הצגת המקור של הדף "אלגברת מנה"

'''אלגברת המנה''' - הכללה של [[חבורת המנה]] ו[[חוג המנה]] ל[[מבנה אלגברי]] כללי. משמשת בין היתר להכללת [[משפטי האיזומורפיזם]] ב[[אלגברה אוניברסלית]].

'''הגדרה:'''

יהי <math>(A;f_1,...,f_n)</math> מבנה אלגברי עם n פעולות, ויהא <math>\equiv</math>[[יחס שקילות]] על אברי A כך שלכל פעולה  <math>f_j</math>,  אם מתקיים  <math>a_i\equiv b_i</math> עבור i=1...k ,מתקיים גם:

<math>f_j(a_1,...,a_k)\equiv f_j(b_1,...,b_k)</math>
  
יחס השקילות משרה מבנה אלגברי חדש שנקרא  ''אלגברת מנה''   <math>A/\equiv</math> שאבריו הם מחלקות השקילות המתאימות עם הפעולות:
<math>f_j([a_1],...,[a_k])=[f_j(a_1,...,a_k)\big] </math> (לפי <math>\equiv</math>)




'''דוגמה '''-'''הכללה של [[משפט האיזומורפיזם הראשון]]:'''

יהיו A ו-B מבנים אלגבריים ויהא  F [[אפימורפיזם]] מ-A על-B,אזי:

''A/''Φ איזומורפי ל-B. כש- Φ יחס השקילות המוגדר על אברי A כך:<math>a\equiv b</math> אם ורק אם <math>F(a)=F(b\big)</math>.

'''הוכחה(חלקית) :'''

תחילה נוכיח ש-Φ משרה אלגברת מנה:

תהי <math>f_j</math> פעולה k-ארית, ויהיו  <math>a_i\equiv b_i</math>(לפי Φ) עבור i=1...k (זאת אומרת  <math>F(a_i)=F(b_i\big)</math> עבור i=1...k).
מכאן נובע ש,<math>F(f_j(a_1,...,a_k))=(\hat{f_j}(F(a_1)),...,\hat{f_j}(F(a_k)))=(\hat{f_j}(F(b_1)),...,\hat{f_j}(F(b_k)))=F(f_j(b_1,...b_k))</math>
זאת אומרת, <math>f_j(a_1,...,a_k)\equiv f_j(b_1,...,b_k)</math>


נגדיר הומומורפיזם מ-''A/''Φ ל-B כך:
<math>\ \Psi([a])=F(a)</math>               
הוא חח"ע כי צמצמנו את כל הערכים השווים ל[[מחלקות שקילות]] (איברים בודדים),ועל בירושה מ-F.

==ראו גם==
*[[יחס שקילות]]
*[[חבורת מנה]]
*[[חוג מנה]]
{{קצרמר|מתמטיקה}}
[[קטגוריה:אלגברה]]