הצגת המקור של הדף "אקסיומת ההיקפיות"

ב[[תורת הקבוצות האקסיומטית]], '''אקסיומת ההיקפיות''' היא [[אקסיומה]] במערכת ZF. האקסיומה גורסת כי  אם לכל איבר x, הוא שייך לקבוצה הראשונה [[אם ורק אם]] הוא שייך לקבוצה השנייה, אז שתי הקבוצות שוות. 

משמעות האקסיומה היא שיחס השייכות מגדיר חד משמעי את הקבוצה. בפרט, האקסיומה שוללת את קיומם של ה'''אטומים''' - שהם אובייקטים שונים זה מזה חסרי איברים, כיוון שהיא מבטיחה שכל אובייקט כזה יהיה שווה ל[[הקבוצה הריקה|קבוצה הריקה]].

באופן פורמלי: <math>\forall A \forall B (\forall x \,  (x\in A \leftrightarrow x\in B)\Longrightarrow A = B)</math>

אקסיומות הנובעות למושג ה[[שוויון (מתמטיקה)|שוויון]] ב[[תחשיב הפרדיקטים]] מבטיחות את הכיוון השני - אם A=B אז יש להם את אותם איברים.

אקסיומת ההיקפיות יכולה להיחשב גם כ[[הגדרה]] של מושג השוויון בין זוג קבוצות. במובן הזה, ניתן לעבוד ב[[שפה פורמלית|שפה]] שאיננה מכילה את סימן השוויון ולהגדיר אותו בהתאם לאקסיומה. במקרה הזה יש לשנות את האקסיומה: אם לכל x מתקיים x שייך ל-A אם ורק אם x שייך ל-B, אז לכל C יתקיים ש-A שייך ל-C אם ורק אם B שייך ל-C. 

בכל [[מודל]] של האקסיומה הזו אמנם ייתכן שיהיו שני איברים שונים בעלי אותם איברים, אבל ההתנהגות שלהם תהיה זהה לחלוטין (הם יקיימו את אותן [[נוסחה (לוגיקה מתמטית)|נוסחאות]]).

== תורת הקבוצות עם אטומים ==
באופן היסטורי, [[תורת הקבוצות]] אפשרה קיום של אטומים, כלומר איברים שאינם [[הקבוצה הריקה]] ולא מכילים שום איבר. בעקבות התפתחות תורת הקבוצות, אובייקטים אלו נזנחו ואקסיומת ההיקפיות אומצה.

למרות זאת, לתורת הקבוצות עם אטומים (לעיתים מסומנת ZFA) יש שימושים. למשל, ב-ZFA קל לבנות מודלים בהם [[אקסיומת הבחירה]] נכשלת, כולל שליטה במידת הכישלון (כלומר האם גרסאות חלשות יותר של אקסיומת הבחירה או תוצאות מסוימות שלה מתקיימות או לא). מודלים אלו עמדו בבסיס הבנייה של [[פול כהן|כהן]], המבוססת [[כפייה (לוגיקה מתמטית)|כפייה]], של מודלים של ZF ללא אקסיומת הבחירה.

ניתן להתאים את אקסיומת ההיקפיות לתורה שמכילה אטומים בשני אופנים. אפשר להוסיף יחס חד-מקומי A, כך ש-A(x)&lrm; כאשר x אטום, ולהגביל את אקסיומת ההיקפיות רק לאיברים שאינם ביחס A. מצד שני, אפשר להימנע מהוספת סימן יחס, ולהגביל את אקסיומת ההיקפיות רק לקבוצות שמכילות איברים. 

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld|AxiomofExtensionality}}
{{תורת הקבוצות}}
[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:אקסיומות של תורת הקבוצות|היקפיות]]