הצגת המקור של הדף "אלגברת בנך"

ב[[מתמטיקה]], '''אלגברת בנך''' היא [[מרחב בנך]]  שהוא גם [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] (מעל שדה הסקלרים) כך שפעולת הכפל היא רציפה. באופן פורמלי, מרחב בנך <math>(X,+,\| \cdot \| )</math> יחד עם [[העתקה ביליניארית]] 
<math>(x,y)\mapsto x\cdot y</math> 
נקרא אלגברת בנך אם מתקיים:

# <math>(X,+,\cdot )</math> הוא [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] אסוציאטיבית.
# לכל שני איברים באלגברה מתקיים <math> \| x\cdot y\| \leq \|x\| \| y\| </math>.

אלגבראות בנך קרויות על שמו של [[סטפן בנך]].

==דוגמאות==

# [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]], כמרחב בנך מעל עצמם ויחד עם פעולת הכפל הסטנדרטית, הם אלגברת בנך. בדומה, [[שדה המספרים המרוכבים|המספרים המרוכבים]] הם אלגברת בנך מעל עצמם.
# המספרים המרוכבים, עם ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] כ[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] ופעולת הכפל הסטנדרטית, הם אלגברת בנך מעל המספרים הממשיים.
# אלגברת המטריצות מסדר <math> n\times n </math> היא אלגברת בנך ביחס לכל נורמה תת-כפלית.
# [[אלגברת הקווטרניונים]] היא אלגברת בנך מעל הממשיים.
# אוסף כל [[פונקציה רציפה|הפונקציות הרציפות]] מ[[מרחב טופולוגי]] [[מרחב קומפקטי|קומפקטי]] לשדה המרוכבים, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.
# אוסף [[פונקציה הולומורפית|הפונקציות ההולומורפיות]] על [[קבוצה קומפקטית]] במישור המרוכב, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.

==תכונות==

# אלגבראות בנך עם יחידה הן מסגרת נוחה לטיפול בתורה הספקטרלית. לכל איבר <math>x </math> באלגברת בנך ניתן להגדיר את ה[[ספקטרום של אופרטור|ספקטרום]] של <math> x </math> כאוסף כל הסקלרים <math> \lambda </math> כך ש <math>x-\lambda 1 </math> איננו הפיך. הספקטרום של איבר באלגברת בנך הוא תמיד קומפקטי ואם שדה הסקלרים הוא המספרים המרוכבים, הספקטרום איננו ריק.
# באלגבראות בנך יש תחשיב פונקציונלי הולומורפי: לכל איבר <math>x </math> ולכל פונקציה הולומורפית <math>f </math> שמוגדרת על הספקטרום של <math>x </math>, ניתן להגדיר את <math> \ f(x) </math>

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:מבנים אלגבריים]]
[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]