הצגת המקור של הדף "אפותם"

[[קובץ:Apothem of hexagon.svg|שמאל|ממוזער|200px|אַפּוֹתֶם של משושה משוכלל]]
'''אַפּוֹתֶם''' (לפעמים מכונה בקיצור אַפּוֹ, ביוונית תמה=להניח) הוא:

ב'''[[מצולע משוכלל]]'''{{הערה|שם=אפו|[http://mathworld.wolfram.com/Apothem.html אפותם] באתר http://mathworld.wolfram.com/}}
*[[קטע (גאומטריה)|קטע]] (או אורכו) ממרכז המצולע לנקודה התיכונה (האמצעית) של אחת הצלעות.
*או באופן שקול, הוא קטע (או אורכו) ממרכז המצולע ה[[אנך|אנכי]] לאחת הצלעות. כיוון שהמצולע הוא משוכלל הרי שכל האפותמים שלו [[חפיפה|חופפים]].

ב'''[[מעגל]]'''{{הערה|שם=אפו}}:
*קטע ישר (או אורכו) בין מרכז המעגל לאמצע [[מיתר (גאומטריה)|מיתר]] על המעגל.
*או באופן שקול, [[קטע (גאומטריה)|קטע]] (או אורכו) בין מרכז המעגל האנכי ל[[מיתר (גאומטריה)|מיתר]] על המעגל.

ב'''[[פירמידה (גאומטריה)|פרמידה]] משוכללת'''{{הערה|[http://www.bymath.com/studyguide/geo/sec/geo15.htm Polyhedrons. Prism, parallelepiped, pyramid] באתר http://www.bymath.com}} (פרמידה בעלת בסיס בצורת מצולע משוכלל):
*הקטע הישר (או אורכו) הקצר ביותר בין בין קודקוד הפרמידה לנקודה על היקף הבסיס (העובר על פני אחת הפאות).

ב'''[[פירמידה (גאומטריה)|פירמידה]] משוכללת קטומה''' (פירמידה רגולרית שפסגתה נקטמה על ידי [[מישור (גאומטריה)|מישור]] המקביל לבסיס):
*האפותם או אורך [[גובה (גאומטריה)|גובהה]] של כל פאה [[טרפז]]ית בצידי הפירמידה הקטומה.

==תכונות האפותם==
האפותם a יכול לשמש לחישוב ה[[שטח]] של מצולע משוכלל בעל n צלעות באורך s:
<math>A={nsa \over 2}</math>
אפשר לראות את נכונות הנוסחה אם מחלקים את המצולע ל-n [[משולש שווה-שוקיים|משולשים שווי שוקיים]] חופפים (עם קודקודי המשולשים במרכז המצולע ועם הבסיסים על צלעות המצולע). שטח משולש הוא מחצית הבסיס כפול הגובה ולכן שטח כל אחד מ-n המשולשים הוא <math>{sa \over 2}</math>.

<math>{p=ns}</math> הוא היקף המצולע ולכן ניתן גם לכתוב:
<math>A={pa \over 2}</math>

האפותם של מצולע משוכלל שווה ל[[רדיוס]] של ה[[מעגל חסום|מעגל החסום]] במצולע{{הערה|[http://www.mathopenref.com/apothem.html אפותם] באתר http://www.mathopenref.com}}. לכן הוא גם שווה למרחק המינימלי בין צלע למרכז המעגל. ככל שלמצולע יש יותר צלעות כך שטחו שואף לשטח המעגל החסום, והיקף המצולע p שואף להיקף המעגל החסום <math>{2 \pi r}</math>. מכל אלה נובעת הנוסחה לחישוב שטח ה[[עיגול]]:
<math>A={pa \over 2}={(2 \pi r)r \over 2}={\pi r^{2}}</math>

==מציאת האפותם==
ניתן למצוא את האפותם של מצולע משוכלל במספר דרכים. <br/>
האפותם a של מצולע משוכלל בעל n צלעות באורך s ועם רדיוס R ל[[מעגל חוסם|מעגל החוסם]] את המצולע שווה:
 <math>a = {s \over {2 \ tan({\pi \over n})}} = R \ cos({\pi \over n})</math>
ניתן להשתכנע בכך אם מעיינים ב-n המשולשים שווי השוקיים שהוזכרו בדיון למעלה. אם חוצים כל משולש כזה לרוחב מתקבל [[משולש ישר-זווית]] בו אורכי הניצבים הם <math>{s \over 2}</math> ו- a (האפותם), היתר הוא R והזווית בקודקוד היא <math>{\pi \over n}</math>. <br/>
האפותם גם שווה ל
 <math>a={s \over 2}tan({{\pi (n-2)} \over {2n}})</math>

נוסחאות אלו שימושיות גם אם ידועים רק היקף המצולע p ומספר הצלעות n כיוון ש <math>s = {p \over n}</math>.

==ראו גם==
*[[מצולע משוכלל]]
*[[מעגל]]
*[[סגיטה]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}

[[קטגוריה:מצולעים]]
[[קטגוריה:צורות גאומטריות]]