הצגת המקור של הדף "אקסיומת הבנייה"

'''אקסיומת הבנייה''' היא [[אקסיומה]] הטוענת, שכל [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] היא "בת-בנייה"; או בנוסח המקורי: ש[[מחלקה (תורת הקבוצות)|מחלקת]] הקבוצות היא [[L (תורת הקבוצות)|מחלקת-הקבוצות בנות-הבנייה]].

מגמתה של האקסיומה זו - היא, "למזער-[[אונטולוגיה|אונטולוגית]]" את מחלקת הקבוצות - עד למינימום - ולמעשה עד למחלקת-הקבוצות הנוצרת [[ZF|ממערכת אקסיומות צרמלו פרנקל]] לבדן. מובנה האינטואיטיבי של האקסיומה הוא אפוא, שכל קבוצה יכולה להיבנות ממערכת זו. מבחינה זו: יחסה של תורת הקבוצות לאקסיומת הבנייה, מקביל אל יחסה של ה[[אריתמטיקה]] ל[[אינדוקציה מתמטית|אקסיומת האינדוקציה]] - שאף היא מיועדת למזער למינימום (ולמעשה עד לקבוצת [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]]) את האונטולוגיה של האריתמטיקה.

הראשון שרמז לאקסיומה הזו - בכנותו אותה "אקסיומת ההגבלה" - היה ה[[מתמטיקאי]] [[אברהם הלוי פרנקל]], בשנת [[1922]]; עם זאת, הוא ניסח אותה בשפת-על (בלתי פורמלית) - כזו הכרוכה במונחים חיצוניים (כגון המונח "אקסיומות" וכדומה). המתמטיקאים של זמנו אף הסתייגו ממנה, וקראו לה "אקסיומה אד-הוק". הראשון שניסח את האקסיומה - ללא שימוש במונחים חיצוניים - אלא על ידי ניסוח תקני בשפה הפורמלית הרגילה של מערכת צרמלו-פרנקל (באופן מקביל אל תקניות הניסוח של אקסיומת האינדוקציה באריתמטיקה), היה המתמטיקאי והלוגיקן האוסטרי [[קורט גדל]], בשנת [[1935]].

אקסיומת הבניה מכריעה כמה [[:en:Statements true in L|השערות מפורסמות]]: היא בראש ובראשונה מכריעה לחיוב את [[השערת הרצף המוכללת]] (וממילא גם את [[אקסיומת הבחירה]] הנובעת מהשערת הרצף המוכללת), כפי שהוכיח גדל בשנת 1938. מאוחר יותר התברר שהיא גם מכריעה לחיוב את ההשערה בדבר קיומה של קבוצה פשוטה [[מידה (מתמטיקה)|בלתי מדידה]] של מספרים ממשיים, וכן שהיא מכריעה לשלילה את [[בעיית סוסלין|השערת סוסלין]]. כמו כן, אקסיומת הבניה גוררת את [[אקסיומת היסוד]], המהווה באופן מסורתי חלק בלתי נפרד מתורת הקבוצות האקסיומטית.

''חשיבותה'' של אקסיומת הבניה התגלתה בשנת 1940, כשגדל הוכיח כי - אם מערכת צרמלו פרנקל [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]] - אז היא תישאר כזו גם אם אליה תתווסף אקסיומת הבניה. תגלית זו איפשרה לגדל להוכיח, לראשונה, כי - אם מערכת צרמלו פרנקל עקבית - אז היא תישאר כזו גם אם אליה תתווסף השערת הרצף (מסקנה מקבילה תהיה תקפה גם לגבי כל ההשערות האחרות המוכרעות לחיוב על ידי אקסיומת הבניה).

למרות ''עיקביותה המוכחת'' של אקסיומת הבניה - ביחס למערכת צרמלו פרנקל, ועל אף שהעקביות הזו מספיקה לשם הכרעת ''עקביותן'' (לאו דווקא נכונותן) של כמה השערות מפורסמות (ובכללן השערת הרצף כאמור) - ביחס למערכת צרמלו פרנקל, הרי שעצם ''נכונותה'' של אקסיומת הבניה - שנויה במחלוקת: אפילו גדל עצמו, מנסחה הראשון (פורמלית), סבר כי היא אינה אינטואיטיבית דיה - בהגבילה אד-הוק ובאופן שרירותי ומוגזם על פניו את יקום הקבוצות. הגד דומה הועלה בזמנו כנגד גרסתה המיושנת יותר: "אקסיומת ההגבלה" (ראו לעיל).

== הגדרה פורמלית ==
{{הפניה לערך מורחב|ערך=[[L (תורת הקבוצות)|L]]}}
האופן המקובל לסמן את מה שטוענת אקסיומת הבניה, הוא: V=L, זאת כאשר V מסמן את מחלקת הקבוצות, בעוד ש-L מסמן את מחלקת הקבוצות הניתנות לבניה.
המחלקה L מוגדרת ב[[אינדוקציה טרנספיניטית]] על פני כל ה[[מספר סודר|סודרים]]: <math>L_{\alpha + 1}</math> מוגדר להיות אוסף כל הקבוצות הגדירות מתוך איברים של <math>L_{\alpha}</math>, במודל <math>(L_\alpha,\in)</math>. בסודרים גבוליים לוקחים את איחוד כל השלבים הקודמים.

אפשר לראות כי קבוצה גדירה בתוך מודל מהצורה <math>(A,\in)</math> [[אם ורק אם]] היא תת-קבוצה של A שמתקבלת באמצעות הפעלה בסדר מסוים של הפעולות הבאות על הקבוצות ההתחלתיות <math>A^{=}_{n,i,j} = \{ x \in A^{n} | x_i = x_j\},\,A^{\in}_{n,i,j} =\{x \in A^{n} | x_i \in x_j\}</math> (האינדקסים רצים על כל המספרים הטבעיים):
# חיתוך של זוג קבוצות (מקביל להפעלת ה[[קשר לוגי|קשר הלוגי]] "וגם").
# לקיחת משלים ביחס ל-A<sup>n</sup> המתאים (מקביל להפעלת הקשר הלוגי שלילה).
# הטלה לפי קואורדינטה מסוימת (מקביל להפעלת ה[[כמת]] "[[קיים (כמת)|קיים]]").
כלומר ניתן לבנות אותה מתוך הקבוצה המקורית באמצעות אוסף מצומצם של פעולות בסיסיות, ומכאן השם.

==ראו גם==
*[[השערת הרצף]]
*[[השערת סוסלין]]
*[[קבוצה מדידה]]
*[[אקסיומת היסוד]]

{{תורת הקבוצות}}
==קישורים חיצוניים==

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:אקסיומות של תורת הקבוצות]]