הצגת המקור של הדף "אנרי לבג"

{{מדען
|שם=אנרי לבג
|שם בשפת המקור=Henri-Léon Lebesgue
|תאריך לידה=[[28 ביוני]] [[1875]]
|תאריך פטירה=[[26 ביולי]] [[1941]]
|תמונה=[[קובץ:Lebesgue 2.jpeg|מרכז|250px]]
|כיתוב=
|תרומות עיקריות=[[אנליזה מתמטית]]: [[תורת המידה]] ו[[אינטגרל לבג]]
|הערות=
|מדינה=[[צרפת]]}}
'''אנרי לאון לֶבֶּג''' (ב[[צרפתית]]: '''Henri Léon Lebesgue''';{{כ}} [[28 ביוני]] [[1875]] – [[26 ביולי]] [[1941]]) היה [[מתמטיקאי]] [[צרפתי]], המפורסם בעיקר הודות לתרומתו ל[[אנליזה מתמטית]]: [[תורת המידה]] ו[[אינטגרל לבג]]. החיבור שבו הציג את אינטגרל לבג הוא ''Intégral, longueur, aire'' ("אינטגרל, אורך, שטח"), שאותו פרסם ב-[[1902]] ב[[אוניברסיטת ננסי]].

== ביוגרפיה ==
אנרי לבג נולד ב-28 ביוני [[1875]]. אביו היה מדפיס ומת כאשר לבג היה צעיר. גם לבג עצמו סבל מבריאות לקויה במשך כל חייו. אחרי מות אביו, עבדה אמו בפרך כדי לפרנסם. אנרי לבג היה תלמיד מבריק ב[[בית הספר]] ואחר כך למד ב[[אקול נורמל סופרייר]].

לבג התחתן עם אחות של אחד מחבריו ללימודים ונולדו להם שני ילדים, סוזאן ויעקב. הוא לימד במכינה הקדם-אקדמית ובזמנו הפנוי עבד על עבודת המחקר שלו באנליזה.

[[קובץ:Lebesgue - Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions primitives, 1904 - 3900788.tif |ממוזער|''Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions primitives'', 1904]]

== אינטגרל לבג ==
'''הערה''': זהו ערך היסטורי ולא מתמטי-טכני. לדיון מלא ומתמטי, ראו את המאמרים הבאים: [[אנליזה מתמטית]], [[חשבון אינפיניטסימלי]], [[אינטגרל]], [[פונקציית מידה]], [[מידת לבג]] ו[[אינטגרל לבג]].

'''[[אינטגרל|אינטגרציה]]''' היא פעולה מתמטית שבאופן אינטואיטיבי אפשר לתארה כמציאת ה[[שטח]] הכלוא בין [[גרף של פונקציה|עקומה]] לבין ציר ה-x. [[ארכימדס]] הצליח לבצע אינטגרציה עבור מקרים מסוימים, אך לא פיתח שיטה כללית. ב[[המאה ה-17|מאה ה-17]] פיתחו [[אייזק ניוטון]] ו[[גוטפריד וילהלם לייבניץ]] (כל אחד בנפרד) שיטה לביצוע אינטגרציה המבוססת על כך שאינטגרציה היא בעצם הפעולה ההפוכה ל[[נגזרת|גזירה]]. את תוצאתם הם ניסחו [[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי#משפט (נוסחת ניוטון-לייבניץ)|במשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] שמתאר את הקשר בין אינטגרל לנגזרת ואף נותן נוסחה לביצוע אינטגרציה עבור מחלקה גדולה של פונקציות. שיטתם של ניוטון ולייבניץ לא הייתה מבוססת על הגאומטריה, אלא על [[חשבון אינפיניטסימלי|החשבון האינפיניטסימלי]] - תחום שעוד לא בוסס לוגית בתקופתם וההוכחות שנתנו לטענות אלה היו בלתי [[ריגורוזי]]ות ומלאות סתירות (ראו עוד על [[אינפיניטסימל]] בנושא זה).

ב{{ה|מאה ה-19}} פיתח [[אוגוסטן לואי קושי]] תורה ריגורוזית של [[גבול (מתמטיקה)|גבולות]] וכתוצאה מכך העניק בסיס מוצק לחשבון האינפיניטסימלי. [[ברנהרד רימן]] לקח את המנגנון של קושי ובאמצעותו הגדיר את האינטגרל באופן קפדני, מה שידוע כ'''[[אינטגרל#האינטגרל המסוים לפי רימן|אינטגרל רימן]]'''. מה שרימן עשה היה לחלק את השטח שמתחת לעקומה ל[[מלבן|מלבנים]] קטנים, שגובהם תלוי בערך של הפונקציה שבתוך הקטע המגדיר את בסיס המלבן. האינטגרל של רימן הוא [[גבול (מתמטיקה)|גבול]] שטח המלבנים כאשר [[רוחב]] המלבנים שואף ל[[0 (מספר)|אפס]].
כלומר:
<math>\ J_{\mbox{Riemann}} = \lim_{\Delta x \to 0}{\sum{f(x_i)} \Delta x}</math>

רימן גילה, לאכזבתו, שקיימות פונקציות שעבורן לא קיים גבול של סדרת שטחי המלבנים, ולכן לא היה להן אינטגרל רימן. לפונקציות כאלה קראו '''פונקציות לא אינטגרביליות רימן'''. אחרי תגלית מאכזבת זו נקטו המתמטיקאים מספר גישות לטיפול בבעיה:
# אפיון כל הפונקציות שעבורן קיים אינטגרל רימן (מחלקה זו של פונקציות נקראות '''פונקציות אינטגרביליות רימן''').
# הגדרת אינטגרלים לא-נאותים באמצעות גבולות, עבור פונקציות שאינן חסומות או בתחומים שאינם חסומים.
# ניסיון להכליל את האינטגרל עבור פונקציות "חלקות" פחות ו"בעייתיות" יותר.

לבג נקט בגישה השלישית, וסיפק בעבודתו גם אפיון מלא לפונקציות אינטגרביליות רימן. אפיון זה הוא הבא: "פונקציה היא אינטגרבילית רימן [[אם ורק אם]] היא חסומה וקבוצת [[רציפות|נקודות אי-הרציפות]] שלה היא בעלת [[מידה אפס]]."

לבג החליט להכליל את אינטגרל רימן. ראשית, עבד לבג ובנה את [[תורת המידה]] ואת '''[[מידת לבג]]''' על [[שדה המספרים הממשיים|הישר הממשי]]. מידת לבג היא הכללה של מושג ה[[אורך]] ומאפשרת למדוד אורך של קבוצות מספרים שאינן בהכרח איחוד [[קטע]]ים (אורך של קטע קל לחשב, אם קצות הקטע I הם a ו-b אזי אורך הקטע הוא <math>\ | b - a |</math>). לאחר שהכליל את מושג האורך באמצעות [[מידת לבג]], פנה לבג להגדיר את האינטגרל.

הרעיון של '''[[אינטגרל לבג]]''' הוא להפוך את הסכימה שהייתה באינטגרל של רימן. אם באינטגרל רימן לכל נקודה התאימו את הגובה שלה (הערך של הפונקציה בה) הרי שבאינטגרל לבג מסתכלים דווקא על טווח הערכים של הפונקציה ולכל ערך שהפונקציה מקבלת מתאימים את המידה של קבוצת הנקודות המחזירה ערך זה, ואז סוכמים. כלומר:
: <math>\ J_{\mbox{Lebesgue}} \approx \sum_i{ a_i \cdot m \left( f^{-1}(a_i) \right) } </math>
באופן יותר פורמלי, קודם כל מקרבים את הפונקציה f על ידי [[פונקציה פשוטה|פונקציות פשוטות]] (אלה פונקציות המקבלות מספר סופי של ערכים, כלומר: [[פונקציית מדרגה]]) ואז לוקחים את הגבול של פונקציות אלה בשביל לקבל את האינטגרל.

מסתבר כי כל פונקציה שהיא אינטגרבילית רימן היא גם אינטגרבילית לבג (אך לא ההפך!) וערכי האינטגרלים זהים. לכן אינטגרל לבג הוא הכללה של אינטגרל רימן.

אינטגרל לבג קיים לכל [[פונקציה מדידה|הפונקציות המדידות לבג]]. משפחת פונקציות זו רחבה יותר ממשפחת הפונקציות אינטגרביליות רימן, אך גם לאחר הכללה זו נותרו פונקציות להן לא ניתן לחשב אינטגרל. אינטגרל לבג מזדהה עם אינטגרל רימן ברוב המקרים של אינטגרלים לא-נאותים אך לא בכולם. [[אינטגרל הנסטוק]] הוא הכללה חזקה יותר שממנה אפשר להסיק את אינטגרל רימן והן את אינטגרל לבג.

== הישגים נוספים ==
מלבד עבודת המחקר שלו בנושא האינטגרל, כתב לבג שני ספרים:
* Leçons sur l'intégration et la recherché des fonctions primitives ב-[[1904]].
* Leçons sur les séries trigonométriques ב-[[1906]].
הוא גם כתב ופרסם מספר מאמרים.

אף על פי שאינטגרל לבג היה הכללה חזקה מאוד, נרתע לבג מביצוע הכללות והעדיף לפתור בעיות ספציפיות וקונקרטיות באנליזה. בנושא זה הוא כתב:
: "Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans contenu"
: "מצומצמת לתאוריות כלליות בלבד, מתמטיקה תהיה צורה יפה ללא תוכן"

==ראו גם==
* [[למת רימן-לבג]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
{{פרופילי מדענים}}
* {{בריטניקה}}

{{בקרת זהויות}}

{{מיון רגיל:לבג, אנרי}}
[[קטגוריה:מתמטיקאים צרפתים]]
[[קטגוריה:סגל קולז' דה פראנס]]
[[קטגוריה:בוגרי אקול נורמל סופרייר]]
[[קטגוריה:צרפתים שנולדו ב-1875]]
[[קטגוריה:צרפתים שנפטרו ב-1941]]