הצגת המקור של הדף "אלגברה מממד סופי"

'''אלגברה מממד סופי''' היא [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], שהיא בעלת [[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד סופי]]. הממד הסופי מאפשר להפעיל שיקולים אלגבריים כלליים בקלות יחסית, ולכן תורת המבנה של אלגברות מממד סופי, לרבות תיאור המודולים מעליה, מפותחת היטב.

לפי '''משפט ארטין''', אלגברה פשוטה מממד סופי היא אלגברת מטריצות מעל חוג עם חילוק.

== המנה הפשוטה למחצה ==
תהי A אלגברה מממד סופי מעל שדה F. נסמן ב-rad(A) את ה[[רדיקל ג'ייקובסון|רדיקל]] של האלגברה (מכיוון שהממד סופי, כל הרדיקלים המוכרים מתלכדים). אלגברת המנה A/rad(A) [[חוג פשוט למחצה|פשוטה למחצה]], כלומר, היא מתפרקת לסכום ישר של אלגברות פשוטות, שכולן כמובן מממד סופי.

האלגברה A '''מפוצלת''' אם כל המרכיבים בפירוק הזה הם מטריצות מעל F (זו הדרך להבטיח שמספר המרכיבים לא יגדל תחת [[הרחבת סקלרים|הרחבה]] של שדה הבסיס). כל אלגברה אפשר לפצל באמצעות הרחבה סופית של שדה הבסיס. האלגברה '''בסיסית''' אם כל המרכיבים בפירוק הם חוגים עם חילוק. בפרט, האלגברה מפוצלת בסיסית אם המנה A/rad(A) היא סכום ישר של עותקים של F. כל אלגברה מפוצלת [[שקילות מוריטה|שקולה במובן מוריטה]] לאלגברה מפוצלת בסיסית.

== המודולים מעל האלגברה ==
לפי [[משפט קרול-שמידט]], כל [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] שמאלי מממד סופי מעל A מתפרק באופן יחיד (עד כדי סדר) לסכום ישר של מודולים אי-פרידים (מודולים שאי אפשר לפרק כסכום ישר של תת-מודולים). משום כך, בכל משפחה משמעותית של מודולים, המודולים האי-פרידים הם האטומים שבאמצעותם אפשר להציג כל מודול אחר. שלוש המשפחות העיקריות הן של מודולים [[מודול פרויקטיבי|פרויקטיביים]], [[מודול פשוט|פשוטים]] ו[[מודול אינג'קטיבי|אינג'קטיביים]].

כל מודול פרויקטיבי מעל A אפשר להציג בצורה <math>Ae</math> כאשר e [[אידמפוטנט]]; המודול אי-פריד אם ורק אם האידמפוטנט פרימיטיבי.

האלגברה A מתפרקת לסכום ישר של מודולים אי-פרידים כמודול מעל עצמה. המרכיבים בפירוק <math>A = P_1 \oplus \cdots \oplus P_t</math> הם ה[[מודול פרויקטיבי|מודולים הפרויקטיביים]] האי-פרידים, ומכאן שמספרם של אלו סופי. אפשר לתאר את הפירוק באמצעות מערכת מקסימלית של אידמפוטנטים אורתוגונליים (היינו, כאשר האידמפוטנטים פרימיטיביים). כל המערכות המקסימליות של אידמפוטנטים אורתוגונליים צמודות זו לזו (על ידי איבר הפיך של האלגברה). עבור כל פירוק של A לסכום של מרכיבים אי-פרידים, יש מערכת מקסימלית של אידמפוטנטים <math>e_1,\dots,e_t</math> כך ש-<math>P_i = Ae_i</math> לכל i; ולהפך, מערכת מקסימלית של אידמפוטנטים משרה פירוק של A לפי אותה נוסחה.

הרדיקל rad(M) של מודול M מוגדר כחיתוך תת-המודולים המקסימליים שלו. אם M מממד סופי, המנה M/rad(M) פשוטה למחצה, כלומר סכום של מודולים פשוטים. אם P מודול פרויקטיבי אי-פריד, אז P/rad(P) מודול פשוט, וכל מודול פשוט מתקבל כך באופן יחיד. זוהי התאמה חד-חד-ערכית בין המודולים הפרויקטיביים האי-פרידים של A, לבין המודולים הפשוטים.

העתקה ממודול פרויקטיבי למודול אחר היא "כיסוי פרויקטיבי" אם הגרעין שלה מוכל ברדיקל. העתקה ממודול כלשהו לתוך מודול אינג'קטיבי היא "מעטפת אינג'קטיבית" אם התמונה היא [[תת-מודול גדול]] (כזה שנחתך עם כל תת-מודול). לכל מודול פרויקטיבי <math>P_i</math>, יש מודול פשוט <math>S_i</math> ומודול אינג'קטיבי <math>I_i</math> כך שבשרשרת <math>P_i \rightarrow S_i \rightarrow I_i</math> ההעתקה הראשונה היא כיסוי פרויקטיבי והשניה מעטפת אינג'קטיבית. כל מודול אינג'קטיבי אי-פריד מתקבל כך באופן יחיד. אם כך, יש התאמה חד-חד-ערכית בין מודולים פשוטים, פרויקטיביים אי-פרידים, ואינג'קטיביים אי-פרידים. יתרה מזו, אם <math>P_i = Ae_i</math>, אז <math>S_i=(A/rad(A))e_i</math> ו-<math>I_i = \operatorname{Hom}(e_iA,F)</math>.

== אלגברות מסילה ==
[[אלגברת מסילות|אלגברות מסילה]] (path algebra) מספקות כלי קומבינטורי יעיל לתיאור אלגברות מממד סופי. אלגברת המסילה של קוויבר Q (קוויבר אינו אלא [[גרף מכוון]]) היא האלגברה הנפרשת על ידי כל המסלולים ב-Q (לרבות המסלולים באורך 0), עם פעולת הכפל לפי הרכבת מסלולים כאשר תחנת הסיום של המסלול הראשון מתלכדת עם תחנת המוצא של המסלול השני (המכפלה היא אפס אם התחנות לא מתלכדות).

אלגברה מפוצלת בסיסית היא [[חוג תורשתי|תורשתית]] (כלומר, כל תת-מודול של מודול פרויקטיבי הוא פרויקטיבי; שקול לזה - ה[[ממד גלובלי|ממד הגלובלי]] הוא 0 או 1) אם ורק אם היא אלגברת המסילות של קוויבר נטול מעגלים. כל אלגברה מפוצלת בסיסית A אפשר לתאר כמנה FQ/I כאשר FQ היא אלגברת המסילה של קוויבר (יחיד) Q, ו-I אידיאל המוכל באידיאל המקסימלי J של FQ ומכיל חזקה כלשהי של J. האידיאל I (על אף שאינו יחיד) מספק את היחסים בייצוג של A לפי Q.

[[קטגוריה:תורת ההצגות]]
[[קטגוריה:אלגברה]]