הצגת המקור של הדף "אלגברות קיילי-דיקסון"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
במתמטיקה, '''אלגברות קיילי-דיקסון''' הן האלגברות המתקבלות באמצעות [[בניית קיילי-דיקסון]] (עם הקבוע 1-) מן ה[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] של ה[[שדה המספרים הממשיים|מספרים הממשיים]]. האלגברה הראשונה בסדרה היא [[שדה המספרים המרוכבים]]. אחר-כך מקבלים את [[אלגברת הקווטרניונים של המילטון]] ואת [[אלגברת האוקטוניונים]], ש[[אלגברה אלטרנטיבית|אלטרנטיבית]] אך לא [[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיבית]]. בהמשך הסדרה מתקבלות אלגברות לא אלטרנטיביות (ובפרט לא אסוציאטיביות) נוספות פשוטות ממימד 16, 32, 64, וכן הלאה.

לכל אלגברת קיילי-דיקסון יש [[אינוולוציה (אלגברה)|אינוולוציה]] המכלילה את פעולת ה[[צמוד מרוכב|צמוד המרוכב]], ובאמצעותה מוגדרת [[תבנית ריבועית|תבנית]] [[נורמה (אלגברה)|נורמה]]: הנורמה של איבר היא מכפלתו בצמוד שלו. האלגברות המתקבלות במהלך הבניה מאבדות תכונות חשובות בזו אחר זו: השדה הממשי הוא האלגברה היחידה שכל איבריה סימטריים; השדה המרוכב הוא האלגברה הקומוטטיבית האחרונה; אלגברת הקווטרניונים היא האלגברה האסוציאטיבית האחרונה; ואילו אלגברת האוקטוניונים היא ה[[אלגברה אלטרנטיבית|אלגברה האלטרנטיבית]] האחרונה, וגם האחרונה שאין בה מחלקי אפס. עם זאת, כולן [[אלגברה ריבועית|ריבועיות]] ומקיימות את [[הזהות הגמישה]]. הן [[אלגברה פשוטה|פשוטות]], והמרכז שלהן שווה לשדה הבסיס.

אפשר להכליל את הבניה כך שתעבוד מעל כל שדה בסיס. באופן כזה מתקבלות בצעד השני של הבניה כל [[אלגברת קווטרניונים|אלגברות הקווטרניונים]], ובצעד השלישי כל [[אלגברת אוקטוניונים|אלגברות האוקטוניונים]] -- ראו [[בניית קיילי-דיקסון]].

== מספרים מרוכבים כזוג סדור ==
[[מספר מרוכב|המספרים המרוכבים]] יכולים להירשם כזוג סדור <math>(a,b)</math> של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] <math>a</math> ו-<math>b</math>, עם חיבור שמוגדר רכיב רכיב ומכפלה שמוגדרת כך:
<br /><math>\left( a,b \right)\left( c,d \right)=\left( ac-db,ad+cb \right)</math>
<br />מספר מרוכב שהרכיב השני שלו שווה לאפס מתלכד עם מספר ממשי: המספר המרוכב <math>(a,0)</math> הוא המספר הממשי <math>a</math>.

על המספרים המרוכבים אפשר להגדיר [[אינוולוציה (תורת החוגים)|אופרטור הצמדה]], לפי <math>\overline{\left( a,b \right)}=\left( a,-b \right)</math>. לפונקציה הזו יש התכונה
<math>\overline{\left( a,b \right)}\left( a,b \right)=\left( aa+bb,ab-ba \right)=\left( a^{2}+b^{2},0 \right)</math>, כך שכפל של מספר בצמוד שלו נותן תמיד מספר ממשי אי שלילי. בדרך זו, הצמדה מגדירה נורמה, שהופכת את המספרים המרוכבים ל[[מרחב נורמי]] מעל המספרים הממשיים: הנורמה של מספר מרוכב <math>z</math> היא:
<math>\left| z \right|=\left( \bar{z}z \right)^{{1}/{2}\;}</math>. הצמוד מאפשר לחשב את ההפכי של כל מספר מרוכב שונה מאפס: <math>z^{-1}={{\bar{z}}}/{\left| z \right|^{2}}\;</math>.

אפשר לראות בפעולת ההצמדה הכללה של [[פונקציית הזהות]] על הממשיים. במובן זה, תכונת המספרים הממשיים להיות צמודים לעצמם אבדה בתהליך, והיא אינה נכונה עוד במספרים המרוכבים.

== צעד שני: הקווטרניונים ==

[[אלגברת הקווטרניונים של המילטון]] מתקבלת מן המספרים המרוכבים באופן דומה. החיבור של [[זוג סדור|זוגות סדורים]] הוא לפי רכיבים, ואת פעולת הכפל מגדירים לפי הנוסחה <math>\left( a,b \right)\left( c,d \right)=\left( ac-d\bar{b},\bar{a}d+cb \right)</math>; מכיוון ש-<math>\left( a,0 \right)\left( c,0 \right)=\left( ac,0 \right)</math>, המרוכבים מהווים תת-חוג של האלגברה החדשה, שאינה קומוטטיבית. גם לאלגברת הקווטרניונים יש [[אינוולוציה (תורת החוגים)|אינוולוציה]], המוגדרת לפי <math>\overline{\left( a,b \right)}=\left( \bar{a},-b \right)</math>, ומקיימת <math>\overline{\left( a,b \right)}\left( a,b \right)=\left( \bar{a},-b \right)\left( a,b \right)=\left( \bar{a}a+\bar{b}b,ab-ba \right)=\left( \left| a \right|^{2}+\left| b \right|^{2},0 \right)</math>. מכיוון שתוצאת הכפל היא מספר ממשי הפיך, כל איבר שונה מאפס הוא הפיך ולכן האלגברה היא [[חוג עם חילוק|אלגברה עם חילוק]].

== צעד שלישי: האוקטוניונים ==

אותה נוסחת כפל עבור זוגות סדורים של קווטרניונים, <math>\left( a,b \right)\left( c,d \right)=\left( ac-d\bar{b},\bar{a}d+cb \right)</math>, מגדירה אלגברה חדשה הנקראת [[אלגברת קיילי]], ש[[אלגברה לא אסוציאטיבית|אינה אסוציאטיבית]] (הדוגמה המוכרת ביותר לאלגברת קיילי היא [[אוקטוניונים|אלגברת האוקטוניונים]]). האלגברה הזו מקיימת זהות חלשה יותר: היא [[אלגברה אלטרנטיבית|אלטרנטיבית]]. תבנית הנורמה שלה, בתור [[מרחב וקטורי]] מממד 8 מעל הממשיים, היא סכום של שמונה ריבועים. הנורמה כפלית, ונותנת נוסחת כפל לסכומים מסוג זה (שאינה קיימת בממדים גבוהים יותר).

== ממד 16 ואילך ==
אותה נוסחת כפל, המיושמת לזוגות סדורים של אוקטוניונים, נותנת אלגברה מממד 16, הנקראת "אלגברת הסדניונים". אלגברה זו אינה אלטרנטיבית. באופן כזה אפשר להמשיך לבנות אלגברות מממד <math>\ 2^n</math> לכל n. לפי משפט שהוכיח [[ריצ'רד שייפר]] (בשנת 1954), אלגברות אלו מקיימות כולן את [[הזהות הגמישה]], <math>\ x(yx)=(xy)x</math>.

תבנית הנורמה של אלגברת קיילי-דיקסון מממד <math>2^n</math> היא סכום של ריבועים כמספר הזה. מעל [[שדה סדור]] זוהי [[תבנית ריבועית#תבניות ריבועיות רגולריות|תבנית אנאיזוטרופית]], ולכן כל '''האיברים באלגברות קיילי-דיקסון הם הפיכים''', כלומר לכל איבר <math>x</math> קיים <math>x'</math> כך ש-<math>xx'=x'x=1</math>. עם זאת, באלגברת קיילי-דיקסון מממד 16 יש [[מחלק אפס|מחלקי אפס]], והיא אינה [[אלגברה לא אסוציאטיבית#אלגברה לא אסוציאטיבית עם חילוק|אלגברת חילוק]]: לא לכל המשוואות <math>ax = b</math> יש בה פתרון יחיד. זאת אינה סתירה שכן יכול להתקיים <math>y = (x'x)y \ne x'(xy) = 0</math>.

== ראו גם ==
* [[בניית קיילי-דיקסון]]

{{מערכות מספרים}}
{{תרשים מערכות מספרים}}
[[קטגוריה:אלגברה לא אסוציאטיבית]]
[[קטגוריה:סדרות של מבנים אלגבריים]]