הצגת המקור של הדף "אנליזה וקטורית"

{{קואורדינטות}}
{{סימון מתמטי}}
'''אָנָלִיזָה וֶקְטוֹרִית''' היא תחום של ה[[מתמטיקה]] העוסק ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]] של [[פונקציה|פונקציות]] המוגדרות מעל [[מרחב וקטורי]]. בדרך כלל, מתמקדת האנליזה הווקטורית ב-<math>\mathbb{R}^3</math>, הוא [[המרחב האוקלידי]] התלת-ממדי, שמתאים לתיאור המציאות הפיזיקלית שלנו ולכן שימושי ביותר ב[[פיזיקה]]. האנליזה הווקטורית פותחה על ידי [[ג'וסיה וילארד גיבס]] ו[[אוליבר הביסייד]] בסוף המאה ה-19.

== פעולות בין וקטורים ==
כדי להבין את מושגי היסוד באנליזה וקטורית, יש להכיר את ה[[וקטור (אלגברה)|ווקטורים]] ואת הפעולות האפשריות בין הווקטורים עצמם ובין [[סקלר (מתמטיקה)|סקלרים]]. פעולות אלה הן הכללה של פעולות ה[[חיבור]] וה[[כפל]] המוגדרות על איברי [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]].

בפרט, יש להכיר את הנושאים מ[[אלגברה ליניארית]] של [[מרחב וקטורי]] ו[[מרחב מכפלה פנימית]]. [[מרחב אוקלידי|המרחב האוקלידי]] <math>\mathbb{R}^n</math> (ובפרט <math>\mathbb{R}^3</math>) הוא מרחב וקטורי עם [[מכפלה פנימית]] שמוגדר מעל [[שדה המספרים הממשיים]].

===וקטורים===
וקטור ב[[מרחב וקטורי]] מממד סופי אפשר לכתוב בצורה <math>\ \vec{v}=(v_1,\dots,v_n)</math>, כאשר המספרים <math>\ v_1,\dots,v_n</math> הם ה'''רכיבים''' או ה'''[[קואורדינטות]]''' של <math>\ \vec{v}</math>.

במרחב התלת-ממדי הווקטורים <math>\ \hat{x}, \hat{y}, \hat{z}</math> מייצגים את וקטורי '''הבסיס הסטנדרטי''', המתאימים ל[[מערכת צירים קרטזית|מערכת הצירים הקרטזית]]. בכתיבה לפי רכיבים, הם שווים לווקטורים <math>\ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)</math> בהתאמה.

למבוא יותר אינטואיטיבי על וקטורים במרחב התלת-ממדי, ראו '''[[וקטור (פיזיקה)]]'''.

===חיבור===
'''חיבור וקטורים:''' מחברים וקטורים לפי רכיבים: <math>\ (v_1,\dots,v_n)+(w_1,\dots,w_n)=(v_1+w_1,\dots,v_n+w_n)</math>.

===כפל===
בניגוד לחיבור, יש מספר סוגים של פעולות כפל המערבים וקטורים:
# '''[[כפל בסקלר]]:''' אם <math>\ c\in \mathbb{R}</math> הוא [[מספר ממשי]] ו- <math>\ \vec{v}</math> וקטור, אז <math>\ c \vec{v}=(cv_1,\dots,cv_n)</math> הוא הכפל של <math>\ v</math> בסקלר <math>\ c</math>.
# '''מכפלה סקלרית (Dot product):''' [[מכפלה סקלרית|המכפלה הסקלרית]] של שני וקטורים היא מספר, המוגדר לפי <math>\ (v_1,\dots,v_n)\cdot(w_1,\dots,w_n)=v_1w_1+ \dots + v_nw_n</math>. מספר זה הוא מכפלת האורך של הווקטור הראשון, האורך של הווקטור השני וקוסינוס הזווית שביניהם. כלומר: <math>\vec{v} \cdot \vec{w} = |\vec{v}||\vec{w}|\cos\theta</math>. המכפלה הסקלרית מתאפסת אם ורק אם הווקטורים ניצבים.
# '''מכפלה וקטורית (Cross product):''' במרחב התלת-ממדי <math>\ \mathbb{R}^3</math> מוגדרת פעולה נוספת, הקרויה [[מכפלה וקטורית]]. המכפלה הווקטורית של שני וקטורים <math>\ \vec{v}, \vec{w}</math> היא וקטור המאונך לשניהם, שאורכו הוא כשטח המקבילית הנוצרת ביניהם, כלומר אורך הווקטור הראשון כפול אורך השני כפול סינוס הזווית שביניהם.
את כללי החישוב של המכפלה הווקטורית קל לזכור באמצעות סימון ה[[דטרמיננטה]]:
: <math>(v_1,v_2,v_3)\times(w_1,w_2,w_3)= \begin{vmatrix} \hat x & \hat y & \hat z \\v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \\ \end{vmatrix}</math>.
כאשר <math>\hat x \, \hat y \, \hat z</math> הן וקטורי היחידה של הצירים X ,Y ,Z בהתאמה.

בעוד ששתי הפעולות הראשונות מוגדרות בכל ממד, ובפרט בממד-1 מתכנסות לכפל הרגיל, המכפלה הווקטורית מוגדרת רק במרחב האוקלידי מממד 3.

== הטופולוגיה של המרחב האוקלידי ==
כדי שנוכל לדבר על [[אנליזה מתמטית]] במרחב האוקלידי <math>\ \mathbb{R}^n</math> עלינו להיות מצוידים במושגים של "[[פונקציה רציפה|פונקציות רציפות]]" ו"נקודות קרובות (באותה [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]])". לשם כך, עלינו להגדיר על המרחב [[טופולוגיה]].

הטופולוגיה שבדרך כלל מוגדרת על <math>\ \mathbb{R}^n</math> היא [[מרחב מטרי|הטופולוגיה המטרית]] המושרית מה[[מטריקה]] הבאה שאנו מגדירים על המרחב:
: <math>\ d(\vec{v}, \vec{w}) = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n}{ ( v_i - w_i )^2 } } </math>
ניתן לראות שמטריקה זו היא בעצם ההכללה של [[משפט פיתגורס]] ולכן מהווה הכללה לפונקציית המרחק האוקלידית במישור.

את המטריקה הזאת ניתן להציג באמצעות המכפלה הסקלרית שהגדרנו קודם:
: <math> d( \vec{v}, \vec{w} ) = \sqrt{ (\vec{v} - \vec{w}) \cdot ( \vec{v} - \vec{w}) }</math>
ובכך המרחב שהגדרנו הוא למעשה [[מרחב מכפלה פנימית]] המהווה גם [[מרחב נורמי]]. יתרה מכך, המרחב <math>\ \mathbb{R}^n</math> מהווה [[מרחב הילברט]] (מממד סופי).

עבור [[מרחב וקטורי]] V נהוג בדרך כלל להסתכל על [[המרחב הדואלי]] שלו
:<math>\ V^* = \{ f \colon V \to \mathbb{R} \ : \ f \mbox{ is linear } \}</math>
זהו מרחב ה[[פונקציונל]]ים הליניאריים מ-V לשדה המספרים הממשיים. המרחב הדואלי הוא תמיד מרחב וקטורי, ומאותו ממד כמו של V. כאשר עוסקים במרחבים וקטוריים מטריים מצמצמים את המרחב הדואלי לאוסף הפונקציונלים הליניאריים הרציפים בלבד, אם כי עבור ממדים סופיים אין הבדל בין ההגדרות.

מסתבר שביישומים רבים של [[אנליזה פונקציונלית|האנליזה הפונקציונלית]] *V יותר שימושי מ-V. באמצעותו אפשר להגדיר [[טופולוגיה חלשה]] על V (פשוט קובעים שכל הפונקציונלים הליניאריים עליו נחשבים כרציפים) ונוח יותר לבצע אינטגרציה לפונקציונל מ-*V מאשר לווקטור מ-V.
כאשר לא עוסקים במרחבים וקטוריים מטריים, יש חשיבות גדולה להבחנות בין המרחבים *V ל-V ולאינטראקציה ביניהם אך עבור מרחב מטרי V שני המרחבים איזומטריים וניתן להתאים לכל וקטור ב-V פונקציונל ב-*V ולהפך (באופן חח"ע ועל) באמצעות ה[[מטריקה]]. במקרה של מרחב הילברט תכונה זו ידועה כ[[משפט ההצגה של ריס]].

== פונקציות ואופרטורים ==
האנליזה הווקטורית עוסקת, כאמור, בווקטורים שהרכיבים שלהם הם מספרים ממשיים או פונקציות. כדי לפשט את הסימונים והחישובים, מוסיפים למערכת את אופרטורי הגזירה <math>\ \partial_x, \partial_y, \partial_z</math>, המסמנים את ה[[נגזרת חלקית|נגזרת החלקית]] לפי המשתנים <math>\ x,y,z</math>, בהתאמה.

כעת אפשר לבנות וקטורים מכמה סוגים: וקטורים קבועים (כמו <math>\ (2,3,-2)</math>), וקטורים של פונקציות (כמו <math>\ (x,x^2,6)</math> או <math>\ (x+y,y-z,z^2)</math>) וגם וקטורים של אופרטורים, כמו <math>\ \nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z)</math>. אפשר לבצע פעולות כמו כפל סקלרי או וקטורי בין וקטורים מכל הסוגים כל עוד הן מתבצעות בצורה נכונה.

באופן כללי יותר, אפשר לחשוב גם על הפונקציות הסקלריות כעל אופרטורים: הפונקציה <math>\ f(x,y,z)=x+y</math> מתאימה לפעולה של '''כפל''' ב- <math>\ x+y</math>. כעת אפשר להתייחס לסקלרים מכל הסוגים (פונקציות ואופרטורים דיפרנציאליים) באותו אופן: לכפל (משמאל) בפונקציה יש הפירוש הרגיל של כפל, וכפל משמאל באופרטור יש לחשב על-פי כללי הגזירה. נעיר שבהכפלת סקלרים הסדר אינו חשוב, אבל כאשר מערבים אופרטורים דיפרנציאליים ופונקציות, הסדר חשוב. לדוגמה, הכפלת הפונקציה <math>\ f</math> במשתנה <math>\ x</math> ואחר-כך בנגזרת <math>\ \partial_x</math> מחזירה <math>\ f+x\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}</math>, בעוד שהכפלה בסדר הפוך מחזירה <math>\ x\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}</math>: ההפרש שווה לפונקציה המקורית. אפשר לסכם הבחנה זו בזהות <math>\ \partial_x \cdot x - x \cdot \partial_x = 1</math>.

היתרון בגישה זו הוא שהיא מאפשרת טיפול אחיד בפונקציות ובאופרטורים, כפי שנראה בהמשך.

== שדות ==
=== שדה סקלרי ===
פונקציה <math>f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}</math> המתאימה לכל [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] במרחב [[סקלר (מתמטיקה)|ערך סקלרי]] נקראת '''[[שדה סקלרי]]''' או בהשאלה מ[[פיזיקה]] (ובייחוד [[אלקטרומגנטיות]]): '''[[פוטנציאל סקלרי|פוטנציאל]]'''.

דוגמאות במרחב תלת־ממדי:
* טמפרטורת המים בנהר - לכל נקודה בנהר (המרחב) מותאמת ה[[טמפרטורה]] באותה נקודה (סקלר).
* [[פוטנציאל חשמלי|הפוטנציאל האלקטרוסטטי]].
* <math>\ f(x,y,z) = x^2 + 3yz^5 - 4ze^{(x-y)} </math>.

=== שדה וקטורי ===
פונקציה <math>\vec{f} \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} </math> המתאימה לכל נקודה במרחב [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] (ליתר דיוק, וקטור מ[[המרחב המשיק]] באותה נקודה) נקראת [[שדה וקטורי]].

דוגמאות במרחב תלת־ממדי:
* זרימת מים בנהר - לכל נקודה בנהר (המרחב) מותאם וקטור שכיוונו ככיוון זרימת המים באותה נקודה וגודלו כ[[מהירות]] הזרימה.
* [[שדה חשמלי|השדה החשמלי]].
*<math>\ \vec{f}(x,y,z) = \left( xy + 42, \ 56 \sin(z), \ e^{(y^2 - xz)} \right) = (xy + 42) \hat{x} \ + \ 56 \sin(z) \hat{y} \ + \ e^{(y^2 - xz)} \hat{z} </math>

השדות בדרך כלל אינם [[פונקציה ליניארית|ליניאריים]], ואפילו לא בהכרח [[פונקציה רציפה|רציפים]]. למרות זאת, באנליזה וקטורית מתעניינים בעיקר בפונקציות [[פונקציה חלקה|חלקות]] (שיש להן נגזרות מכל סדר), או בעלות מספר סופי בלבד של נקודות [[סינגולריות (מתמטיקה)|סינגולריות]].

== נגזרות וקטוריות ==
פרק זה דן במרחב הווקטורי (הפיזיקלי) <math>\ \mathbb{R}^3</math>, שיתואר ב[[קואורדינטות קרטזיות]], אלא אם כן מצוין במפורש אחרת.

=== מבוא ===
האופרטור הבסיסי במרחב זה הוא [[אופרטור]] הגזירה (נקרא גם דֶל), המוגדר:
{{משוואה
|הזחה = auto
|משוואה = <math> \vec{\nabla} \triangleq \hat{x}\frac{\partial}{\partial x} +\hat{y} \frac{\partial}{\partial y }
 + \hat{z}\frac{\partial}{\partial z} \triangleq \left( \ \partial_x \, \ \partial_y \, \ \partial_z \right)</math>
|ריווח תא = 6
|מסגרת = 1}}

אפשר לקבל את האופרטורים הדיפרנציאליים היסודיים על ידי פעולות הכפל השונות בהן משתתף אופרטור הגזירה:
# ה'''גרדיאנט''' של שדה סקלרי <math>\ f</math> הוא שדה וקטורי <math>\ \vec{\nabla} f </math> שרכיביו הם ה[[נגזרת חלקית|נגזרות החלקיות]] של השדה המקורי.
# ה'''דיברגנץ''' של שדה וקטורי <math>\ \vec{f}</math> הוא שדה סקלרי <math>\ \vec{\nabla} \cdot \vec {f} </math> המודד את קצב השינוי במאונך לצירים.
# ה'''רוטור''' (או curl) של שדה וקטורי תלת-ממדי <math>\ \vec{f}</math> הוא שדה וקטורי <math>\ \vec{\nabla} \times \vec{f} </math> המודד את כיוון השינוי של השדה המקורי.

המכפלה הסקלרית של <math>\ \nabla</math> עם עצמו היא אופרטור חשוב אחר, הנקרא '''לפלסיאן'''.

לעיתים נקרא הסימון המשולש של האופרטור בשם "נבלא" או "[[נבלה (סימן)|נבלה]]", על שום דמיונו ל[[נבל]] (בתחביר [[LaTex]] הוא מוצג על ידי הפקודה <code dir="ltr">\nabla</code>). בספרים רבים נהוג לכתוב את המשולש ההפוך של הדל בגופן (פונט) מודגש, במקום לרשום חץ קטן למעלה. מטרת שני הסימונים היא להדגיש שמדובר בווקטור.

=== גרדיאנט ===
[[קובץ:Gradient2.svg|ממוזער|220px|שמאל|המחשה של גרדיאנט. באיורים שלפנינו, השדה הסקלרי מתואר באמצעות שינוי הצבע, כאשר אזורים כהים יותר הם ערכים גדולים יותר של הפונקציה. החצים הכחולים מתארים את הגרדיאנט הנגזר מהשדה הסקלרי. שימו לב שהחצים פונים אל עבר האזורים הגבוהים יותר.]]
'''[[גרדיאנט]]''' הוא אופרטור המקבל פונקציה סקלרית (פונקציית פוטנציאל) ומחזיר פונקציה וקטורית שרכיביה הם ה[[נגזרת חלקית|נגזרות החלקיות]] של הפונקציה המקורית.

המשמעות הגאומטרית של הגרדיאנט היא שהוא מחזיר את השינוי בפוטנציאל (השדה הסקלרי) כתוצאה מ"תזוזה" במרחב. מאחר שמדובר במרחב תלת-ממדי, הכיוון משפיע על השינוי של הפונקציה בנוסף לגודל התזוזה. הכיוון של הווקטור שמחזיר הגרדיאנט הוא הכיוון בו השינוי בפונקציה מקסימלי.

הגרדיאנט מוגדר באופן הבא:
: <math>\!\, \mbox{grad} \ f(x,y,z) \triangleq \frac{\partial f}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{y} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{z}</math>
באמצעות אופרטור הדל, אפשר פשוט לרשום: <math> \mbox{grad} \ f \triangleq \vec{\nabla} f</math>

כלומר הפעלה של האופרטור הווקטורי דל על הפונקציה הסקלרית בצורה של כפל בסקלר, וקבלה של פונקציה וקטורית.

עבור כל שדה סקלרי, אופרטור הגרדיאנט מחזיר שדה וקטורי שנקרא "Gradient Field" ובו החצים מכוונים לכיוון בו הפונקציה עולה וגודלם של החצים מייצג את השיפוע של השדה הסקלרי. הכיוון של הגרדיאנט הוא הכיוון שבו יש שינוי מקסימלי בערך של הפונקציה.

'''דוגמה פיזיקלית:''' הפוטנציאל האלקטרוסטטי מסומן ב <math>\!\, \phi</math>, מחוקי ה[[אלקטרוסטטיקה]] ידוע לנו ש <math>\!\, \vec{E} = - \vec{\nabla} \phi</math> כאשר E הוא [[שדה חשמלי|השדה החשמלי]].

==== נגזרת כיוונית ====
'''[[נגזרת כיוונית]]''' או נגזרת מכוונת של שדה סקלרי היא מספר המתאר כמה השתנתה הפונקציה כאשר הערך שהיא מקבלת השתנה בגודל [[אינפיניטסימלי]] בכיוון מסוים <math>\hat{n}</math>.

כמו כל [[נגזרת]], ההגדרה הפורמלית נעשית באמצעות [[גבול (מתמטיקה)|גבול]]:
: <math>D_{\hat{n}}{f(\vec{r})} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{r} + h\vec{n}) - f(\vec{r})}{h}}</math>

אם השדה או הפונקציה [[דיפרנציאביליות|דיפרנציאביליים]] בתחום, אפשר לחשב את הנגזרת הכיוונית בקלות באמצעות הגרדיאנט, על ידי הנוסחה
: <math> D_{\hat{n}}{f(\vec{r})} = \hat{n} \cdot \left( \vec{\nabla} f(\vec{r}) \right)</math>
כאשר ה <math>\cdot</math> הוא סימון ל[[מכפלה סקלרית]].

'''דוגמה:'''
נניח <math>\!\, f(x,y,z) = x + y^2 + z^3</math>. <br>
אזי <math>\mbox {grad} \ f = \nabla f = \left( \ 1 \, \ 2y \, \ 3z^2 \ \right)</math>

ואילו הנגזרת הכיוונית שלה כאשר נעים לאורך האלכסון הראשי של קובייה, כלומר <math>\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 1, 1, 1 \right)</math>, היא
: <math> \hat{n} \cdot \nabla f = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 1, 1, 1 \right) \cdot \left( 1, 2y, 3z^2 \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 1 + 2y + 3z^2 \right)</math>

=== דיברגנץ ===
ה'''[[דיברגנץ]]''' הוא מעין מדד לכמות ה[[שטף]] של שדה וקטורי שיוצא מנקודה כלשהי במרחב.

====שטף====
יהי <math>\ \vec{F} = F_x \hat{x} + F_y \hat{y} + F_z \hat{z} </math> שדה וקטורי.
אזי השטף של השדה F דרך שטח A מוגדר על ידי <math>\ \mbox{flux} = \iint_A{\vec{F}} \cdot \mathrm{d}\vec{A}</math> . אם השדה F קבוע אזי השטף שווה פשוט ל <math>\vec{F} \cdot \vec{A}</math> כאשר <math>\vec{A}</math> הוא וקטור שגודלו הוא גודל השטח A ובכיוונו הוא ניצב לשטח A ([[נורמל]]).

כדי להבין אינטואיטיבית את מושג השטף כדאי להשתמש באנלוגיה מתחום ה[[נוזל]]ים והזרימה ולהסתכל על מרחב בו זורמים מים, ובו יש "ברזים" ו"חורי ניקוז" שיכולים להוסיף או לגרוע מים מהמרחב.

אם מסתכלים על קובייה דמיונית, ומודדים כמה מים זורמים דרך כל פאה ובאיזה כיוון (מים שיוצאים החוצה נספרים באופן חיובי ואילו מים שנכנסים פנימה באופן שלילי), ומחשבים את מאזן המים הכולל דרך הקוביה, אפשר לדעת מה סה"כ הספיקה של הברזים או חורי הניקוז. אם למשל יש רק ברזים שווים שמפוזרים, הרי מכל קובייה כזו יהיה שטף חיובי, ויהיה אפשר לדעת בעזרת מדידת השטף דרך דפנות הקובייה מה כמות הברזים הכלואה בה. אפשר לחשב גם את צפיפות ה"ברזים" (או "חורי ניקוז", אם השטף שלילי), על ידי חלוקה בנפח הקובייה.

====הגדרת הדיברגנץ====
הדיברגנץ מודד בדיוק את אותו דבר - את צפיפות ה"ברזים"/"חורי ניקוז" - ב[[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] במרחב. כדי לחשב את הגודל הזה, "בונים" סביב הנקודה קובייה [[אינפיניטסימל|אינפינטסימלית]] בעלת נפח V, ואז לוקחים את ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] כאשר הנפח שלה שואף ל 0, כלומר:
:<math> \mbox{div} F = \lim_{V \to 0}{\frac{1}{V} \iint{ \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{A}}}</math>
כאשר ה[[אינטגרל]] הוא על ה[[משטח (טופולוגיה)|משטח]] (הסגור) העוטף את הנפח V.

בקואורדינטות קרטזיות, אפשר להראות שאת הדיברגנץ אפשר לחשב על ידי מכפלה סקלרית של אופרטור הדל בשדה:
: <math> \mbox{div} \vec{F} = \vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} </math>
כלומר על ידי '''מכפלה סקלרית''' סימבולית של האופרטור הווקטורי דל (משמאל) בפונקציה וקטורית (מימין) שנותן פונקציה סקלרית.

=== רוטור (Curl) ===
ה'''[[רוטור (מתמטיקה)|רוטור]] (או Curl)''', הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת.

הרוטור מוגדר כך:

: <math> \operatorname{curl} \ \vec{F} = \lim_{a_i \to 0}{\frac{1}{a_i} \oint_{c_i}{ (\vec{F} \cdot d \vec{r}) \cdot \hat{n}_i}} </math>

כאשר <math> a_i </math> מסמל גודל של משטחונים המחלקים שטח פנים של נפח מסוים, <math> c_i </math> מסמל את העקומים התוחמים כל אחד ממשטחונים אלו ו <math> \hat{n}_i </math> מסמל את וקטורי היחידה המאונכים למשטחונים אלו.

ניתן להראות שבקאורדינטות קרטזיות הרוטור ניתן לחישוב על ידי מכפלה וקטורית של האופרטור דל בשדה:
: <math>\ \operatorname{curl} \ \vec{F} = \vec{\nabla}\times\vec{F} =
\left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat{x} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat{y} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat{z} </math>

צורת רישום קלה יותר לזכירה של הנוסחה לעיל היא באמצעות ה[[דטרמיננטה]] של ה[[מטריצה]] הבאה:
: <math>\left[ \begin{matrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\
{\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & {\partial \over \partial z} \\
F_x & F_y & F_z \end{matrix} \right]</math>
כלומר,
: <math>\vec{\nabla}\times\vec{F} = \det \left[ \begin{matrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\
{\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & {\partial \over \partial z} \\
F_x & F_y & F_z \end{matrix} \right]</math>
בתנאי שמפתחים לפי השורה הראשונה. יש להדגיש כי זהו סימון שגוי מבחינה מתמטית (שהרי אופרטור גזירה אינו יכול להיות איבר במטריצה).

צורה אחרת היא באמצעות [[טנזור לוי-צ'יויטה]]:
: <math>\vec{\nabla} \times \vec{F} = \epsilon_{ijk} \hat{e}_i ( \partial_j F_k )</math>
כאשר <math>\epsilon_{xyz}=1</math> ושומר סימן לכל [[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] ציקלית של האינדקסים, הופך סימן עבור [[תמורה אי-זוגית]] של האינדקסים ומקבל את הערך אפס אם יש שני אינדקסים זהים. כמו כן,
: <math>\partial_{j} := \frac{\partial}{\partial r_j}</math>
הוא סימון מקוצר ל[[נגזרת חלקית|נגזרת החלקית]] (למשל: <math>\partial_{r_1} = \partial_{r_x} = \partial_x</math> היא גזירה לפי x כאשר y ו-z מוחזקים כקבועים).

=== לפלסיאן ===
ה[[לפלסיאן]] הכללי מוגדר בקואורדינטות קרטזיות:
: <math>\ \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} </math>
כיוון שזהו אופרטור סקלרי הוא יכול לפעול הן על פונקציה סקלרית (על ידי כפל סימבולי רגיל משמאל), והן על פונקציה וקטורית (על ידי כפל בסקלר סימבולי משמאל).

====לפלסיאן על פונקציה סקלרית====
כאשר הלפלסיאן מופעל על פונקציה סקלרית ניתן להביע אותו גם כ
: <math>\ \nabla^2 f= \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla}f = \operatorname{div} \cdot \operatorname{grad} \ f</math>

כלומר הדיברגנץ של הגרדיאנט של הפונקציה.

ב[[קואורדינטות פולריות]] (קוטביות),

<math>\ \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}</math>

ב[[קואורדינטות כדוריות|קואורדינטות כדוריות (ספריות)]],
: <math>\ \nabla^2 f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}</math>

ביטוי זה נכון רק כשהוא פועל על פונקציה סקלרית.

פונקציה שהלפלסיאן שלה שווה לאפס ב[[קבוצה פתוחה]] כלשהי נקראת [[פונקציה הרמונית]] על קבוצה זו.

== אינטגרלים ==
ה[[אינטגרל]] של שדה סקלרי או שדה וקטורי.

=== אינטגרל מסלולי ===
{{הפניה לערך מורחב|אינטגרל קווי}}

=== אינטגרל משטחי ===
{{להשלים|פסקה=כן|נושא=מדעי הטבע}}
{{הפניה לערך מורחב|אינטגרל משטחי}}
באנליזה וקטורית ישנם שני סוגי [[אינטגרל משטחי]]:
# אינטגרל משטחי מסוג ראשון:
#: אינטגרל של שדה סקלרי: <math>\int_{S} f(\vec{r}) \,\mathrm{d}S</math>
# אינטגרל משטחי מסוג שני:
#: אינטגרל של שדה וקטורי: <math>\int_{S} \vec{F}(\vec{r}) \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \int_{S} \vec{F}(\vec{r}) \cdot \hat{n} \mathrm{d}S</math>
כאשר <math>\mathrm{d}\vec{S} = \hat{n} \, \mathrm{d}S </math> הוא וקטור משטח אינפיניטסימלי שגודלו כגודל השטח האיפיניטסימלי וכיווני ניצב למשטח (הווקטור <math>\hat{n}</math> הוא [[וקטור נורמל|וקטור יחידה נורמל]] הניצב למשטח).

=== אינטגרל מרובה ===
{{הפניה לערך מורחב|ערכים=[[אינטגרל כפול]], [[אינטגרל משולש]]}}

== משפטי יסוד באנליזה וקטורית ==
* [[זהויות של נגזרות וקטוריות]]
*# <math>\ \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla}f) = 0</math>
*# <math>\ \vec{\nabla} \cdot ( \vec{\nabla} \times \vec{F} ) = 0</math>
*# <math>\ \vec{\nabla} \cdot ( \vec{\nabla}f ) = (\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} )f = \nabla^2 f</math>
* [[משפט הגרדיאנט]]
*: אינטגרל מסלולי מנקודה a לנקודה b של גרדיאנט של פונקציה סקלרית מקיים <math>\int_{C}{\vec{\nabla}f(\vec{r}) \cdot d\vec{l}} = f(\vec{b}) - f(\vec{a})</math>
* [[משפט גאוס]] (משפט הדיברגנץ):
*: האינטגרל של השטף על משטח סגור שווה לאינטגרל הנפחי של דיברגנץ השדה בתוך הנפח הכלוא על ידי המשטח. כלומר:
*:::<math>\ \oint_{\partial V}{\vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{A}} = \int_{V}{\vec{\nabla} \cdot \vec{F} \ \mathrm{d}V}</math>
* [[משפט סטוקס]]
*: האינטגרל המסלולי של פונקציה וקטורית על מסלול סגור שמהווה שפת משטח שווה לאינטגרל המשטחי של רוטור אותה פונקציה על המשטח.
*:::<math>\ \oint_{\partial A}{\vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{r}} = \int_{A}{( \vec{\nabla} \times \vec{F} ) \cdot \mathrm{d}\vec{A}}</math>

== יישומים ==
* [[פיזיקה]] ו[[הנדסה]]
** [[אלקטרומגנטיות]]

== ראו גם ==
* [[דל במערכות צירים שונות]]
* [[גאומטריה דיפרנציאלית]]

== לקריאה נוספת ==
* [https://youtu.be/_OApmaqgG_I?list=PLW6KNQoisKdsaND4eIPz3Ye9cA4ShlOy8 HIT אנליזה ווקטורית] - וידאו עם הסברים אינטואיטיביים בעברית של כלל המושגים
* מורי ר. שפיגל, '''אנליזה וקטורית''', [[סדרת שאום]]
* [http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/2014/10/mathbbe3.html זהויות אינטגרליות בתלת-מרחב] בבלוג "[http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/ רשימות בפיזיקה עיונית]"
* גדי אלכסנדרוביץ', [http://www.gadial.net/2015/07/02/vector_analysis_intro/ אנליזה וקטורית - מבוא], באתר "לא מדויק"
* גדי אלכסנדרוביץ', [http://www.gadial.net/2015/07/05/multivariable_derivatives/ אנליזה וקטורית – נגזרת ונגזרת חלקית], באתר "לא מדויק"
* גדי אלכסנדרוביץ', [http://www.gadial.net/2015/08/19/multivariable_derivative_properties/ אנליזה וקטורית – תכונות בסיסיות של הנגזרת], באתר "לא מדויק"
* גדי אלכסנדרוביץ', [http://www.gadial.net/2015/10/15/vector_calculus_critical_points/ אנליזה וקטורית – מציאת ערכי קיצון], באתר "לא מדויק"
* גדי אלכסנדרוביץ', [http://www.gadial.net/2015/10/29/inverse_and_implicit_function/ משפט הפונקציה ההפוכה ומשפט הפונקציות הסתומות], באתר "לא מדויק"
* גדי אלכסנדרוביץ', [http://www.gadial.net/2015/11/09/d-dimensional_integrals/ אינטגרלים כפולים, משולשים ו-d-ממדיים], באתר "לא מדויק"
* גדי אלכסנדרוביץ', [http://www.gadial.net/2015/12/31/calculus_change_of_variables/ החלפת משתנים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ("שיטת ההצבה")], באתר "לא מדויק"
* גדי אלכסנדרוביץ', [http://www.gadial.net/2016/02/29/improper_integrals/ מידת ז'ורדן ואינטגרלים מוכללים], באתר "לא מדויק"
* גדי אלכסנדרוביץ', [http://www.gadial.net/2016/04/12/general_change_of_variables/ החלפת משתנים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי – המשפט הכללי], באתר "לא מדויק"
* גדי אלכסנדרוביץ', [http://www.gadial.net/2016/08/21/stokes_theorem_overview/ על יריעות ותבניות (מה משפט סטוקס אומר, בגדול)], באתר "לא מדויק"

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=אנליזה וקטורית}}
* {{בריטניקה}}

{{אנליזה וקטורית}}

{{בקרת זהויות}}
[[קטגוריה:אנליזה וקטורית|*]]
[[קטגוריה:אנליזה מתמטית]]