הצגת המקור של הדף "אנטרופיית פון נוימן"

[[קובץ:JohnvonNeumann-LosAlamos.jpg|ממוזער|150px|left|איור 1- '''ג'ון פון נוימן''']]
'''אנטרופיית פון נוימן''' היא הכללה קוונטית של [[אנטרופיית שאנון]] הקלאסית. אנטרופיה זו הוצעה בשנת [[1932]] על ידי [[ג'ון פון נוימן]], במפתיע, לפני ששאנון הגה את האנטרופיה שלו (1948). אנטרופיה זו מכמתת את כמות האינפורמציה במערכת, ואת הקורלציה בין [[קוונטים|מערכות קוונטיות]].

אנטרופיית פון נוימן מתקשרת ל{{קישור שפה|אנגלית|Shannon's source coding theorem|קידוד מקור}}- התהליך של קידוד ופענוח מידע.
המטרה של אנטרופיה זו היא [[דחיסת נתונים|לכווץ מידע]] כדי להפחית את העלות של אחסונו או העברתו.
תאוריה זו נקראת תאוריית קידוד המקור של שאנון<ref name=Info>{{Cite journal | last1 =  Shanon |first1 = C.E  | doi = 10.1002/j.1538-7305.1948.tb01338.x | title = A mathematical theory of communication
 | journal = The Bell System Technical Journal  | volume = 27|issue=3 | pages = 379-423 | year =1948 }}</ref>.
==ביטוי מתמטי==
במערכות קוונטיות, המתוארות על ידי [[אופרטור הצפיפות|מטריצת הצפיפות]], אנטרופיית פון נוימן מתוארת בצורה הבאה<ref name=Props>{{ Cite journal | url = https://documents.epfl.ch/groups/i/ip/ipg/www/2011-2012/Quantum_Information_Theory_and_Computation/lect6quantinfo1112.pdf |title=Von Neumann Entropy properties | journal = EPFL-Quantum_Information_Theory_and_Computation  | year =2011 }}</ref>:

<math> S = - \operatorname{Tr}(\rho \ln \rho),</math>

ערך זה, בפיזיקה, נותן את הקשר בין מכניקה סטטיסטית-קוונטית ו[[תרמודינמיקה]]: כאשר מטריצת הצפיפויות תוגדר כך- <math> \rho ={e^{-\beta H }\over Z} </math> (<math> Z</math> היא [[פונקציית חלוקה (פיזיקה)|פונקציית החלוקה]]) נקבל את [[:en:Gibbs state|מצב גיבס]] המתאר סידור מצבים בשיווי משקל תרמודינמי.

נתמקד ב[[מרחב הילברט]] בעל מימד סופי. בהנחה כי המערכת הקוונטית מיוצגת על ידי סידור של מצבים עצמיים <math> {\{|\phi_{x}\rangle;p_{x}\}}</math>, מטריצת הצפיפות, <math> \rho </math> תהא:
<math> \rho = \sum_x p_x \left| \phi_{x} \right\rang \left\lang \phi_{x} \right| ~ </math>
עבור המקרה הספציפי בו המצבים המעורבים מהווים בסיס אורתונורמלי למרחב הילברט, נקבל כי מטריצת הצפיפות היא [[מטריצה אלכסונית|אלכסונית]], כך שהערכים העצמיים של <math> \rho \ln \rho</math> הם <math> p_{x}\ln{p_x}</math> ואנטרופיית פון נוימן תכתב כך:

<math>S=-\sum_x p_{x}\ln{p_x}=H(X)</math> כאשר <math>X</math> הוא [[משתנה מקרי]] עם [[התפלגות]] <math>p_{x}</math> .
במקרה זה אנטרופיית פון נוימן זהה ל[[אנטרופיית שאנון]].
במקרה בו המצבים המעורבים אינם אורתונורמליים נקבל כי <math>S \neq H(X)</math> . ניתן גם להראות כי באופן כללי מתקיים <math>S \leq H(X)</math>.
===תכונות<ref name=intro>{{cite book |last=Wilde |first=M.M.|date=2013 |title= Quantum Information Theory :  |publisher=Cambridge University Press.|isbn=1316813304|page=51}}</ref>===

#אי שליליות: <math>S \geq 0</math>, כאשר השווין לאפס מתקיים אם ורק אם מטריצת הצפיפויות מייצגת [[מצב קוונטי#מצבים טהורים ומעורבים|מצב טהור]]. תכונה זו נובעת ישירות מהגדרת האנטרופיה, כאשר <math>0 \leq p_{x} \leq 1 </math>.
# [[חסם (מתמטיקה)|חסם עליון]]: <math>S \leq \ln{D}</math> כאשר <math>D</math> הוא מימד מרחב הילברט. מקסימום זה מתקבל עבור מצב מעורב מקסימלי, בו <math>X</math> מתפלג אחיד.
# אינווריאנטית תחת [[מטריצת מעבר|מעבר בסיס]] של מטריצת הצפיפויות, זאת אומרת <math>S(\rho)=S(U \rho U^{\dagger})</math>.
# אדיטיביות:<ref name=add>{{Cite journal | last1 =  Huzihiro |first1 = Araki |first2 = Lieb |last2 =  Elliott H. | doi = 10.1007/BF01646092-7305.1948.tb01338.x | title = Entropy inequalities
 | journal = Communications in Mathematics Physics  | volume = 18|issue=2 | pages = 160-170 | year =1970 }}</ref> <math>S(\rho \otimes \sigma)=S(\rho)+S(\sigma)</math>.
# [[:en:Subadditivity|תת חיבוריות]]: <math>S(\rho_{AB}) \leq S(\rho_{A})+ S(\rho_{B})</math>, עבור [https://www.quantiki.org/wiki/bipartite#:~:text=Something%20is%20said%20to%20bipartite,and%20called%20Alice%20and%20Bob מצב בי-פרטיטי].
# תת-חיבוריות (חזקה):<ref name=sub>{{Cite journal | last1 =  Mary Beth |first1 = Ruskai |first2 = Lieb |last2 =  Elliott H. | doi = 10.1063/1.1666274 | title = Proof of the strong subadditivity of quantum‐mechanical entropy
 | journal = Mathematical Physics | volume = 14|issue=12 | pages = 1938-1941 | year =1973 }}</ref> <math>S(\rho_{AC}) +S(\rho_{BC})\geq S(\rho_{ABC})+ S(\rho_{C})</math>
# [[פונקציה קעורה|קעירות]]: <math>S(\rho) \geq \sum_{j}{p_{j} S(\rho_{j})}</math>, כאשר <math>\rho_{j}</math> הוא [[אופרטור]] צפיפות במרחב הילברט <math>\mathcal{H}</math> עבור קבוצה סופית <math>\{j\}</math>, ו- <math>\{p_{j}\}</math> [[פונקציית הסתברות|פונקציית ההסתברות]], כלומר מקיימת <math>0 \leq p_{j} \leq 1, \sum_{j} p_{j}=1</math> ומתקיים: <math>\rho = \sum_{j} \rho_{j} p_{j}</math>.
# [[:en:Data processing inequality|אי שוויון עיבוד הנתונים]]:<ref name=in>{{Cite journal | last1 =  Göran |first1 = Lindblad | doi = 10.1007/BF01609396 | title = Completely positive maps and entropy inequalities
 | journal = Communications in Mathematical Physics | volume = 40|issue=2 | pages = 147-151 | year =1975 }}</ref> <math>S(\mathcal{N(\rho)}) \geq S({\rho})</math>, כאשר: <math>\mathcal {N}: \mathcal{L}(\mathcal{H}_A) \rightarrow \mathcal{L}(\mathcal{H}_B)</math> הוא [[:en:Quantum channel|ערוץ קוונטי יחידני]].
# [[אי-שוויון המשולש|אי שוויון המשולש]]:<ref name=add>{{Cite journal | last1 =  Huzihiro |first1 = Araki |first2 = Lieb |last2 =  Elliott H. | doi = 10.1007/BF01646092-7305.1948.tb01338.x | title = Entropy inequalities
 | journal = Communications in Mathematics Physics  | volume = 18|issue=2 | pages = 160-170 | year =1970 }}</ref> עבור מערכת בי-פרטיטית <math>\rho_{AB}</math> מתקיים <math>|S(\rho_A)-S(\rho_B)| \leq S(\rho_{AB})</math>

==אנטרופיית פון נוימן היחסית<ref name=relative>{{cite journal | last=Vedral | first=V. | title=The role of relative entropy in quantum information theory | journal=Reviews of Modern Physics | publisher=American Physical Society (APS) | volume=74 | issue=1 |pages=207| date=8 March 2002 | issn=0034-6861 | doi=10.1103/revmodphys.74.197 |arxiv=quant-ph/0102094| bibcode=2002RvMP...74..197V }}</ref>==
באנלוגיה ישירה לאנטרופיית שאנון היחסית, נגדיר את אנטרופיית פון נוימן היחסית:

<math>S_{Rel}(\sigma || \rho) \triangleq \operatorname {Tr} \left( \sigma (\ln \sigma - \ln \rho) \right) </math>

אנטרופיית פון נוימן היחסית נותנת אינדיקציה לכמה קשה להבחין בין המצבים <math>\sigma</math> ו- <math>\rho</math><ref name=Rel>{{Cite journal | last1 =  Hiai|first1 = F.|first2 = Petz |last2 =  D. | doi = 10.1007/BF02100287 | title = The proper formula for relative entropy and its asymptotics in quantum probability
 | journal = Communications in Mathematics Physics  | volume = 143| pages = 99-114 | year =1991 }}</ref>. אנטרופיה זו נודעת גם [[:en:Quantum relative entropy|כאנטרופיה הקוונטית היחסית]].

==ראו גם==
* [[אנטרופיית צאליס]]
* [[אנטרופיית שאנון]]
* [[אנטרופיית רניי]]

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

{{נושאים במכניקה סטטיסטית}}

[[קטגוריה:סטטיסטיקה]]
[[קטגוריה:תורת ההסתברות]]
[[קטגוריה:תורת האינפורמציה]]
[[קטגוריה:ג'ון פון נוימן]]