הצגת המקור של הדף "אליפסה"

{{פירוש נוסף}}
[[קובץ:Ellipse Properties Showing Construction with string.svg|שמאל|ממוזער|250px|סכום המרחקים של כל נקודה במישור (<math>P</math>) ממוקדי האליפסה (<math>F_1</math> ו-<math>F_2</math>) קבוע ושווה ל-<math>2a</math>.]]
[[קובץ:Conicas1.PNG|250px|ממוזער|שמאל|האליפסה כחתך חרוט]]
'''אליפסה''' היא ה[[מקום גאומטרי|מקום הגאומטרי]] של כל הנקודות ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות במישור הוא קבוע. נקודות אלה נקראות '''מוקדים'''. אם שני המוקדים מתלכדים, האליפסה המתקבלת היא [[מעגל]]. תיאור אלטרנטיבי של האליפסה הוא כמקום הגאומטרי של הנקודות במישור שהיחס בין מרחקן מנקודת מוקד לישר (הקרוי '''מדריך''') הוא קבוע. המדריך ניצב לישר העובר דרך שני המוקדים. כל אליפסה אפשר לקבל על ידי מתיחה של מעגל בגורם קבוע בכיוון כלשהו.

האליפסה היא [[חתך חרוט]], שאפשר לתאר על ידי [[משוואה]] מהצורה <math>\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1</math> או הכללות שלה.

לאליפסה יש שני [[חבורת סימטריות|צירי סימטריה]]: '''הציר הראשי''' מחבר את שתי הנקודות הרחוקות ביותר זו מזו, והציר המשני, המאונך לו. הציר הראשי עובר דרך שני המוקדים. הצירים [[חיתוך (גאומטריה)|נפגשים]] ב[[מרכז הכובד]] של האליפסה. שיקוף ביחס לצירים יוצר את חבורת הסימטריות של האליפסה, שהיא בעלת ארבעה איברים. (אלא אם האליפסה היא מעגל, שחבורת הסימטריות שלו אינסופית). 

[[קובץ:Elipsa.gif|ממוזער|קרני אור או גלי קול שיוצאות ממוקד אחד של האליפסה יוחזרו אל המוקד השני]]
כחתכי חרוט אחרים, לאליפסה יש תכונות גאומטריות ופיזיקליות חשובות. על-פי [[חוקי קפלר]], מסלולו של [[כוכב לכת]] מהווה אליפסה ש[[השמש]] נמצאת באחד משני המוקדים שלה. המסלול של [[מתנד הרמוני]] ב[[מרחב הפאזה]] (שהקואורדינטות שלו הן המיקום וה[[תנע]]) הוא אליפסה. קרן אור היוצאת ממוקד של האליפסה ופוגעת בהיקף האליפסה (המשמש [[מראה]], המחזירה קרן אור בזווית החזרה השווה לזווית הפגיעה), תוחזר תמיד אל המוקד השני. ה[[קול]] מוחזר על-פי כללי החזרה זהים, ולכן שיחה המתקיימת במוקד אחד של חדר אליפטי תשמע היטב במוקד השני שלו.

== משוואות האליפסה ==
=== האליפסה הקנונית ===
[[קובץ:Elliko-sk.svg|ממוזער|המחשה של ההצגה הפרמטרית]]
ב[[גאומטריה אנליטית|גאומטריה האנליטית]] מתארים [[עקומה|עקומות]] ב[[קואורדינטות קרטזיות]], כאשר כל נקודה מיוצגת על ידי [[זוג סדור|הזוג הסדור]] <math>(x,y)</math>, המקיימת משוואה מתאימה. אליפסה שציריה מתלכדים עם הצירים (ולכן מרכז הכובד שלה ממוקם ב[[ראשית הצירים]]) אפשר לתאר באמצעות המשוואה <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1</math>, כאשר <math>2a</math> ו-<math>2b</math> הם ארכי הצירים. אם <math>a > b</math>, מוקדי האליפסה נמצאים על ציר ה-<math>x</math>, במרחק <math> \sqrt{a^2-b^2}</math> מהראשית. לאליפסה זו יש גם [[הצגה פרמטרית]], <math>(x,y) = (a\,\cos t, b\,\sin t)</math>, שממנה אפשר לראות שהאליפסה מתקבלת מ[[מעגל היחידה]] על ידי מתיחת הצירים ביחס של <math>a</math> ו-<math>b</math> בהתאמה. הזווית <math>t</math> היא הזווית בין ציר ה-<math>x</math> ובין הרדיוס למעגל שמקיף את האליפסה בעל אותו ערך על ציר ה-x כמו הנקודה הנתונה על האליפסה (ראו שרטוט בצד שמאל להמחשה, אם משתמשים בזווית שיוצרת הנקודה הנתונה עצמה, מתקבלת נוסחה אחרת{{הערה|[https://math.stackexchange.com/questions/432902/how-to-get-the-radius-of-an-ellipse-at-a-specific-angle-by-knowing-its-semi-majo How to get the radius of an ellipse at a specific angle by knowing its semi-major and semi-minor axes?]|כיוון=שמאל}}). מכאן נובע ששטח האליפסה הוא <math> \pi ab </math>.

אם המרחק בין שני מוקדי האליפסה הוא <math>2c</math>, אז היחס <math>\epsilon = \frac{c}{a} = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math> נקרא מקדם ה"[[אקסצנטריות (מתמטיקה)|אקסצנטריות]]" של האליפסה. זהו מספר בין <math>0</math> ל-<math>1</math>; ככל ש-<math>\ \epsilon</math> קרוב ל-0 האליפסה דומה יותר ל[[מעגל]], וככל ש-<math>\ \epsilon</math> מתקרב ל-<math>1</math> האליפסה נעשית צרה יותר.

==== שטח אליפסה קנונית ====
אליפסה קנונית, שמשוואתה <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1</math>, הופכת למעגל היחידה על ידי מתיחה ביחס של a בציר ה-x וביחס של b בציר ה-y. מכיוון שפעולות אלה מגדילות את השטח פי a ו-b בהתאמה, שטח האליפסה הוא <math>S_\mathrm{ellipse} = \pi ab </math>.

==== היקף אליפסה קנונית ====
בניגוד לשטח האליפסה לא קיימת נוסחה פשוטה עבור [[היקף]] אליפסה, ניתן להעריך את היקף האליפסה שמשוואתה היא <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1</math> בעזרת הנוסחה<math display="block">P_{elipse} \cong 2\pi\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad
</math><math display="block">P_{elipse} \cong \pi\bigl(3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)} \bigr)
</math>

בשביל ההיקף המדויק אפשר להשתמש בנוסחאות הבאות<math display="block">P_{elipse} = 4a\int_{0}^{\pi / 2} \sqrt{1-e^2\sin^2(x)} \  dx \quad \quad \ 
</math><math display="block">P_{elipse} = \pi(a+b)\sum_{n=0}^\infin\binom{0.5}{n}^2\Biggl(\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\Biggr)^n
</math>

=== האליפסה הכללית ===

[[קובץ:RotatedEllipse.jpg|ממוזער|אליפסה קנונית המסובבת בזווית <math>\theta</math>]]
המשוואה שהוצגה לעיל מתארת את האליפסה הקנונית. כל אליפסה אפשר להביא לצורה הזו, על ידי הזזת המרכז אל הראשית, וסיבוב הצירים כך שהציר הראשי יתלכד עם ציר ה-<math>x</math>. גם להפך: ה[[איזומטריה|איזומטריות]] של המישור (הזזות, סיבובים ושיקופים) מעבירות אליפסה לאליפסה. אם מרשים גם מתיחה של הצירים, אפשר להגיע מכל אליפסה למעגל היחידה. המשוואה הכללית ביותר של אליפסה היא התבנית הריבועית <math>A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>, כשמתקיים התנאי <math>B^2 < 4 AC</math> (ללא תנאי זה מתארת המשוואה חתכי חרוט אחרים: [[פרבולה]] או [[היפרבולה]], ובמקרים מנוונים אפילו ישר או זוג ישרים). צירי האליפסה מקבילים לצירים הקרטזיים אם ורק אם <math>B = 0</math>.

== ראו גם ==
*[[אליפסואיד]]
*[[אובל]]

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Ellipses|שם ויקישיתוף=אליפסה|ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/האליפסה|שם ויקיספר=אליפסה|ויקימילון=אליפסה}}
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Ellipse}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:עקומות]]
[[קטגוריה:חתכי חרוט]]