הצגת המקור של הדף "ארבעון"

[[קובץ:Tetrahedron.gif|ממוזער|250px|ארבעון משוכלל]]
[[קובץ:Tetrahedron.stl|ממוזער|מודל תלת־ממדי של ארבעון משוכלל (לחצו להגדלה)]]
[[קובץ:Bottrop, Tetraeder -- 2019 -- 0230.jpg|ממוזער|מבנה בצורת ארבעון]]

'''אַרְבָּעוֹן'''{{הערה|במילוני [[האקדמיה ללשון העברית]] השונים גם: '''פִּירָמִידָה מְשֻׁלֶּשֶׁת''', '''פִּירָמִידָה מְשֻׁלָּשִׁית''', '''טֶיטְרָאֶדְרוֹן''', '''טֶטְרָאֵדֶר'''}} (גם '''טטראדר''' או '''טטרהדרון'''; ב[[אנגלית]]: '''Tetrahedron''') הוא [[פירמידה (גאומטריה)|פירמידה]] משולשת, כלומר גוף שכל ארבע פאותיו הן [[משולש]]ים. לארבעון 4 [[קודקוד]]ים, 4 [[פאה (גאומטריה)|פאות]], ו-6 [[מקצוע (גאומטריה)|מקצוע]]ות.

אף על פי שלעיתים נתפסת ה[[תיבה (גאומטריה)|תיבה]] כגוף הפשוט ביותר, תואר זה שייך דווקא לארבעון. הוא מכיל את מספר הקדקודים המזערי הדרוש כדי להיות גוף [[מרחב תלת-ממדי|תלת־ממד]]י ולא [[מישור (גאומטריה)|מישורי]], שכן דרך כל שלוש [[נקודה (גאומטריה)|נקודות]] עובר [[מישור (גאומטריה)|מישור]].

הארבעון הוא 3-סימפלקס, [[מקרה פרטי]] של n-[[סימפלקס]] ([[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] רב-ממדית של ה[[משולש]]).

נפח הארבעון נתון על ידי הנוסחה:
:<math>V = \frac13 A_0\,h \,</math>
כאשר <math>A_0</math> הוא שטח הבסיס ו-h הוא הגובה מהבסיס אל הקודקוד שמעליו.

== ארבעון משוכלל ==
ארבעון משוכלל הוא ארבעון שכל פאותיו הן [[משולש שווה-צלעות|משולשים שווי צלעות]].

הארבעון המשוכלל סימטרי במידה רבה ביותר: [[חבורת הסימטריות]] שלו [[פעולת חבורה|פועלת]] [[פעולה טרנזיטיבית|4-טרנזיטיבית]] על ארבעת הקודקודים, כלומר, אפשר להעביר, על ידי סיבוב ושיקוף, כל סדרת קודקודים לכל סדרת קודקודים אחרת. חבורת הסימטריות המרחביות של הארבעון המשוכלל איזומורפית ל[[חבורת תמורות]] <math>A_4</math>. השלד של הארבעון הוא ה[[גרף שלם|גרף השלם]] <math>K_4</math>, וחבורת הסימטריות שלו איזומורפית ל-<math>S_4</math>.

הארבעון המשוכלל הוא אחד מ[[חמשת הגופים האפלטוניים]], הידועים גם בשם [[פאון משוכלל|הפאונים המשוכללים]]. גוף אפלטוני הוא [[פאון]] שכל פאותיו הן אותו [[מצולע משוכלל]] (מצולע שווה-צלעות), ובכל אחד מ[[קודקוד]]יו נפגשות פאות באותו מספר.

[[שטח פנים|שטח הפנים]] A וה[[נפח]] V של ארבעון משוכלל בעל צלע a הם:
:<math>A=\sqrt{3}a^2</math>
:<math>V = \tfrac{\sqrt{2}a^3}{12}</math>

הארבעון המשוכלל הוא [[פאון דואלי|דואלי]] לעצמו. כלומר: אם נסמן בכל אחת מפאותיו של ארבעון את הנקודה האמצעית, ונחבר את כל הנקודות הללו, נקבל ארבעון משוכלל.

== מיון הארבעונים על-פי הסימטריות שלהם ==
את הארבעונים אפשר למיין למשפחות, על-פי חבורת הסימטריות שלהם. זהו מיון בעל משמעות ב[[קריסטלוגרפיה]], שם ממיינים את ה[[סריג (מבנה גאומטרי)|סריגים]] ל[[סריגי בראבה|מחלקות בראבה]] ול[[מערכת גבישית|מערכות גבישיות]], בין השאר, על-פי [[חבורת סימטריות נקודתית|חבורת הסימטריות]] של [[תא יחידה|תא היחידה]] של הסריג.

=== הסימטריות של השלד ===
[[קובץ:Symmetry subgroups of S4.jpg|שמאל|ממוזער|250px|סריג תת-החבורות של <math>S_4</math>: עותק אחד מכל מחלקת צמידות. בשחור: תת-חבורות המופיעות כחבורות סימטריה של שלדי ארבעונים]]
[[קובץ:Sierpinski_tetrahedrons.stl|ממוזער|253x253 פיקסלים|[[פירמידת שרפינסקי|פירמידות שרפינסקי]] מאיטרציות 0–7 שנוצרות מארבעונים ומכילות מופעים רבים שלהם (דגם תלת־ממדי, לחצו להגדלה)]]
הקודקודים והמקצועות של ארבעון מרכיבים את השלד החד-ממדי שלו, שהוא [[גרף (תורת הגרפים)|גרף]] שממנו אפשר לשחזר את המבנה הגאומטרי, התלת-ממדי. בסימטריות של השלד אפשר לבצע גם פעולות שאינן אפשריות בגוף צפיד, השקולות לשיקוף של המרחב: [[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] של הקודקודים מהווה סימטריה של השלד, אם היא מעתיקה כל מקצוע למקצוע באותו אורך. משום כך יש יותר חבורות סימטריה אפשריות לשלד, על-פי הפירוט הבא.

# חבורת הסימטריות של ארבעון משוכלל היא <math>S_4</math> (אם חבורת הסימטריות מכילה את <math>A_4</math>, שהיא [[פעולה טרנזיטיבית|2-טרנזיטיבית]] על הקודקודים ולכן טרנזיטיבית בפעולה על המקצועות, הארבעון מוכרח להיות משוכלל).
# חבורת הסימטריות היא ה[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית]] <math>D_4</math> אם הארבעון הוא [[יתדון|יתדון טטרגונלי]], שבו ארבעה מקצועות שווי-אורך ועוד שניים, שאינם נפגשים, שגם שהם שווי-אורך. (הסימטריה הציקלית מסדר 4 מאלצת די שוויונות בין ארכי המקצועות כדי שהחבורה תהיה <math>D_4</math>).
# חבורת הסימטריות היא החבורה הסימטרית <math>S_3</math> כאשר הארבעון הוא [[פירמידה ישרה]] שבסיסה [[משולש שווה-צלעות]]. (גם כאן, סימטריה ציקלית מסדר 3 מאלצת את התכונות המקנות גם סימטריית שיקוף ועימה את החבורה <math>S_3</math>).
# חבורת הסימטריות היא [[חבורת הארבעה של קליין]], <math>K_4</math>, אם הארבעון הוא [[יתדון|יתדון רומבי]].
# חבורת הסימטריות היא <math>C_2 \times C_2</math>, מסדר 4, וכוללת שני חילופים המחליפים זוגות זרים של קודקודים, אם לארבעון יש ארבעה מקצועות שווי-אורך שאין ביניהם שלושה החולקים קודקוד משותף.
# חבורת הסימטריות היא <math>C_2</math>, ציקלית מסדר 2, עם החלפה של שני זוגות קודקודים, אם לארבעון יש שני זוגות של מקצועות שווי-אורך שאינם נפגשים (והזוג השלישי, שלא כמו ביתדון, בעל אורכים שונים).
# חבורת הסימטריות היא <math>C_2</math>, ציקלית מסדר 2, עם חילוף של זוג קודקודים, אם לארבעון יש שני זוגות של מקצועות שווי-אורך הנפגשים בקודקוד משותף.
# בכל מקרה אחר, חבורת הסימטריות [[טריוויאלי]]ת.

=== סימטריות הסיבוב המרחביות ===
כל סימטריה של השלד אפשר לממש גם כסימטריה של המרחב כולו, אם מרשים בנוסף לסיבובים, גם לשקף את המרחב. פעולת השיקוף אינה ניתנת למימוש במציאות הפיזיקלית (בשל-כך יודע אדם בין ימינו לשמאלו). ללא שיקופים אפשר לממש רק תמורות זוגיות, ונותרות חמש אפשרויות:

# חבורת סימטריות הסיבוב של ארבעון משוכלל היא, כאמור, <math>A_4</math>.
# חבורת סימטריות הסיבוב של [[פירמידה (גאומטריה)|פירמידה ישרה]] שבסיסה [[משולש שווה-צלעות]] היא החבורה הציקלית <math>C_3</math>.
# חבורת סימטריות הסיבוב של [[יתדון]] (רומבי או טטרגונלי) היא <math>K_4</math>.
# חבורת סימטריות הסיבוב של ארבעון בעל שני זוגות של מקצועות שווי-אורך שאינם נפגשים (והזוג השלישי, שלא כמו ביתדון, בעל אורכים שונים) היא <math>C_2</math>, ציקלית מסדר 2, עם החלפה של שני זוגות קודקודים.
# בכל מקרה אחר, חבורת הסימטריות [[טריוויאלי]]ת.

== קוביית משחק ==
[[קובץ:4-sided dice 250.jpg|100px|ממוזער|[[קוביית משחק]] בעלת ארבע פאות]]
הארבעון משמש כ[[קוביית משחק]] ב[[משחקי תפקידים]] בתור ק4. המספרים מופיעים במרכז כל צלע. מאחר שאין לארבעון צד עליון המספר שהתקבל נקבע על פי המספר המופיע במרכז הצלע התחתונה.

==ראו גם==
* [[מתאן]] - [[מולקולה]] בצורת ארבעון
* [[ארבעון קטום]]
* [[הבעיה השלישית של הילברט]]

== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Tetrahedron|שם ויקישיתוף=ארבעון|ויקימילון=ארבעון}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{פאונים}}
{{מצולעים ופאונים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:פירמידות (גאומטריה)]]
[[קטגוריה:צורות גאומטריות סימטריות]]
[[קטגוריה:4 (מספר)]]