הצגת המקור של הדף "אלגברה פשוטה מרכזית"

'''אלגברה פשוטה מרכזית''' היא [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] [[חוג פשוט|פשוטה]] מ[[ממד (אלגברה)|ממד]] סופי מעל ה[[מרכז (אלגברה)|מרכז]] שלה. האלגבראות הפשוטות הן אבני היסוד בתורת המבנה של אלגבראות, ומחקרן תורם להבנת המבנה הכללי של חוגים. לאובייקטים אלו מבנה עשיר, הקשור גם לתחומים אחרים במתמטיקה, כמו [[תורת הקוהומולוגיה]] של מבנים אלגבריים שונים.

==תורת המבנה==
על פי [[משפט ודרברן-ארטין]], כל אלגברה פשוטה מרכזית <math>A</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>F</math> [[איזומורפיזם|איזומורפית]] ל[[חוג מטריצות]] מעל [[חוג עם חילוק]] <math>A \cong M_n(D) \cong M_n(F)
 \otimes D</math>; חוג זה יחיד עד כדי איזומורפיזם, ומהווה אף הוא אלגברה פשוטה מרכזית (מעל אותו השדה). נובע כי ה[[ממד (אלגברה)|ממד]] של אלגברה פשוטה מרכזית הוא מספר ריבועי. ה[[מכפלה טנזורית|מכפלה הטנזורית]] של אלגבראות פשוטות מרכזיות אף היא פשוטה מרכזית (על פי [[משפט המרכז הכפול]]). על פי [[משפט סקולם-נתר]], כל [[אוטומורפיזם]] של אלגברה פשוטה מרכזית הוא [[אוטומורפיזם פנימי]] - כלומר, הצמדה באיבר מהאלגברה; משפט זה מאפשר להוכיח טענות רבות בתחום.

ה[[אינדקס (אלגברה)|אינדקס]] של האלגברה הפשוטה המרכזית <math>A</math> הוא הממד של חוג החילוק הליבתי שלה: <math>ind(A) = [D:F]</math>. בהינתן [[המשפט היסודי של האריתמטיקה|פירוק לגורמים ראשוניים]] של האינדקס, <math>ind(D) = \prod_{i=1}^{k}{p_i^{n_i}}</math>, ניתן לכתוב <math>D \cong \overset { k }{ \underset { i=1 }{ \otimes }  } {D_i}</math> כאשר <math>D_i</math> אלגברת חילוק מממד <math>p_i^{n_i}</math>. לכן, כל אלגברה פשוטה מרכזית ניתן להביא למבנה <math>A\cong M_n(F) \otimes \left(\overset { k }{ \underset { i=1 }{ \otimes  }  } { D_{ i } }\right) </math>.

==דוגמאות==
הדוגמה הבסיסית לאלגבראות פשוטות מרכזיות היא מעל [[שדה המספרים הממשיים]] <math>R</math>, הכוללות את שדה הממשיים עצמו <math>\mathbb{R}</math>, שדה המספרים המרוכבים <math>\mathbb{C}</math> ו[[אלגברת הקווטרניונים של המילטון]] <math>\mathbb{H}</math>, ואת כל חוגי המטריצות מעליהם. כמסקנה מ[[משפט הורוויץ (אלגברה)|משפט הורוויץ]], המסווג תכונות של [[אלגברת הרכבה|אלגבראות הרכבה]] מעל שדות מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] לא 2, אלו הן האלגבראות הפשוטות (ה[[אסוציאטיביות]]) היחידות מעל שדה הממשיים.

דוגמאות מעט כלליות יותר לאלגבראות פשוטות מרכזיות הן ה[[אלגברה ציקלית|אלגבראות ציקליות]], המכילות תת-שדה [[הרחבת גלואה|גלואה]] מקסימלי המהווה הרחבה ציקלית מעל שדה הבסיס; מבנים אלו כוללים בפרט את כל [[אלגברת קווטרניונים|אלגבראות הקווטרניונים]] - אלגבראות ציקליות מממד 4, הכוללות את '''כל''' האלגבראות הפשוטות המרכזיות מממד 4.

==חבורת בראואר==
{{ערך מורחב|חבורת בראואר}}
לאחר היכרות בסיסית עם מבנה האלגבראות הפשוטות המרכזיות, ניתן להגדיר את [[חבורת בראואר]]. שתי אלגבראות פשוטות מרכזיות <math>A_1, A_2</math> מעל אותו שדה הן '''שקולות לפי יחס בראואר''' אם יש להן אותה אלגברת חילוק ליבתית, כלומר <math>A_1 \cong M_n(D)</math> ו-<math>A_2 \cong M_m(D)</math>. כעת, חבורת בראואר <math>Br(F)</math> של השדה <math>F</math> היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] אשר איבריה הם מחלקות השקילות הללו, בה הפעולה היא [[מכפלה טנזורית]] והאיבר ההפכי הוא [[החוג המנוגד|האלגברה המנוגדת]]. 

בהינתן [[הרחבת גלואה]] <math>K/F</math>, '''חבורת בראואר היחסית''' להרחבה זו היא החבורה <math>Br(K/F)</math> המכילה את כל האלגבראות ה[[שדה פיצול#שדה פיצול של אלגברה פשוטה מרכזית|מפוצלות]] על ידי השדה <math>K</math>. איחוד על כל הרחבות הגלואה של חבורות הבראואר היחסיות נותן את חבורת בראואר של השדה.

חבורת בראואר היא אובייקט בעל מבנה עשיר ומעניין, הקשור גם ל[[תורת הקוהומולוגיה]] של מבנים אלגבריים. למידת מבנה החבורה ותכונותיה מאפשרת [[הסקת מסקנות]] אודות תיאורית המבנה של אלגבראות פשוטות מרכזיות.

==הכללה - אלגבראות ספרביליות מרכזיות==
{{ערך מורחב|אלגברת אזומיה}}
הכללה טבעית למבנה זה היא למקרה שבו מבנה הבסיס איננו שדה; במקרה זה, חוקרים '''אלגבראות ספרביליות מרכזית''' - אלו הן אלגבראות [[מודול נאמן|נאמנות]], [[אלגברה ספרבילית|ספרביליות]] ומרכזיות מעל חוג בסיס נתון. תכונות מבנה רבות שמתקיימות בתורה שהוצגה לעיל, נשמרות גם כאשר עוברים למקרה הכללי יותר (כמו מכפלות טנזוריות, משפט המרכז הכפול). בפרט, ניתן להגדיר את חבורת בראואר של חוג באופן דומה כלעיל.

==ראו גם==
* [[חוג פשוט]]
* [[חבורת בראואר]]
* [[אלגברת אזומיה]]

[[קטגוריה:טיפוסי חוגים|פשוטה מרכזית]]