הצגת המקור של הדף "ארגומנט (אנליזה מרוכבת)"

[[קובץ:Complex_number_illustration_modarg.svg|ממוזער|איור 1. תרשים ארגנד זה מייצג את [[מספר מרוכב|המספרים המרוכבים]] הנמצאים על המישור. עבור כל נקודה במישור, ארגומנט (arg)  היא פונקציה אשר מחזירה את זווית φ.]]
ב[[מתמטיקה]], ה'''ארגומנט''' (Argument) הוא [[פונקציה רב-ערכית]] הפועלת על [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]] שאינם אפסיים. כשהמספר המרוכב z מייצג נקודה על [[המישור המרוכב]], הארגומנט של ''z'' הוא [[זווית]] בין [[הציר הממשי]] החיובי והקו המחבר את נקודת המוצא, כפי שמוצג כ-φ באיור 1 ומסומן כ-arg ''z''. כדי להגדיר פונקציה בעלת ערך אחד, נשתמש ב[[ערך עיקרי|ערך העיקרי]] של הארגומנט (לפעמים מכונה Arg ''z''). הוא נבחר להיות ערך ייחודי של הארגומנט הזה בקטע <math>(-\pi,+\pi]</math>.

== הגדרה ==
[[קובץ:Complex_number_illustration_multiarg.svg|ממוזער|באיור 2. מוצגות שתי אפשרויות לארגומנט: <math>\varphi</math> ו-<math>\varphi + 2\pi</math>.]] 
'''הארגומנט''' של המספר המרוכב <math>z=x+iy \in \mathbb{C}-\{0\}</math>, מכונה arg(''z''), מוגדר בשתי דרכים שוות ערך:

# מבחינה גאומטרית, במישור המרוכב, כשה[[זווית]] φ<span id="cxmwKQ" tabindex="0"></span> חיובית מהציר הממשי עד הווקטור המייצג את z<span id="cxmwKg" tabindex="0"></span>. הערך המספרי נתון על ידי הזווית [[רדיאן|ברדיאנים]], והוא חיובי אם נמדד נגד [[כיוון השעון]].
# מבחינה אלגברית, כל מספר ממשי <math>\varphi \in \mathbb{R}</math> שמקיים <math display="block">z = r e^{i \phi}=r\cdot(\cos \varphi + i \sin \varphi)</math> עבור ''r'' חיובי ממשי (ראו [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|הנוסחה של אוילר]]). הגודל <math>r=|z|</math> הוא [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]] של ''z'' ולפעמים מכונה "מודולוס", גאומטרית זהו אורך הקו המחבר בין ''z'' ל[[ראשית הצירים]] (אורך הווקטור <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math>). הארגומנט, בעיקר בהקשרים [[פיזיקה|פיזיקליים]], מכונה לעיתים [[מופע (פיזיקה)|מופע]] (phase).

תחת שתי ההגדרות, ניתן לראות כי לארגומנט של כל מספר מרוכב שאינו אפס יש הרבה ערכים אפשריים: ראשית, בתור זווית הנדסית, זה ברור כי כל סיבוב מעגל שלם לא משנה את הנקודה, אז זוויות שונות על ידי הוספת מספר של 2π [[רדיאן|ברדיאנים]] (מעגל שלם) הם אותו הדבר, כפי שהיא באה לידי ביטוי על ידי איור 2 מימין. באופן דומה, מן [[פונקציה מחזורית|מחזוריות]] של [[סינוס (פונקציה)|סינוס]] ו[[קוסינוס]], גם להגדרה השנייה יש את התכונה הזאת. הארגומנט של אפס בדרך כלל נשאר לא מוגדר.

הקשר בין הפונקציה הרב-ערכית של הארגומנט לערך העיקרי ("הענף הראשי") הוא <math display="block">\operatorname{arg}(z) = \operatorname{Arg}(z) + 2 \pi \mathbb{Z} = \{ \operatorname{Arg}(z) + 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z} \} </math>

== ערך עיקרי ==
[[קובץ:Principal_value_of_arg.svg|ממוזער|275x275 פיקסלים|באיור 3. הערך העיקרי Arg של הנקודה הכחולה ב- i +1 הוא π/4. הקו האדום כאן הוא חתך ענף ומתאים את שני הקווים האדומים באיור&#x20;4 הנמצאים אחד מעל השני בצורה אנכית).]]
משום שהשלמת סיבוב סביב המקור משאיר מספר מרוכב ללא שינוי, ישנן אפשרויות רבות אשר לערך ש-φ יכול לקבל על ידי המקור בכל [[מספר שלם]] של פעמים. זה מוצג באיור 4, ייצוג של [[פונקציה רב ערכית|הפונקציה הרב ערכית]] (לערך נבחר) קו אנכי (לא מוצג באיור) חותך את השטח בגובה מייצג את כל האפשרויות של זווית על הנקודה הזו.

כאשר פונקציה [[מוגדר היטב|מוגדרת היטב]] נדרשת אז הבחירה הרגילה, המכונה "הארגומנט הראשי" שהוא [[מקרה פרטי]] של [[ערך עיקרי]] או [[ענף ראשי]]. לשם כך יש להגדיר קטע פתוח-סגור באורך 2π שבו הארגומנט יכול לקבל ערכים. ב[[אנליזה מרוכבת]] מקובל לבחור בקטע החצי-סגור חצי-פתוח <math display="block">I_0 = (-\pi,\pi] = \{ x \in \mathbb{R} \mid -\pi < x \le \pi \}</math>
כקטע בו מוגדר הארגומנט הראשי. זה שקול לזווית שערכה נע בין [[פאי]] [[רדיאן|רדיאנים]] (כולל) למינוס פאי רדיאנים (לא כולל), במעלות זה שקול לזווית שנעה בין 180 מעלות (כולל) למינוס 180 מעלות (לא כולל). בטקסטים שונים בוחרים לעיתים בקטעים אחרים להגדרת הארגומנט הראשי, כגון <math>[0,2\pi]</math>.

=== סימון ===
הערך העיקרי לפעמים נכתב באותיות גדולות כמו Arg, במיוחד כאשר מתחשבים גם בגרסה גנרית של הארגומנט, בעוד שהפונקציה הרב-ערכית נכתבת arg. זהו הסימון המקובל אך במספר ספרים הסימון הפוך.

קבוצת כל הערכים האפשריים של הארגומנט יכולה להיכתב במונחים של Arg :
<math display="block">\operatorname{arg}(z) = \operatorname{Arg}(z) + 2 \pi \mathbb{Z} = \{ \operatorname{Arg}(z) + 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z} \} </math>
ובאופן דומה, הארגומנט הראשי נתון על ידי
<math display="block">\operatorname{Arg}(z) = \{\arg(z) - 2\pi n\;|\; n \in \mathbb Z \ \land -\pi < \operatorname{Arg}(z) \le \pi \} = \arg(z) \cap (-\pi,\pi]</math>
(כאן זה נתון עבור הקטע <math>I_0 = (-\pi,\pi]</math>, ניתן לבחור כל קטע אחר באורך 2 פאי).

== חישוב מהחלק הממשי והמדומה ==

בהינתן ההגדרה הגאומטרית של הארגומנט, קל לראות שמציאת הארגומנט של <math>z=x+iy \in \mathbb{C}</math> שקולה ל[[קואורדינטות קוטביות#מציאת הזווית|מציאת הזווית]] של <math>(x,y) \in \mathbb{R}^2</math> ב[[קואורדינטות קוטביות]].

אם בוחרים לעבוד ב[[קטע (מתמטיקה)|אינטרוול]] <math>\ [ 0, 2 \pi )</math>, כלומר, הזווית מקבלת ערכים בין 0 ל-2π (לא כולל 2π), מוסכמה המקובלת ב[[אנליזה וקטורית]], אזי ניתן למצוא את הזווית לפי הנוסחה הבאה:
: <math>\ \varphi = \operatorname{atan1}\left(\tfrac{y}{x}\right) = 
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y < 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
\frac{3\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0
\end{cases}</math>
כאשר arctan היא הפונקציה ההופכית ל[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציה הטריגונומטרית]] [[טנגנס]].

אם עובדים באינטרוול <math>\ (-\pi, \pi]</math>, המקובל יותר ב[[אנליזה מרוכבת]], יש להשתמש בנוסחה הבאה:
: <math>\ \varphi = \operatorname{atan2}\left(\tfrac{y}{x}\right) = 
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0
\end{cases}</math>
[[פונקציה מפוצלת|הפונקציה המפוצלת]] הזאת נקראת לעיתים קרובות atan2 ("ארכטנגס 2") ורושמים <math>\varphi = \operatorname{atan2}(y/x)</math>.

== זהויות ==
אחד המניעים העיקריים עבור הגדרת הערך העיקרי Arg הוא היכולת לכתוב מספרים מרוכבים בצורת ערך מוחלט וארגומנט. לכן עבור כל מספר מרוכב מתקיים <math display="block">z = |z| e^{i \arg(z)}=|z| e^{i \operatorname{Arg}(z)}</math>
זה תקף רק אם <math>z \ne 0</math> אבל יכול להיחשב גם ב-''z=0'' אם קובעים <math>\operatorname{Arg}(0) = c \in \mathbb{R}</math> ([[מספר ממשי]] סופי) באופן שרירותי (שימו לב ש-<math>|0|=0</math>).

עוד כמה זהויות מתקדמות יותר עוקבות. אם <math>z_1,z_2 \in \mathbb{C}^\times = \mathbb{C}-\{0\}</math> הם שני מספרים מרוכבים שונים מאפס, אז
* <math>\operatorname{Arg}(z_1 z_2) \equiv \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2) \pmod{(-\pi,\pi]}</math>,
* <math>\operatorname{Arg}\biggl(\frac{z_1}{z_2}\biggr) \equiv \operatorname{Arg}(z_1) - \operatorname{Arg}(z_2) \pmod{(-\pi,\pi]}</math>.
אם ''z'' ≠ 0 ו-<math>n \in \mathbb{Z}</math> הוא כל מספר שלם, אז
* <math>\operatorname{Arg}\left(z^n\right) \equiv n \operatorname{Arg}(z) \pmod {(-\pi,\pi]}</math>.

לדוגמה:
:<math>\operatorname{Arg}\biggl(\frac{-1- i}{i}\biggr) = \operatorname{Arg}(-1 - i) - \operatorname{Arg}(i) = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{4}</math>

== ביבליוגרפיה (מתורגמת מהערך באנגלית) ==
* Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable (3rd ed.). New York;London: McGraw-Hill. {{ISBN|0-07-000657-1}}.
* Ponnuswamy, S. (2005). Foundations of Complex Analysis (2nd ed.). New Delhi;Mumbai: Narosa. {{ISBN|978-81-7319-629-4}}.
* Beardon, Alan (1979). Complex Analysis: The Argument Principle in Analysis and Topology. Chichester: Wiley. {{ISBN|0-471-99671-8}}.
* Borowoski, Ephraim; Borwein Jonathan (2002) [1st ed. 1989 as Dictionary of Mathematics]. Mathematics. Collins Dictionary (2nd ed.). Glasgow: HarperCollins. {{ISBN|0-00-710295-X}}.

== קישורים חיצוניים ==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]
[[קטגוריה:עיבוד אותות]]
[[קטגוריה:טריגונומטריה]]