרחבים ליניאריים היא "המרחב הדואלי". בניה זאת מתאימה לכל מרחב ליניארי מרחב אחר. הבניה מהווה ארכי-טופוס למושג דואליות שמופיע בתחומים רבים של המתמטיקה.

בהינתן מרחב V, נתן להגדיר מבנה טבעי של מרחב ליניארי על אוסף ההעתקות הליניאריות מ-V לשדה F. מרחב זה נקרא המרחב הדואלי של V ומסומן ב־<math>V^*</math>.
ההתאמה המתאימה ל-V את המרחב <math>V^*</math> היא פנקטור קונטרא-ווריאנטי. זאת אומרת שבהינתן ההעתקה בין מרחבים ליניאריים <math>\phi:V\to W</math> להגדיר באופן טבעי את ההעתקה הדואלית <math>\phi^*:V^*\to W^*</math>. אם נתון בסיס ל<math>V</math> ניתן לבנות ממנו באופן טבעי בסיס ל-<math>V^*</math> הנקרא הבסיס הדואלי. אם <math>\phi</math> נתונה על ידי מטריצה <math>A</math> (בבסיסים נתונים) אז <math>\phi^*</math> נתונה על ידי המטריצה המוחלפת <math>A^t</math> בבסיסים הדואליים. המטריצה המוחלפת מתקבלת מהמטריצה המקורית על ידי החלפת סדר האינדקסים i,j של המטריצה.

אם V מממד סופי אז <math>(V^*)^*</math> איזומורפי (קנונית) ל-V. אחרת ניתן לראות ב-V תת-מרחב של <math>(V^*)^*</math>. במילים אחרות קיים שיכון טבעי של פנקוטורים מהזהות להרכבת פנקטור הדואליות עם עצמו, ושיכון זה הוא איזומורפיזם עבור מרחבים מממד סופי.

=== מרחב מנה ===
בהינתן מרחב ליניארי V ותת מרחב שלו W ניתן להגדיר את [[מרחב מנה (אלגברה ליניארית)|מרחב המנה]] V/W. זהו מרחב ליניארי שאיבריו הם תתי-קבוצות של V מהצורה v+W, זאת אומרת תת-קבוצות שמתקבלים מ-W על ידי הזזה בווקטור מ-V.

דרך אחרת לראת בניה זאת היא אוסף כל אברי V כאשר אנו מזהים את כל עברי W עם 0, ובהתאם אנו מזהים שני וקטורים ב-V זה עם זה אם הפרשם נמצא ב-W.

=== וקטורים וערכים עצמיים ===
{{הפניה לערך מורחב||ערכים=[[וקטור עצמי]], [[ערך עצמי]], [[מטריצה לכסינה]]}}

העתקות ליניאריות יכולות להיות מאוד מסובכות. בדיקה על ממדים קטנים מראה סוגים מרובים שלהם. וקטורים עצמיים מפשטים חישובים על העתקות ליניאריות ועל מטריצות.

בהינתן העתקה ליניארית <math>T : V \to V</math>, וקטור עצמי הוא וקטור <math>\vec{0} \neq \vec{x} \in V</math> עם ערך עצמי <math>\lambda \in F</math> המקיימים:

<math>T(\vec{x})=\lambda \cdot \vec{x}</math>.

העתקה ליניארית תיקרא לכסינה אם קיים בסיס של וקטורים עצמיים. אם נייצג את ההעתקה במטריצה בבסיס של הווקטורים העצמיים, המטריצה תהיה [[מטריצה אלכסונית]] עם הערכים העצמיים באלכסון. עבור מטריצות, מטריצה תיקרא לכסינה אם היא מייצגת העתקה ליניארית לכסינה, כלומר, היא דומה למטריצה אלכסונית.

אם מטריצה או העתקה ליניארית היא לכסינה, זה יקל מאוד על חישובים. כפל מטריצות, דטרמיננטה ומטריצה הופכית הם דוגמאות לדברים שנוח לחשב כשמטריצה או העתקה ליניארית היא לכסינה. אפשר למשל, באמצעות לכסון, למצוא נוסחה מפורשת לאיברי [[סדרת פיבונאצ'י]] (ולמעשה כל סדרה רקורסיבית דומה).

=== תבניות ===
באלגברה ליניארית [[תבנית (אלגברה ליניארית)|תבנית]] היא [[פונקציה]] שמקבלת מספר משתנים וקטוריים ומחזירה סקאלר. בדרך כלל התבניות הן ליניאריות על פי כל אחד מהמשתנים בנפרד.

==== 1-תבניות ====
המקרה הפשוט ביותר של תבניות הוא 1-תבניות. 1-תבניות על מרחב <math>V</math> היא פשוט [[פונקציונל]] ליניארי על <math>V</math>. במילים אחרות, העתקה ליניארית מ־<math>V</math> לשדה. אוסף כל ה-1-תבניות על <math>V</math> הוא [[מרחב דואלי|המרחב הדואלי]] <math>V^*</math>.

==== תבניות ביליניאריות====
תבנית ביליניארית על מרחב וקטורי <math>V</math> היא העתקה <math>b:V\times V\to F</math> ליניארית על פי כל אחד מהמשתנים ב־<math>V</math>. במילים אחרות היא מקיימת:
*<math>\langle au + bv, w \rangle = a\langle u, w \rangle + b\langle v, w \rangle</math>
*<math>\langle w,au + bv \rangle = a\langle w, u \rangle + b\langle w, v \rangle</math>
תבנית ביליניארית נקראת לא מנוונת (מימין) אם לכל <math>v\neq 0</math> קיים <math>w\in V</math> כך ש: <math>\langle w,v\rangle \neq 0</math>. באופן דומה מגדירים תבנית לא מנוונת משמאל. עם <math>V</math> מממד סופי אז שני המושגים האלה שקולים. חקר התבניות הבי-ליניאריות מתחלק בדרך כלל ל-2:
*תבניות סימטריות – תבנית המקיימת <math>\langle v, w \rangle = \langle w,v \rangle</math>
*תבניות אנטי-סימטריות – תבנית המקיימת <math>\langle v, w \rangle =- \langle w,v \rangle</math>
ב[[מאפיין (אלגברה)|מאפיין]] שונה מ-2 כל תבנית ניתן לכתוב באופן יחיד כסכום של תבנית סימטרית ואנטי-סימטרית.

אוסף התבנית הבי-ליניאריות על מרחב נתון הוא מרחב ליניארי. אוספי התבניות הסימטריות והאנטי-סימטריות מהווים תתי-מרחבים שלו.

====תבניות ריבועיות====
בהינתן תבנית בי-ליניארית <math>f:V\times V \to F</math> ניתן להגדיר פונקציה <math>q:V\to F</math> על-ידי <math display="block">q(x)=f(x,x).</math>
פונקציות שמתקבלו בצורה זאת נקראות תבנית ריבועיות. במציין שונה מ-2 יש [[התאמה חד חד ערכית ועל|התאמה חד-חד ערכית ועל]] בין תבניות ריבועיות ותבניות בי-ליניאריות סימטריות.

אוסף התבנית הריבועיות על מרחב נתון הוא מרחב ליניארי.

==== תבניות פולי-ליניאריות====
תבנית עם מספר רב יותר של משתנים שהן ליניאריות על-ידי כל אחד מהם בנפרד נרקאת תבניות פולי-ליניאריות.

אוסף התבנית הפולי-ליניאריות על מרחב נתון במספר נתון של משתנים הוא מרחב ליניארי.

===== תבניות פולי-ליניאריות אנטי-סמטריות=====
מקרה פרטי מעניין של תבניות פולי-ליניאריות הוא תבניות אנטי-סימטריות. תבנית פולי-ליניארית נקראת אנטי-סמטרית אם כשמחליפים שניים ממשתניה במקומותיהם ערכה מחליף את סימנו. גרסה של תבניות אלה שמשתנה כתלות בפרמטר חשובה במיחד בגאומטריה דיפרנציאלית לצורך [[אינטגרל|אינטגרציה]]. גרסה זו נקראת [[תבנית דיפרנציאלית]].

מספר המשתנים בתבנית פולי-ליניארית אנטי-סמטרית לא [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלית]] לא עולה על ממד המרחב.
אוסף התבנית הפולי-ליניאריות אנטי-סימטריות על מרחב נתון, במספר נתון של משתנים הוא מרחב ליניארי.

====== תבניות פולי-ליניאריות אנטי-סמטריות עליונות======
מקרה פרטי מעניין של תבניות פולי-ליניאריות אנטי-סימטריות הוא כשמספר המשתנים שווה לממד המרחב. תבניות אלה נקראות תבניות פולי-ליניאריות אנטי-סמטריות עליונות. ממד מרחב התבניות הפולי-ליניאריות אנטי-סמטריות עליונות הוא 1. מרחב זה שימושי לצורך הגדרת הדטרמיננטה.

==== תבניות ליניאריות למחצה====
לעיתים מתעניינים בתבניות שאינן בדיוק ליניאריות אלא בעלות תכונה מעט שונה. תכונה זאת מעניינת במיוחד כאשר שדה הבסיס שלנו הוא <math>\C</math>. במקרה זה העתקה <math>f:V\to \C</math> כאשר <math>V</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\C</math> נקראת ליניארית למחצה (לעיתים גם אנטי ליניארית) אם היא מקיימת:
* <math>f(v+w)=f(v)+f(w)</math>
* <math>f(av)=\bar{a}f(v)</math>
לעיתים מתעניינים בתבניות שהן ליניאריות רק בחלק מהמשתנים וליניאריות למחצה ביתר המשתנים. מקרה פרטי חשוב הוא תבנית ב-2 משתנים, ליניארית על-פי הראשון וליניארית למחצה על-פי השני. תבניות כאלה נקראות [[תבנית ססקיו ליניארית|ססקיו ליניאריות]] (Sesqui בלטינית זה אחד וחצי). תבניות ססקיו ליניאריות לא יכולות להיות סימטריות, אולם הן יכולות להיות סימטריות למחצה. זאת אומרת הן מקיימות: <math display="block">f(x,y)=\overline{f(y,x)}.</math>

תבניות ססקיו ליניאריות סימטריות למחצה נקראות [[תבנית הרמיטית|תבניות הרמיטיות]]. התורה של תבניות הרמיטיות דומה למדי לתורה של תבניות ביליניאריות סימטריות.

אוסף התבנית הססקיו על מרחב ליניארי מעל <math>\C</math> הוא מרחב ליניארי מעל <math>\R</math> אך לא מעל מעל <math>\C</math>. אוסף התבנית ההרמיטיות הוא תת-מרחב של מרחב זה.

ניתן להגדיר תבניות ססקיו ליניאריות ותבניות הרמיטיות גם מעל שדות אחרים. לשם כך יש לקבוע [[אוטומורפיזם]] <math>\theta</math> של השדה מסדר 2. אוטומורפיזם זה מחליף את התפקיד של [[צמוד מרוכב|ההצמדה המרוכבת]] בהגדרות מעלה. בהתאם אוספי התבניות הססקיו ליניאריות והתבניות ההרמיטיות אינם מרחבים ליניאריים מעל שדה הבסיס <math>F</math> אלא מרחבים ליניאריים מעל תת-השדה של נקודות השבת של <math>\theta</math>.

=== מרחבי מכפלה פנימית ===
{{הפניה לערך מורחב||ערכים=[[מרחב מכפלה פנימית]]}}

אלגברה ליניארית חוקרת גם מרחבים וקטוריים עם מבנה נוסף הנקרא [[מכפלה פנימית]]. במקרה הממשי המכפלה הפנימית היא [[מקרה פרטי]] של [[תבנית ביליניארית]] והיא נותנת למרחב הווקטורי מבנה גאומטרי בכך שהיא מאפשרת להגדיר [[אורך]] ו[[זווית]]. עבור מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{R}</math>, מכפלה פנימית היא פונקציה
<math display="block">\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \R</math>
המקיימת שלוש תכונות:
* סימטריה: <math>\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle </math>
* ליניאריות: <math>\langle au + bv, w \rangle = a\langle u, w \rangle + b\langle v, w \rangle</math>
* מוגדרת חיובית: <math>\langle v,v \rangle \geq 0</math> שוויון [[אם ורק אם]] <math>v = 0</math>.

עבור המרחב הווקטורי <math>\mathbb{R}^n</math>, המכפלה הפנימית הסטנדרטית (שנקראת גם [[מכפלה סקלרית]] ואין לבלבל בינה לבין כפל ב[[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]]) ניתנת על ידי הנוסחה:

<math> .\left\langle
 \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix},
 \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}
 \right\rangle :=
 \sum_{i=1}^n x_i y_i = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n</math>

הנוסחה מקיימת את כל שלושת התנאים בבירור. עבור מכפלה פנימית זו, ניתן להוכיח באמצעות [[משפט הקוסינוסים]] כי למעשה <math> \langle u, v \rangle = |u| \cdot |v| \cdot cos\alpha</math>, כאשר <math> \alpha</math> היא הזווית בין הווקטורים. הוכחה זו נעזרת ב[[אורך]] של וקטור וגם ב[[זווית]] בין שני ווקטורים, דברים שמוגדרים ב-<math>\mathbb{R}^n</math> אך לא במרחב וקטורי כללי. אבל, גם אורך וגם זווית ניתנים להגדרה עבור מרחב וקטורי כללי.

מפה, ניתן להגדיר אורך של וקטור על ידי <math>\|v\|^2=\langle v,v\rangle</math> ולהוכיח את [[אי-שוויון קושי-שוורץ]] האומר כי לכל שני וקטורים,

<math>.|\langle u,v\rangle| \leq \|u\| \cdot \|v\|</math>

ברישום אחר, האי-שוויון אומר כי <math>\left|\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\| \cdot \|v\|}\right| \leq 1</math>, מה שנותן לנו את האפשרות לסמן גודל זה ב[[קוסינוס]] בין הזוויות.
====המקרה המרוכב====
ניתן להגדיר את המושג של מרחב מכפלה פנימית גם מעל המספרים המרוכבים. במקרה כזה המכפלה הפנימית צריכה להיות תבנית הרמיטית במקום תבנית בי-ליניארית סימטרית.
את האי-שוויון בתנאי המוגדרות חיובית בתור דרישה שהערך יהיה ממשי וחיובי. באופן מפורש, מכפלה פנימית על מרחב וקטורי מעל <math>\C</math> מכפלה פנימית היא פונקציה
<math display="block">\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \R</math>
המקיימת:
* סימטריה למחצה: <math>\langle u, v \rangle = \overline{\langle v, u \rangle}</math>
* ליניאריות לפי המשתנה הראשון: <math>\langle au + bv, w \rangle = a\langle u, w \rangle + b\langle v, w \rangle</math>
* מוגדרת חיובית: <math>\langle v,v \rangle \geq 0</math> שוויון [[אם ורק אם]] <math>v = 0</math>.

=== טנזורים ===
{{ערכים מורחבים|ערכים=[[מכפלה טנזורית]], [[טנזור]]}}
בהינתן שני מרחבים וקטוריים <math>V</math> ו־<math>W</math> ניתן להגדיר מרחב וקטורי <math>V \otimes W</math> כך שאוסף התבניות הבי-ליניאריות <math>V \times W\to F</math> יהיה [[איזומורפיזם|איזומורפי]] [[קנוני]]ת לאוסף הפונקציונלים על <math>V \otimes W</math>. באופן כללי יותר, עבור כל מרחב וקטורי <math>L</math> אוסף ה[[העתקה ביליניארית|העתקות הביליניאריות]] <math>V \times W\to L</math> איזומורפי קנונית לאוסף ההעתקות הליניאריות <math>V \otimes W\to L</math>.

המרחב <math>V \otimes W</math> נקרא [[מכפלה טנזורית|המכפלה הטנזורית]] של <math>V</math> ו־<math>W</math>. במקרה ש־<math>V</math> ו־<math>W</math> מממד סופי ניתן להגדיר את <math>V \otimes W</math> בתור המרחב הדואלי של מרחב ה[[תבנית ביליניארית|תבניות הביליניאריות]] <math>V \times W\to F</math>.

בהינתן איבר <math>v\in V</math> ואיבר <math>w\in W</math>, ניתן להגדיר איבר מתאים ב־<math>V \otimes W</math>. איבר זה מסומן ב־<math>v \otimes w</math> ונקרא המכפלה הטנזורית של איבר <math>v</math> ואיבר <math>w</math>.

איברים במכפלה הטנזורית נקראים [[טנזור]]ים. בדרך כלל המלה טנזור מיתיחסת לאיברים במרחב
<math display="block">V^{\otimes k}\otimes (V^*)^{\otimes l}:=\underbrace{V\otimes\cdots \otimes V}_{ \text{ םימעפ } k} \otimes \underbrace{V^* \otimes\cdots \otimes V ^*}_{\text{ םימעפ } l}.

</math>מספר ההופעות של <math>V</math> נקרא הקונטרה-וריאנטיות של הטנזור ומספר ההופעות של <math>V^*</math> נקרא הקו-וריאנטיות שלו. הסכום של שני מספרים אלה נקרא דרגת הטנזור.

בהינתן שני טנזורים <math>t_1\in V^{\otimes k_1}\otimes (V^*)^{\otimes l_1}</math> ו־<math>t_2\in V^{\otimes k_2}\otimes (V^*)^{\otimes l_2}</math>, ניתן להכפיל אותם טנזורית ולקבל טנזור:
:<math>t_1\otimes t_2\in V^{\otimes (k_1+k_2)}\otimes (V^*)^{\otimes (l_1+l_2)}</math>

בדומה [[העתקה ליניארית|להעתקות ליניאריות]], גם טנזורים ניתן ליצג על ידי טבלאות של מספרים, אך בשונה מהעתקות ליניארית טבלאות אלה יהיו רב ממדיות (הממד הוא כמעלת הטנזור). בהקשרים מסוימים (בעיקר ב[[פיזיקה]] ו[[מדעי הנתונים]]) המלה טנזור מתייחסת לטבלאות אלה. הקשר בין מושג זה של טנזור והמושג שהוצג מעלה הוא כמו הקשר בין [[מטריצה]] לבין העתקה ליניארית.

בדומה לתבניות, גם טנזורים יכולים להיות [[טנזור סימטרי|סימטריים]] ו[[טנזור אנטי-סימטרי|אנטי-סימטריים]]. תכונת הסימטריה והאנטי-סימטריה של הטנזור יכולה להתייחס לחילוף של כל זוג קומפוננטות של הטנזור מאותה וריאנטיות. אוסף כל הטנזורים הסימטריים (לכל חילוף) הקונטרה וריאנטיים מדרגה <math>k</math> על מרחב <math>V</math> נקרא ה[[חזקה סימטרית|חזקה הסימטרית]] ה־<math>k</math> של <math>V</math> ומסומן ב־<math>Sym^k(V)</math>. אוסף כל הטנזורים האנטי-סימטריים (לכל חילוף) הקונטרה וריאנטיים מדרגה <math>k</math> על מרחב <math>V</math> נקרא [[חזקה חיצונית|החזקה החיצונית]] ה־<math>k</math> של <math>V</math> ומסומן ב־<math>\Lambda^k(V)</math>. קיימות גרסאות של מכפלה טנזורית של טנזורים עבור טנסורים סימטריים ואנטי-סימטריים. הן נקראות [[מכפלה סימטרית (טנזורים)|מכפלה סימטרית]] ו[[מכפלה חיצונית]] בהתאמה.

== תוצאות מרכזיות ==
=== תורת הממד ===
{{ערך מורחב| ממד (אלגברה ליניארית)}}
* לכל [[מערכת משוואות ליניאריות]] [[מערכת משוואות הומוגנית|הומוגניות]] עם פחות משוואות מנעלמים יש פתרון לא [[טריוויאלי]] (לא כל הנעלמים אפסים). זוהי למה בסיסית באלגברה ליניארית, שניתן להוכיח למשל על ידי דירוג. משפטים רבים באלגברה ליניארית מתבססים על למה זאת.
* ב[[מרחב ליניארי]], גודל קבוצת וקטורים [[אי תלות ליניארית|בלתי תלויה]] {{אנ|Linear independence}} לעולם לא יעלה על גודלה של קבוצת וקטורים [[קבוצה פורשת|פורשת]]. קל להסיק טענה זאת מהטענה הקודמת.
* כל שני [[בסיס (אלגברה)|בסיס]]ים במרחב ליניארי הם באותו הגודל. קל להסיק טענה זאת מהטענה הקודמת.
* לכל מרחב ליניארי יש בסיס. אם למרחב הליניארי יש קבוצה פורסת סופית אז הוא נקרא מרחב מממד סופי וטענה זאת קלה להוכחה. אחרת ההוכחה יותר מסובכת והוכחתה משתמשת ב[[אקסיומת הבחירה]].
* שתי הטענות האחרונות גוררות שהמושג של [[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] של מרחב ליניארי מוגדר היטב.
* מיון של מרחבים ליניארים עד כדי [[איזומורפיזם]]: כל מרחב ליניארי מממד n מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>F</math> איזומורפי ל-<math>F^n</math>. משפט זה מנוסח בדרך כלל עבור מרחבים ממד סופי אך תקף (בהנחת [[אקסיומת הבחירה]]) גם למרחבים מממד אינסופי.
*תכונות של ממד:
** מונוטוניות: <math>W\subset V \Rightarrow \dim W\leq \dim V</math>.
** אדיטיביות: <math>\dim V =\dim W+ \dim (V/W)</math>.
** [[משפט הממדים]] שהוזכר [[#משפט הממדים|מעלה]].

=== העתקות ומטריצות ===
{{ערכים מורחבים|ערכים= [[העתקה ליניארית]] ו[[מטריצה]]}}
* מיון של [[העתקה ליניארית|העתקות ליניאריות]] בין שני מרחבים נתונים: לאחר שבוחרים בסיס בשני המרחבים, אוסף ההעתקות האלה מזדהה עם אוסף [[מטריצה|המטריצות]] מהגודל המתאים.
* [[נוסחת החלפת בסיס]]: בהינתן שני מרחבים <math>V</math> ו־<math>W</math>, הזיהוי הנ"ל תלוי בבחירת הבסיסים של <math>V</math> ו־<math>W</math>. שינוי בסיס באחד המרחבים יגרום לכך שהמטריצה שמייצגת את האופרטור תוכפל מאחד הצדדים (בהתאם למרחב בו אנו משנים את הבסיס) במטריצה הנקראת [[מטריצת מעבר]] בין הבסיסים.
* מיון של העתקות ליניאריות בין שני מרחבים נתונים עד כדי שינוי בסיס בכל אחד מהמרחבים. מיון זה מאפשר להבין את המבנה הפנימי של ההעתקות השונות. קל להסיק מיון זה מדירוג מטריצות. המבנה של ההעתקה במובן זה נקבע על ידי ה[[דרגה (אלגברה ליניארית)|דרגה]] שלה, זאת אומרת מממד התמונה שלה. במילים אחרות: שתי העתקות בעלות אותה דרגה מתקבלות זו מזו על ידי הכפלת הבסיס בתחום ובטווח.
* תכונות של דרגה:
** סב-אדיטיביות: <math>rk(A+B)\leq rk(A)+rk(B)</math>. הסימון <math>rk</math> מסמן דרגה.
** <math>rk(A)=rk(A^t)</math>
**[[משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות]] שהוזכר [[#משפט הממדים העתקות ליניאריות|למעלה]].
* מיון של העתוקות ליניאריות בין שני מרחבים נתונים עד כדי שינוי בסיס באחד מהמרחבים. מיון זה נובע בקלות מדירוג. המיון מאפשר להבין את [[יריעת גרסמן|אוסף תתי המרחבים של מרחב נתון]].
* פירוק מטריצה ל[[מטריצה אלמנטרית|מטריצות אלמנטריות]]: כל מטריצה (ריבועית) [[מטריצה הפיכה|הפיכה]] ניתן לכתוב כמכפלה של מטריצות אלמנטריות (ריבועיות). באופן כללי יותר, כל מטריצה ניתן לכתוב כמכפלה של מטריצות אלמנטריות מטריצה מהצורה
<math display="block">\left (
\begin{matrix}
Id_{n\times n} & 0_{n\times k} \\
0_{l\times n} & 0_{l\times k}
\end{matrix}
\right )</math>
:ושוב, מטריצות אלמנטריות (ריבועיות). ניתן להסיק תוצאה זאת בקלות מדירוג.
* תכונות של [[דטרמיננטה]]:
** התנהגות תחת [[פעולת שורה אלמנטרית|פעולות שורה]]: הוספה של שורה אחת לאחרת לא משנה את הערך של הדטרמינטה. כפל של שורה בסקלר מכפילה את הדטרמיננטה באותו סקלר. תכונה זאת (יחד עם הזהות <math>\det(Id)=1</math>) מגדירה את הדטרמיננטה ביחידות.
** כפליות: <math>\det(AB)=\det(A)\det(B)</math>
** <math>\det(A)=\det(A^t)</math>
** התנהגות תחת פעולת עמודות אנלוגית לחלוטין להתנהגות תחת פעולת שורות.
** קריטריון הפיכות: מטריצה הפיכה אם"ם הדטרמינטה שלה לא מתאפסת.
: את כל התכונות ניתן להסיק מהתכונה הראשונה ומפירוק מטריצה למטריצות אלמנטריות.

=== צורות קנוניות ===
* מיון של ההעתקות הליניאריות ממרחב ליניארי (מממד סופי) לעצמו, עד כדי שינוי בסיס. מיון זה מאפשר להבין את המבנה הפנימי של ההעתקות השונות. כאשר מחליפים בסיס במרחב ליניארי המטריצה של אופרטור ליניארי מהמרחב לעצמו עוברת [[מטריצות צמודות|הצמדה]], קרי כפל במטריצה מימין ובהופכית שלה משמאל. מעל [[שדה סגור אלגברית]] מיון זה נתון על ידי [[צורת ז'ורדן]]. במקרה הכללי הוא נתון על ידי [[צורה רציונלית|הצורה הרציונלית הקנונית]].
*[[פירוק ז'ורדן (אלגברת לי)|פירוק ז'ורדן-שבלה]] {{אנ|Jordan–Chevalley decomposition}}: מעל [[שדה מושלם]], כל אופרטור ניתן להציג באופן יחיד כסכום של שני אופרטורים מתחלפים, כאשר האחד [[אופרטור פשוט למחצה|פשוט למחצה]] (זאת אומרת הוא ניתן ל[[ליכסון מטריצות|ליכסון]] מעל [[סגור אלגברי|הסגור האלגברי]] של השדה) והשני [[מטריצה נילפוטנטית|נילפוטנטי]].
**[[פירוק ז'ורדן-שבלה הכפלי]]: מעל שדה מושלם, כל אופרטור הפיך ניתן להציג באופן יחיד כמכפלה של שני אופרטורים מתחלפים, כאשר האחד פשוט למחצה והשני [[מטריצה אוניפוטנטית|אוניפוטנטי]] {{אנ|Unipotent}} (זאת אומרת אופרטור הזהות פלוס אופרטור נילפוטנטי).
:מעל שדה סגור אלגברית ניתן להסיק בקלות את פירוק ז'ורדן-שבלה (בשתי גרסאותיו) מ[[צורת ז'ורדן]]. מעל שדה מושלם כללי ניתן לההסיק את הפירוק מהמקרה הסגור אלגברית.
* [[משפט קיילי-המילטון]]: המשפט מראה שהפולינום האופייני של מטריצה מאפס אותה. מכאן שהפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את [[פולינום אופייני|הפולינום האופייני]] שלה. למשפט זה שימושים רבים באלגברה. ניתן להסיק אותו בקלות מהצורה הקנונית של המטריצה וגם יש לו מספר הוכחות ישירות.

=== מרחבי מכפלה פנימית ===
{{ערך מורחב| מרחב מכפלה פנימית}}
* מיון של [[מרחב מכפלה פנימית|מרחבי מכפלה פנימית]] (מעל {{R}} או {{C}}) עד כדי איזומורפיזם: לכל מרחבי מכפלה פנימית יש בסיס אורתונורמלי. מכאן שכל שני מרחבי מכפלה פנימית מאותו ממד איזומורפיים. האלגוריתם למציאת בסיס אורתונורמלי נקרא [[תהליך גרם-שמידט]].
* [[משפט הפירוק הספקטרלי|המשפט הספקטרלי להעתקות נורמליות]]: במרחב מכפלה פנימית מממד סופי כל אופרטור נורמלי ניתן לליכסון על ידי מטריצה אורתגונלית/אוניטרית. למשפט יש גרסאות כלליות יותר באנליזה פונקציאנלית.

=== תבנית ביליניאריות ===
{{ערך מורחב| תבנית ביליניארית}}
* מיון של [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]] (או באופן שקול [[תבנית ביליניארית|תבניות ביליניאריות]] [[תבנית ביליניארית סימטרית|סימטריות]]) עד כדי [[חפיפה (אלגברה ליניארית)|חפיפה]]: שתי תבניות נקראות חופפות אם אפשר לעבור מאחת לשנייה על ידי החלפת בסיס. במילים אחרות, אם יש איזומורפיזם שמעביר תבנית אחת לשנייה. מעל {{R}} [[משפט ההתמדה של סילבסטר|משפט סילבסטר]] נותן מיון כזה. למשפט גם גרסאות לשדה כללי.
** מיון של תבניות הרמיטיות: מיון זה אנלוגי למיון של תבנית ריבועיות.
*מיון של [[תבנית אנטיסימטרית|תבניות אנטיסימטריות]] עד כדי חפיפה: מעל כל שדה [[דרגה (תבנית ביליניארית)|דרגה]], של תבנות אנטיסימטרית חיבת להיות זוגית. כל שתי תבניות אנטיסימטריות בעלות אותה דרגה חופפות, וכל [[מספר זוגי]] הקטן מממד המרחב יכול להית דרגה של תבנית על מרחב זה.

===פירוקי מטריצות===
מלבד הפירוקים שהוזכרו מעלה, יש עוד מספר פירוקים חשובים ושימושיים של מטריצות למכפלת מטריצות מצורה מסוימת. רובם מתייחסים למטריצות ריבועיות אך לחלקם יש גרסאות גם למטריצות מלבניות.
* [[פירוק ברוהה]] (Bruhat) – כל מטריצה הפיכה אפשר לכתוב כמכפלה של [[מטריצה משולשית עליונה]], [[מטריצת תמורה]] ומטריצה משולשית עליונה. פירוק זה הוא מקרה פרטי של פירוק בעל אותו שם התקף כאשר מחליפים את [[החבורה הליניארית הכללית|חבורת המטריצות ההפיכות]] בכל [[חבורה רדוקטיבית]].
** [[פירוק LU]] – מפירוק ברוהה קל להסיק שכמעט כל מטריצה נתנת להצגה כמכפלה של מטריצה משולשית תחתונה ומטריצה משולשית עליונה. בהקשר זה הביטוי "כמעט כל" אומר "עבור קבוצה [[טופולוגית זריצקי|זריצקי]] [[קבוצה פתוחה|פתוחה]] ו[[קבוצה צפופה|צפופה]] של מטריצות". אם שדה הבסיס הוא [[שדה מקומי]] (לדוגמה {{R}}, {{C}} או {{Qp}}) אז מכאן נובע שהטענה מתקיימת עבור קבוצה פתוחה צפופה של מטריצות בטופולגיה "הרגילה" (ז"א בטופולוגיה המושרית מהשדה).
* [[פירוק QR]] – כל מטריצה מרוכבת (או ממשית) ניתן להציג כמכפלה של מטריצה משולשית ומטריצה אוניטרית (או אורתוגונלית, במקרה הממשי). קל להסיק את פירוק זה מ[[תהליך גרם-שמידט]] – לפירוק זה הכללות עבור חבורת רדוקטיביות מעל שדות מקומיים, הנקראות [[פירוק איווסווה]] ו[[פירוק קרטן]].
*[[פירוק לערכים סינגולריים]] – כל מטריצה ממשית אפשר לפרק למכפלה של מטריצה אורתוגונלית, מטריצה אלכסונית שעברי האלכסון בה עולים, ושוב מטריצה אורתוגונלית. לפירוק זה גם אנלוג למקרה המרוכב בעל אותו שם. הפירוק נקרה לעיתים בקיצור פירוק SVD ([[ראשי תיבות]] של השם באנגלית: Singular Value Decomposition). לפירוק גם גרסה כללית התקפה לחבורה רדוקטיבית מעל שדה מקומי, הנקראת פירוק קרטן.
*[[פירוק פולרי]] – כל מטריצה ממשית ניתן לפרק באופן יחיד למכפלה של [[מטריצה אורתוגונלית]] ו[[מטריצה סימטרית]] [[מטריצה חיובית|חיובית לחלוטין]]. לפירוק גם גרסה למטריצות מרוכבות. ניתן לראות בפירוק זה הכללה של [[קואורדינטות קוטביות]] ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]]. קל להסיק את קיומו של פירוק SVD מפירוק זה.
**פירוק פולרי למטריצות נורמליות – אם המטריצה היא נורמלית אז הפירוק הוא לשתי מטריצות מתחלפות.

===תכונות של מכפלה טנזורית===
* <math>Hom(V,Hom(W,L))\cong Hom(V\otimes W,L)</math>.
* יש [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] קנוני <math>V^*\otimes W \hookrightarrow Hom(V,W) </math>.
** אם <math>V</math> ו־<math>W</math> מממד סופי אז שיכון זה הוא [[איזומורפיזם]].
** באופן כללי יותר, ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של שיכון זה הוא אוסף האפרטורים מ[[דרגה (אלגברה ליניארית)|דרגה]] סופית (זאת אומרת שהתמונה שלהם מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי).

== שימושים ==
אלגברה ליניארית היא תחום בסיסי ביותר במתמטיקה. חלק ניכר מהמתמטיקה מתבסס על אלגברה ליניארית באופן כלשהו. האלגברה הליניארית לצידה של ה[[חדו"א]] הם התחומים המתמטיים השימושיים ביתר מחוץ למתמטיקה.

הסיבה המרכזית לשימושיות של האלגברה הליניארית היא הבסיסיות שלה. בעוד שכמעט אין בעיות במתמטיקה ומחוצה לה שנפתרות באופן בלעדי על ידי כלים מאלגברה ליניארית, במגוון עצום של בעיות האלגברה הליניארית היא השלב הראשון לעבר הפתרון.

=== באלגברה ===
{{ערך מורחב|אלגברה}}
אלגברה ליניארית משמשת דוגמה בסיסית לתחומים רבים ב[[אלגברה מופשטת|אלגברה]]. ההתנהגות של מרחבים ליניאריים, פשוטה בהרבה מההתנהגות של אובייקטים אלגבריים אחרים, והיא מהווה צעד ראשון להבנתם. לדוגמה [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]]ים מעל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] הם הכללה של מרחבים ליניאריים מעל שדה. חלק גדול מחקר מודולים מנסה לענות על השאלה "עד כמה הם שונים ממרחבים ליניאריים?". מאידך ניתן לחקור מודולים על ידי בניית מרחבים ליניאריים מהם (בדרך כלל על ידי [[מכפלה טנזורית|הכפלה טנזורית שלהם]] עם שדה מעל חוג ההגדרה).

רובה של [[תורת ההצגות]] מהווה חקר של הפעולה של אובייקטים אלגבריים על מרחבים ליניאריים.

====בתורת החבורות====
{{ערך מורחב|תורת החבורות}}
ניתן לתאר [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] רבות באמצעות האלגברה הליניארית. החבורה הבסיסית ביותר שניתן לתאר כך היא [[החבורה הליניארית הכללית]] <math>\mathrm{GL}_n</math>. חבורה זו היא חבורת [[אוטומורפיזם|האוטומורפיזמים]] של מרחב ליניארי <math>n</math>־ממדי. באופן שקול אפשר להגדיר חבורה זו בתור חבורת המטריצות ההפיכות <math>n \times n</math>. חבורות רבות ניתנות לשיכון בתוך <math>\mathrm{GL}_n</math>. חבורה שניתנת לשיכון לתוך <math>\mathrm{GL}_n</math> נקראת [[חבורה ליניארית]]. מספר ענפים ב[[תורת החבורות]] עוסקים בחקר החבורות הליניאריות מנקודות מבט שונות. מספר חבורות ליניאריות חשובות ניתנות לתיאור בתור תתי החבורות של <math>\mathrm{GL}_n</math> ששומרות על מבנה מסוים על המרחב הווקטורי. להלן הדוגמאות המרכזיות לחבורת אלה:
* <math>\mathrm{SL}_n</math> – [[החבורה הליניארית המיוחדת]] – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על [[תבנית נפח (אלגברה ליניארית)|תבנית נפח]]. באופן שקול חבורת המטריצות עם דטרמינטה 1.
* <math>\mathrm{O}_n</math> – [[החבורה האורתוגונלית]] – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על הנורמה האוקלידית, שהיא [[תבנית ריבועית]]. באופן כללי יותר אפשר להגדיר את החבורה האורתוגונלית לכל תבנית ריבועית לא מנוונת.
* <math>\mathrm{SO}_n</math> – [[החבורה האורתוגונלית המיוחדת]] – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על תבנית ריבועית ועל תבנית נפח. באופן שקול חבורת המטריצות האורתוגונליות עם דטרמיננטה 1. זוהי תת-חבורה מ[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] 2 ב־<math>\mathrm{O}_n</math>.
* <math>\mathrm{Sp}_n</math> – [[החבורה הסימפלקטית]] – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על [[תבנית אנטי-סימטרית]] (לא מנוונת). החבורה הסימפלקטית קיימת רק במרחבים מממד זוגי מכיוון שתבניות אנטי-סימטרית (לא מנוונת) יש רק בממד זוגי. אם היא קיימת אז היא יחידה (בהינתן שדה וממד).
* <math>\mathrm{U}_n</math> – [[החבורה האוניטרית]] – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על [[תבנית הרמיטית]] (לא מנוונת). בדומה לחבורות [[אורתוגונליות]] יש למעשה מספר חבורות כאלה.
* <math>\mathrm{SU}_n</math> – [[החבורה האוניטרית המיוחדת]] – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על [[תבנית הרמיטית]] (לא מנוונת) ועל תבנית נפח.
חבורות אלו נקראות חבורת ליניאריות קלאסיות (או סתם חבורות קלאסיות){{הערה|המושג חבורת קלסיות מוגדר באופן שונה בהקשרים שונים כך שלעיתים מדובר במחלקות מעט שונות של חבורות.}} אם עובדים מעל שדה סופי החבורת המתקבלות הן סופיות. בדרך כלל החבורת שמתקבלות כך אינן [[חבורה פשוטה|פשוטות]] אך קרובות מאוד ללהיות פשוטות. ניתן לקבל מחבורת אלו חבורות הפשוטות הנקראת חבורת פשוטות קלאסיות, והן מהוות את חלק הארי של [[משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות|החבורת הפשוטות הסופיות]].

=== בגאומטריה ===
{{ערך מורחב|גאומטריה}}
מרחב ליניארי (בדרך כלל מממד סופי מעל {{R}}) הוא אחד האובייקטים הגאומטריים הבסיסיים ביותר. אובייקטיים גאומטריים רבים נחקרים באמצעות מרחבים ליניאריים, למשל על ידי שיכונם לתוך מרחבים ליניאריים או הדבקתם ממרחבים ליניאריים.

ניתן לראות באלגברה הליניארית "[[גאומטריה אלגברית]] מ[[מעלה (פולינום)|מעלה]] 1": בעוד שהגאומטריה האלגברית עוסקת בקבוצות הפתרונות של מערכות משוואות [[פולינום|פולינומיות]], האלגברה הליניארית עוסקת בקבוצות הפתרונות של מערכות משוואות פולינומיות ממעלה 1, זאת אומרת מערכות משוואות ליניאריות. מנקודת מבט זאת, האלגברה הליניארית היא צעד ראשון לקראת הגאומטריה האלגברית. למעשה חלקים באלגברה הליניארית עוסקים גם בפולינומים ממעלה יותר גבוהה. למשל [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]] הן פולינומים ממעלה שנייה, ולכן מיון של תבניות ריבועיות הוא חלק חשוב במיון [[שנייונית|השנייוניות]].

אובייקטים גאומטריים רבים נראים בקרוב כמרחבים ליניאריים בסביבה של נקודה נתונה, כך ניתן לחקור בעיות גאומטריות באמצאות בעיות מאלגברה ליניארית [[קירוב (מתמטיקה)|שמקרבות]] אותם מקומית.
דרך נוספת לחקור אובייקטים גאומטריים באמצאות אלגברה ליניארית, היא באמצאות מרחב הפונקציות על אובייקט גאומטרי נתון <math>X</math>. גם אם <math>X</math> רחוק מאוד מלהית מרחב ליניארי, מרחב ה[[פונקציה|פונקציות]] מ־<math>X</math> לשדה (למשל <math>\R</math>) הוא תמיד מרחב ליניארי. במקרים רבים ניתן לתרגם בעיות גאומטריות על <math>X</math> לבעיות הקשורות לאלגברה הליניארית של מרחבי פונקציות על <math>X</math> (זאת אומרת מרחבי פונקציות מ־<math>X</math> לשדה).

לדרך חקר זאת יש מחיר. המרחבים הליניאריים המתקבלים בדרך זאת מ־<math>X</math> גדולים בהרבה מ-<math>X</math>. כך לדוגמה, גם אם <math>X</math> סופית, מרחב הפונקציות עליו אינסופי. ואם <math>X</math> איסופית מרחב הפונקציות עליו אינסוף [[ממד (אלגברה ליניארית)|ממדי]], גם אם <math>X</math> [[ממד (מתמטיקה)|מממד]] סופי.

=== באנליזה ===
{{ערך מורחב|אנליזה מתמטית}}
אחד הרעיונות המכוננים ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]] הוא הקירוב של [[פונקציה]] כללית על ידי פונקציה ליניארית. במקרה של פונקציות במשתנה אחד, פונקציה ליניארית מאופיינת על ידי השיפוע שלה, ולכן קירוב זה מוביל למושג ה[[נגזרת]]. אולם במקרה של משתנים רבים (וערכים רבים), פונקציות ליניאריות הן מרכבות יותר ולא ניתן לגלם אותן על ידי מספר אחד. חקר של פונקציות ליניאריות עם מספר ערכים במספר משתנים הוא למעשה האלגבה הליניארית.

שימוש נוסף של האלגברה הליניארית באנליזה הוא [[אנליזה פונקציונלית|האנליזה הפונקציונלית]]. האנליזה הפונקציונלית חוקרת מרחבי פונקציות במקום להתמקד בפונקציה בודדת. מרחבי הפונקציות בהם עסקת האנליזה הפונקציונלית הם בדרך כלל [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] [[מרחב טופולוגי|טופולוגיים]] [[אינסוף]] ממדיים. בכך אפשר לראות באנליזה פונקציאונלית הרחבה של האלגברה הליניארית העוסקת במרחבים וקטוריים שעליהם נתונה גם [[טופולוגיה (טופולוגיה)|טופולוגיה]].

===בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה===
{{ערכים מורחבים|ערכים=[[תורת ההסתברות]] ו[[סטטיסטיקה]]}}

אחד ממושאי המחקר הבסיסיים ב[[תורת ההסתברות]] הוא [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] [[פונקציית התפלגות|והתפלגויתהם]]. משתנה מקרי הוא פונקציה על [[מרחב הסתברות|מרחב ההסתברות]]. בהתאם, אוסף כל המשתנים המקריים (עם ערכים ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] או במרחב ליניארי) הוא [[מרחב ליניארי]].

יתר על כן, ההתפלגות של משתנה מקרי היא פונקציה ממרחב הערכים של המשתנה ל־<math>\R</math>. כך שאוסף ההתפלגויות הוא תמיד מרחב ליניארי. חלק מהפעולות בתורת ההסתברות (כמו למשל ה[[תוחלת]]) הן ליניאריות. רבות אחרות (כמו [[שונות]]), אינן ליניאריות, אך קשורות לאלגברה הליניארית.

שימושים אלה בהסתברות מתורגמים לשימושים בסטטיסטיקה.

=== במדעי המחשב התאורטיים ===
{{ערך מורחב|תאוריה של מדעי המחשב}}
שאלות אלגוריתמיות רבות במדעי המחשב מתמקדות בבעיות [[חישוביות]] באלגברה ליניארית. דוגמה נפוצה לבעיות אלה היא ביצוע יעיל ומדיוק של פירוקי המטריצות השונים שהוזכרו מעלה. התחום העוסק בשאלות אלה נקרא [[אלגברה ליניארית חישובית]] שהוא חלק מתחום ה[[אלגוריתם|אלגוריתמים]] המהווה את אחד מהתחומים המרכזיים במדעי המחשב התאורטיים.

אלגברה ליניארית מעל [[שדה סופי]] שימושית ב[[קריפטוגרפיה]], מכיוון שאפשר להציג כל מידע בתור וקטור במרחב ליניארי מעל שדה סופי, ופעולות כמו [[הצפנה]] או [[קוד|קידוד]] הופכות להעתקות בין מרחבים ליניאריים מעל שדה סופי. אמנם לא תמיד די בהעתקות ליניאריות, אך אלה מהוות נקודת התחלה טובה.

====בחישוב קוונטי====
{{ערך מורחב|חישוב קוונטי}}

ב[[חישוב קוונטי]], את תפקיד ה[[סיבית|סיביות]] מוחליפות [[סיבית קוונטית|סיביות קוונטיות]]. מצבה של סיבית קוונטית מתואר על-ידי וקטור ב־<math>\R^2</math>. מצבן של <math>n</math> סיביות קוונטיות מתואר על-ידי וקטור המכפלה הטנזורית של <math>n</math> העתקים של <math>\R^2</math>. כל הפעולות שמחשב קוונטי יכול לבצע (מלבד המדידה שקוטעת את החלק הקוונטי של החישוב), הן למעשה אופרטורים ליניאריים על מרחבים וקטוריים אלה.

===במתמטיקה שימושית===
{{ערך מורחב|מתמטיקה שימושית}}
באופן פשטני, אפשר לתאר חלק ניכר [[מתמטיקה שימושית|מהמתמטיקה השימושית]] כך: יש לנו מידע עקיף על אובייקט מסוים ואנחנו רוצים לקבל מידע ישיר עליו. מידע על אובייקטים רבים נתן לתאר על ידי רשימת מספרים. את הקשר בין המידע העקיף לישיר אפשר לתאר בתור פונקציה. כך שבמקרים רבים הבעיה לובשת את הצורה הבאה: נתונה פונקציה <math>f:\R^n\to \R^k</math> יש לנו ידע על <math>f(\vec x)</math> ואנו מעוניינים לבמידע לגבי <math>\vec x</math>. במילים אחרות, אנו מעוניינים בפתרון ה[[משוואה]] <math>f(\vec x)=\vec y</math>. אם הפוקנציה <math>f</math> היא אופרטור ליניארי אז הבעיה הופכת ל[[מערכת משוואות ליניאריות]] שזאת אחת הבעיות המכוננות של האלגברה הליניארית. באופן מעשי, נדירות הן הבעיות שבהן זה המצב. עם זאת, פונקציות רבות ניתנות לקירוב מקומי על ידי פונקציות ליניאריות, וחקר [[מערכת משוואות ליניאריות]] הוא כמעט תמיד צעד ראשון בחקר הפתרונות של כל משוואה.
====במדע הנתונים====
{{ערך מורחב|מדע הנתונים}}
[[מדע הנתונים]] עוסק במציאת תבניות {{אנ|Pattern}} על נתונים. בדרך כלל ניתן להתאים לכל נתון ערך [[מספר]]י (למשל [[אחוז]] ה[[סוכר]] ב[[דם|דמו]] של חולה). בדרך כלל הנתונים מאוגדים ל[[רשומה (מסדי נתונים)|רשומות]] מתאימות (למשל, אם אנו מעוניינים לנתח תוצאות [[בדיקת דם|בדיקות]] רבות של חולים רבים, ניתן לאגד את כל הבדיקות שנעשו עבור חולה נתון ברשומה אחת). כל רשומה מתאימה לוקטור ב־<math>\R^n</math>. וסך כל הנתונים מתאימים לקבוצת נקודות ב־<math>\R^n</math>. כך שמנקודת מבת זאת ניתן לנסח את הבעיה המכוננת של מדעי הנתונים בתור מציאת תבניות בקבוצות נקודות ב־<math>\R^n</math>.

אחת התבניות הפשוטות ביותר שניתן לדמין היא קשר ליניארי בין הנקודות. לדוגמה כל הנקודות נמצאות באותו תת-מרחב ליניארי של <math>\R^n</math>. במציאות, קשר כזה כמעט לעולם לא מתקיים. אולם תבניות רבות אחרות מבוססות על קשר ליניארי באופן זה או אחר.

====בלמידת מכונה====
{{ערך מורחב|למידת מכונה}}
[[למידת מכונה]] מבוססת על ניסיון לבנות מערכת שתתאים למשימה כלשהי או הרבה משימות שונות באופן הבא: המערכת מקבלת קלט, מעבדת אותו ופולטת פלט. צורת העיבוד תלויה בפרמטרים רבים, שאינם חלק מהקלט, אך ניתנים לשינוי. הרעיון הוא שניתן, לפי ביצועי המערכת, לטייב את בחירת הפרמטרים עד לקבלת ביצועיים מיטביים.

בדרך כלל, הן הפרמטרים, הן הקלט והן הפלט מורכבים ממספרים. כך שאפשר לחשוב על כל אחד משלושת אלה כעל וקטור במרחב ליניארי. הקשרים בין השלושה בדרך כלל לא ליניאריים כלל, אולם גם כאן קשר ליניארי הוא אחד הקשרים הפשוטים ביותר שאפשר לדמיין והוא מהווה בסיס לקשרים מורכבים יותר.
===== ברשתות נוירוניות =====
{{ערך מורחב|רשת עצבית מלאכותית}}

דוגמה מרכזית למכונה לומדת היא [[רשת עצבית מלאכותית|רשת נוירונים]]. ברשת נוירונים ה[[פונקציה]] שמקשרת בין ה[[קלט]] ל[[פלט]] בנויה מ[[הרכבה (מתמטיקה)|הרכבה]] לסירוגין של אופרטורים ליניארים (או ליתר דיווק [[טרנספורמציה אפינית|אפיניים]]) והעתקות לא ליניאריות פשוטות מאוד שפועלות על כל קואורדינאטה בנפרד. הפרמטרים של רשת נוירונים הם האופרטורים הליניאריים בהרכבה. מכיוון שאוסף האופרטורים הליניאריים בין שני מרחבים וקטוריים מממד סופי מהווה גם הוא מרחב וקטורי מממד סופי, מספר הפרמטרים גם הוא סופי.

במבט ראשון יכול להראות שהפונקציה שמספקת רשת נוירונים דומה לפונקציה ליניארית. "חוסר הליניאריות" היחיד מתבטא בפונקציה קבועה ופשוטה שפועלת על כל קואורדינטה בנפרד. אולם, העובדה שההרכבה מתבצעת לסירוגין, מאפשרת לקבל פונקציות מגוונות בהרבה מאשר סתם פונקציות ליניאריות. ואכן, [[המאה ה-21|במאה ה-21]] התברר שרשתות נוירוניות עם מספר קטן יחסית של שלבי הרכבה (בדרך כלל פחות מ-20) מצליחות להתמודד עם משימות מורכבות ביותר. מאידך העובדה שרשתות נוירונים מורכבות בעיקרן מהעתקות ליניאריות מקלה על המחקר שלהן באמצעות האלגברה הליניארית.

===במדעי המחשב הישומיים===
{{ערך מורחב|מדעי המחשב הישומיים}}
====בגרפיקה ממוחשבת====
{{ערך מורחב|גרפיקה ממוחשבת}}
אחת המשימות הבסיסיות ב[[גרפיקה ממוחשבת]] היא הצגת עולם תלת-ממדי בתמונה דו-ממדית. העולם התלת-ממדי מתואר על ידי המרחב <math>\R^3</math> בעוד שהתמנה הדו-ממדית מתוארת על ידי המרחב <math>\R^2</math>. כך שהגרפיקה הממוחשבת עוסקת רבות בהעתקות בין <math>\R^3</math> ל־<math>\R^2</math>. ולהפך. אומנם העתקות אלה לא תמיד ליניאריות אך הן כמעט תמיד מבוססות על העתקות ליניאריות.

====בעיבוד תמונה ואותות====
{{ערכים מורחבים| ערכים= [[עיבוד תמונה]] ו[[עיבוד אותות]]}}

מנקודת מבט דיגיטלית, תמונה היא רשימת מספרים (עוצמת צבע של כל [[פיקסל]] בכל אחד [[ערוץ צבע|מערוצי הצבע]]). באופן דומה גם אות הוא רשימת מספרים (עצמת האות בכל רגע שנדגם). לכן אוסף כל התמונות (בגודל נתון) הוא מרחב וקטורי. זה גם המצב עבור אוסף כל האותות. לכן כל פעולת [[עיבוד תמונה]] או [[עיבוד אותות]] היא למעשה העתקה ממרחב וקטורי אחד למשנהו. חלק גדול מההעתקות החשובות בעיבוד תמונה ועיבוד אותות הן ליניאריות (למשל [[התמרת פוריה]] או [[קונבולוציה]] עם [[גרעין (קונבולוציה)|גרעין]] נתון). גם ההתמרות הלא ליניאריות מבוססות במקרים רבים על התמרות ליניאריות.

===בפיזיקה===
{{ערך מורחב|פיזיקה}}
אוסף כל המצבים של [[מערכת פיזיקלית]] מהווה מוקד עניין בפיזיקה. במקרים רבים אוסף זה הוא מרחב ליניארי. לדוגמה, אם אנחנו מתעניינים בשלושה כוכבי לכת הנעים בחלל, מצבו של כל אחד מהם מתואר לצורך העינין על ידי נקודה במרחב (מרכז הכובד שלו). אוסף כל שלוש הנקודות במרחב הוא מרחב ליניארי 9 ממדי (בהנחה שבחרנו ראשית למרחב, אחרת מדובר ב[[מרחב אפיני]]).

גם במקרים שאוסף זה לא מהווה מרחב ליניארי, אפשר לחקור אותו בדרך כלל במונחים של אלגברה ליניארית (כמו בדוגמאות למעלה).

כמו כן, גדלים פיזיקליים רבים, לרבות [[מהירות]], [[תנע]], [[כוח (פיזיקה)|כוח]], [[מהירות זוויתית]], [[טנזור התמד]], [[מומנט כוח]] ועוד הם וקטורים במרחבים ליניאריים מתאימים.
====במכניקת הקוונטים====
{{ערך מורחב|מכניקת הקוונטים}}

בשונה מפיזקה קלאסית בה אוסף המצבים לא תמיד מהווה מרחב ליניארי ויחסי הגומלין בין גורמים פיזיקליים שונים כמעט לעולם אינם ליניאריים, בפיזיקה קוונטית אוסף המצבים הקוונטיים של מערכת מהווה [[מרחב הילברט]] (זהו מרחב ליניארי עם מבנה נוסף) ויחסי הגומלין בין הרכיבים הפיזיקליים השונים כמעט תמיד מתוארים על ידי אלגברה ליניארית. הדבר מתאפשר מכיוון שהמרחבים הליניאריים המדוברים הם בדרך כלל אינסוף ממדיים.

===ביתר המדעים ובטכנולוגיה===
{{ערכים מורחבים| ערכים= [[מדע]] ו[[טכנולוגיה]]}}
השימושים של האלגברה הליניארית [[מתמטיקה שימושית|במתמטיקה השימושית]] הופכים אותה לכלי חשוב ב[[מדע]] וב[[טכנולוגיה]]. [[המאה ה-21|במאה ה-21]], עם שיפור יכולת העיבוד ואיסוף הנתונים הפכו [[מדעי הנתונים]] לכלי מרכזי במדע והטכנולוגיה. יחד איתם הפכה האלגברה הליניארית לכלי אפילו חשוב יותר ממה שהייתה קודם.

אלגברה ליניארית משומשת רבות גם [[בעיבוד קול]],מ[[משחק מחשב|שחקי מחשב]],ו[[מחשב קוונטי|חישוב קוונטי]] ונחשבת בין הנושאים המתמטים השימושיים ביותר.

== לקריאה נוספת ==
{{הפניה לספר ויקיפדיה|אלגברה ליניארית}}
* '''אלגברה ליניארית''', האוניברסיטה הפתוחה
* '''אלגברה ליניארית 2''', האוניברסיטה הפתוחה, תשמ"ב
* [[שמשון עמיצור]], '''אלגברה א'''', האוניברסיטה העברית, תש"ל
* [[אמנון יקותיאלי]], [http://www.math.bgu.ac.il/~amyekut/book/lin_alg_book.html מבוא לאלגברה ליניארית], המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בן-גוריון
* בן ציון קון ואברהם ברמן, '''אלגברה ליניארית'''
* סיימור ליפשיץ, '''אלגברה ליניארית'''
* [[שלמה הבלין]] ויפית מעין, [https://havlin.ph.biu.ac.il/wp-content/uploads/2021/01/LinearAlgebra311215.pdf אלגברה ליניארית - תאוריה ותרגילים], אוניברסיטת בר-אילן

== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab סדרת סרטונים על אלגברה ליניארית] בערוץ [[3Blue1Brown]].
* [http://www.math.odu.edu/~bogacki/lat/ Linear Algebra Toolkit]
* [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/index.htm אלגברה ליניארית - קורס שלם בווידאו (אנגלית)]
* [http://www.youtube.com/playlist?list=PL3FE95A15AFC19789 קורס שלם בווידאו (עברית)]
* [http://code.google.com/p/esla/ תוכנה חופשית] לוויזואליזציה של מושגי יסוד באלגברה ליניארית.
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007293931805171|אלגברה ליניארית}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{אלגברה ליניארית}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אלגברה ליניארית|*]]
[[קטגוריה:אלגברה]]