הצגת המקור של הדף "אריתמטיקה"

{{פירוש נוסף|נוכחי=ענף מרכזי במתמטיקה|אחר=ספר מאת דיופנטוס|ראו=[[אריתמטיקה (ספר)]]}}
[[קובץ:Perugia_-_Fontana_Maggiore_-_2_-_Arti_liberali_-_3-4_-_Retorica_e_Aritmetica_-_Foto_G._Dall'Orto_5_ago.jpg|שמאל|ממוזער|400px|האריתמטיקה וה[[רטוריקה]] – שתיים מבין [[שבע האמנויות החופשיות]]. פסלם של [[ניקולא פיזאנו]] ו[[ג'ובאני פיזאנו]], פונטנה מאג'ורה, [[פרוג'ה]].]]
'''אָריתמֶטיקה''' (מהמילה ה[[יוונית]] '''αριθμός''', אריתמוֹס, שפירושה [[מספר]]), הידועה גם בשם '''חשבון''', היא הענף העתיק והבסיסי ביותר ב[[מתמטיקה]]. זהו החלק היסודי בלימוד המתמטיקה, הוא משתלב ביתר ענפי המתמטיקה וחיוני להבנתם. עקרונות האריתמטיקה הבסיסיים, המבוססים על [[ארבע פעולות החשבון]] ו[[סדר חלקי|סדר]] בין מספרים, משמשים כל אדם מודרני לצורך ביצוען של משימות יום-יומיות פשוטות כגון הכנת מזון ותכנון [[כלכלת הבית]]. לאריתמטיקה המתקדמת ולתחומים הקרובים אליה, הכוללים פעולות מתמטיות מורכבות יותר, יש שימוש רב בתחומי ה[[מדע]], ה[[הנדסה]] וה[[טכנולוגיה]] השונים.

גבולותיו של ענף מתמטי זה אינם תחומים באופן חד, והם השתנו במרוצת השנים. במובנה המצומצם, המילה מתייחסת לענף במתמטיקה העוסק במספרים שלמים ובתכונותיהם, כמו [[מספר ראשוני|ראשוניות]] וכדומה. [[מתמטיקאי]]ם משתמשים לעיתים במונח 'אריתמטיקה'{{הערה|{{משמאל לימין|Davenport, Harold (1999). The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7th ed.). Cambridge, England: Cambridge University Press.}}}}
כתחליף ל[[תורת המספרים]], גם במובנה הרחב.

==היסטוריה==
{{ערך מורחב|היסטוריה של האריתמטיקה}}
[[קובץ:Os d'Ishango IRSNB.JPG|שמאל|ממוזער|280px|[[עצם אישנגו]] – ממצא [[תיארוך|המתוארך]] לתקופה שלפני 20–22 אלף שנה, ומעיד על רמתו ה[[מתמטיקה|מתמטית]] של האדם בתקופה זו.]]
[[קובץ:Babylonian numerals.svg|שמאל|ממוזער|280px|[[ספרות בבליות|הספרות הבבליות]] – ניתן להבחין בנקל בשיטת הקיבוץ המשנית בה השתמשו הבבלים.]]
[[קובץ:Diophantus-cover.jpg|שמאל|ממוזער|150px|כריכת [[ספר]]ו של [[דיופנטוס]] "[[אריתמטיקה (ספר)|אריתמטיקה]]" משנת [[1621]] בתרגום ל[[לטינית]].]]
כבר ב[[פרהיסטוריה|תקופה הפרהיסטורית]], בני [[אדם נבון|האדם]] החלו להבין את רעיונות המספר וה[[חישוב]], כנראה בעקבות הצורך בהגדרת בסיס להכללת עצמים. האדם החל לפתח במוחו דרכים לחישוב יעיל ופשוט והשתמש ב[[אצבע]]ותיו כדי לייצג עצמים ו[[מנייה|לספור]] אותם.{{הערה|ניתן לראות מעין [[אנלוגיה]] בין הדברים לבין תורתו של ה[[פסיכולוג]] ה[[שווייץ|שווייצרי]] [[ז'אן פיאז'ה]] בנושא ה[[פסיכולוגיה התפתחותית|פסיכולוגיה ההתפתחותית]]. להרחבה, ראו [[היסטוריה של האריתמטיקה]].}} בתקופה זו חלה נקודת מפנה חשובה, כאשר האדם תפס לראשונה את החישובים שלו כ"מקרים פרטיים" – חלק מאוסף כללים אוניברסליים, שחלים על כל פעולה אריתמטית שיבצע, בכל צורה. בכך החל האדם לתפוס כיצד לחשב בצורה יעילה יותר (נראה שהבנה זו התקבלה רק כאשר העביר האדם את חישוביו אל אמצעי עזר, כגון ספירת עצמים מוחשיים וכתב{{הערה|ישנם מספר ממצאים המאשרים כי האדם הקדמון השתמש בגורמים חיצוניים לחישוביו, באמצעות חריטת סמלים על חומרים שונים כגון עצמות ואבנים, בין השנים 70,000 לפנה"ס ל-3,400 לפנה"ס, התקופה בה הומצא הכתב. ניתן לקרוא על ממצאים אלו ב[[:en:Timeline of mathematics|ציר הזמן הזה]] שבוויקיפדיה האנגלית.}}). מאז, התפתחה האריתמטיקה ועברה שכלולים רבים עד לגלגולה המודרני.

[[מצרים העתיקה|המצרים הקדומים]] היו הראשונים שביצעו פעולות מורכבות בתחום האריתמטיקה. כבר בראשית [[האלף ה-3 לפנה"ס]] לערך, פיתחו המצרים גרסה ראשונית של [[השיטה העשרונית]], כשהיא נכתבת בצורה חיבורית, שבה סדר הגורמים איננו משנה את המספר. הספרות המצריות שילבו [[כתב יתדות]] עבור ה[[ספרה|ספרות]] 1–9 והשתמשו בציורי [[הירוגליפים]] עבור שאר הגדלים בהם השתמשו.{{הערה|ראו [[היסטוריה של האריתמטיקה#מצרים העתיקה]] להרחבה ולצפייה בספרות.}} אחר כך עברו המצרים לשיטה יעילה יותר, שצמצמה את מספר הספרות שאותו היו צריכים לחרוט, אך חסרונה היה מספר הספרות הגדול, שהקשה על זכירת השיטה, והגביל אותה לאלו שהוכשרו במיוחד. כמו כן, תרמו המצרים להתפתחות ה[[שבר (מתמטיקה)|שברים]]. ישנם מספר ממצאים, כמו [[פפירוס מוסקבה]] {{ללא גלישה|(1850 לפנה"ס)}} ו[[פפירוס רינד]] (1650 לפנה"ס), המעידים על יכולת פתרון [[משוואה ליניארית|משוואות ליניאריות]] ו[[משוואה ריבועית|ריבועיות]], אך בכל הממצאים הללו ניכר כי המצרים ראו באריתמטיקה [[מדע שימושי]], ותו לא.

[[ספרות בבליות|שיטת הספירה הבבלית]] הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: ה[[בבל]]ים קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת, בדומה ל[[השיטה העשרונית|שיטה העשרונית]] בימינו, כאשר בסיס הספירה הוא [[בסיס סקסגסימלי|60]]. בסיס זה השפיע רבות על חיינו – אנו סופרים 60 שניות ב[[דקה]] ו-60 דקות בשעה, ומחלקים את ה[[מעגל]] ל-360 [[מעלה (זווית)|מעלות]]. ישנן עדויות המעידות על רמתם המתמטית של הבבלים, כמו לוח החרסית [[פלימפטון 322]]. חסרונה העיקרי של שיטת הספירה הבבלית, הוא היעדר סימן מיוחד לספרה [[0 (מספר)|אפס]], שגרם לבבלים להשאיר רווח בכל מקום שבו אמורה להימצא הספרה. חיסרון זה כובל את קריאת המספר הכתוב אל ההקשר שלו.

בעוד שהבבלים והמצרים ראו באריתמטיקה כולה בבחינת [[מדע שימושי]], ה[[יוון העתיקה|יוונים]] פיתחו את האריתמטיקה ה[[מחקר]]ית ב[[המאה ה-5 לפנה"ס|מאה ה-5 לפנה"ס]]. היוונים השתמשו במערכת [[אקסיומה|אקסיומות]] כדי לבסס את חישוביהם, והתעניינו במהות ה[[פילוסופיה של המתמטיקה|פילוסופית]] של המספרים. הם מיינו את המספרים לסוגים שונים וחקרו את תכונותיהם הכלליות. היוונים היו הראשונים שהוכיחו כי ישנם [[אינסוף]] [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]]; הם סללו את הדרך למציאת הוכחה ל"[[המשפט היסודי של האריתמטיקה|משפט היסודי של האריתמטיקה]]" ואף גילו [[שורש ריבועי|שורשים]] שהם [[מספר אי רציונלי|מספרים אי-רציונליים]].

המתמטיקאי היווני [[דיופנטוס]] חיבר ב[[המאה ה-3|מאה השלישית]] את ספרו "[[אריתמטיקה (ספר)|אריתמטיקה]]" שנחשב המקביל האריתמטי-אלגברי ל"[[יסודות (ספר)|יסודות]]" של [[אוקלידס]]. בספר זה הציג דרכים לפתירת מערכת [[משוואה|משוואות]] שמספר הנעלמים בהן גדול ממספר המשוואות ופתרונותיהם הם [[מספר שלם|מספרים שלמים]] בלבד; משוואות אלה קרויות על-שמו, [[משוואה דיופנטית|משוואות דיופנטיות]]. בזכות יצירה זו מכונה דיופנטוס בשם "אבי ה[[אלגברה]]".

תרבות ה[[מאיה]], שהשתמשה ב[[שיטת ספירה]] המתבססת על המספר 20, הביאה עמה את המספר [[0 (מספר)|0]] כחידוש רב משמעות. סימונים למקומות "ריקים" היו קיימים עוד קודם לכן, אך ספרת ה-0, במשמעות הקרובה ביותר לזו המוכרת לנו כיום, החלה בשימוש על ידי המאיה.

[[השיטה העשרונית]], שבה אנו משתמשים כיום, שיטה המציגה כל ספרה כסכום של [[חזקה (מתמטיקה)|חזקות]] של 10, החלה את קיומה ב[[הודו]]. הספרות העשרוניות המוכרות לנו כיום, התפתחו מספרות אלה ועברו שינויים צורניים עד אשר התקבעו במאה החמש-עשרה, בין היתר עקב השפעת [[מהפכת הדפוס]]. ההודים פיתחו את כללי החשבון מן התרבות המצרית והתרבות הבבלית וביססו את ה[[מספר שלילי|מספרים השליליים]] ואת הבדלת ערכי השורש של מספר חיובי. שיטה זו אומצה בהמשך על ידי התרבות ה[[ערבים|ערבית]] אשר פיתחה את אופן כתיבת הספרות לצורתן הנוכחית.
[[פיבונאצ'י|לאונרדו מפיזה]] (הידוע גם בשם פיבונאצ'י) העביר את השיטה ההודית-ערבית לאירופה, באמצעות ספרו הנודע "[[ספר החשבונייה]]", שנכתב ב-[[1202]].

במהלך [[ימי הביניים]] חוותה המתמטיקה בכללותה עצירה מסוימת בפיתוחה. בימי ה[[רנסאנס]] שב הפיתוח המתמטי לאירופה בכללותו, ובפרט עיסוק בנושא האריתמטיקה.

ה[[בסיס בינארי|בסיס הבינארי]], שבו נעשה שימוש בשני סימנים בלבד – 0 ו-1, פותח במאה השבע-עשרה על ידי [[גוטפריד וילהלם לייבניץ|לייבניץ]] ונכנס לשימוש מעשי בעיקר עם התפתחות ה[[אלקטרוניקה ספרתית|אלקטרוניקה הספרתית]], בעיקר בזכות תרומתו של [[קלוד שאנון]]. עם התפתחות המחשוב, נכנס בסיס זה לשימוש גם ב[[מחשב]], אך עקב היותו מסורבל לשימושם של בני האדם, הממשק בין האדם למחשב נעשה בשיטה העשרונית, ומומר על ידי המחשב לבסיס בינארי לשם פעולתו הפנימית. במקביל נכנסו לשימוש בתחום המחשוב שיטות ספירה שבסיסיהן הם חזקות טבעיות של 2 – [[בסיס אוקטלי]] ו[[בסיס הקסדצימלי]].

עם התפתחות המתמטיקה המודרנית, קיבלה המילה "אריתמטיקה" משמעויות נרחבות יותר מאשר "הענף העוסק בפעולות חשבוניות", ובאריתמטיקה המודרנית נכללים תחומים רבים בתורת המספרים, כגון [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]] ו[[עקום אלגברי|עקומים אלגבריים]] מסובכים יותר (ובפרט [[עקום אליפטי|עקומים אליפטיים]]).

== פעולות אריתמטיות ==
[[קובץ:Addition Table.svg|שמאל|ממוזער|275px|[[לוח החיבור]] מספק הגדרה פשטנית לפעולת ה[[ארבע פעולות החשבון#חיבור|חיבור]]]]
[[קובץ:Memorization Multiplication table.JPG|שמאל|ממוזער|275px|אף ש[[לוח הכפל]] המלא מ-1 עד 10 מכיל 100 מכפלות, ניתן לשנן את כולו על ידי 36 מכפלות בלבד. בתמונה זו ניתן לראות את 36 המכפלות הללו בלוח הכפל, כאשר שאר הכפולות הוצאו מן הלוח.]]
{{ערך מורחב|ארבע פעולות החשבון}}
האריתמטיקה היסודית עוסקת במספר פעולות יסודיות: חיבור, חיסור, כפל וחילוק; פעולת הכפל החוזר, הקרויה [[העלאה בחזקה]]; הפעולות ההפוכות לחזקה – [[שורש של מספר|הוצאת שורש]] ו[[לוגריתם]].

ארבע הפעולות הראשונות נקראות '''[[ארבע פעולות החשבון]]:'''
* פעולת ה'''[[חיבור]]''' קשורה להוספת מספר עצמים למספר אחר של עצמים. את החיבור של a ו-b מסמנים ב-<math>\!\, a+b</math>, קרי: "a ועוד b" או "a פלוס b". שני המספרים a ו-b נקראים "מחוברים", ותוצאת החיבור היא ה"סכום" שלהם.
* פעולת ה'''[[חיסור]]''' מתקבלת מגריעה של מספר עצמים ממספר אחר, או הפרדה של קבוצה לשתיים. החיסור של b מ-a מסומן <math>\!\, a-b</math>, קרי: "a פחות b" או "a מינוס b". האיבר השמאלי מכונה "מחוסר" והימני "מחסר". תוצאתה של פעולת החיסור נקראת "הפרש".
* בפעולת ה'''[[כפל]]''' אפשר לראות תהליך של חיבור חוזר: חיבור מספר נתון של כמויות שוות זו לזו. הכפל של a ב-b מסומן <math>a \times b</math> או <math>a \cdot b</math>, קרי: "a כפול b" או "a פעמים b". בפעולת הכפל כל איבר נקרא "כופל", והתוצאה נקראת "מכפלה".
* פעולת ה'''[[חילוק]]''' הפוכה לכפל; היא עונה על השאלה: "כמה עצמים יהיו בכל חלק של קבוצה נתונה, אם יחלקו אותה למספר נתון של חלקים שווים". החילוק של a ב-b מסומן a/b, או a:b, או גם <math>{{a \over b}}</math>, קרי: a חלקי b. האיבר a הוא "מחולק" (או "מונה") והאיבר b הוא "מחלק" או ("מכנה"). תוצאתה של פעולת החילוק נקראת "מנה".

===חוקי חשבון===
חוקי החשבון הם כללים יסודיים שאותן מקיימות ארבע פעולות החשבון, וניתן להיעזר בהם לפישוט תהליך החישוב. הראשון שכתב את חוקי החשבון כפי שהם ידועים לנו כיום היה המתמטיקאי ההודי [[בראהמגופטה]], ב-625 לספירה לערך.

חוקים חשובים אלה הופכים את פעולות החשבון לפעולות שימושיות ורבות יישומים. באופן מוכלל, מבנה עשיר כדוגמת המספרים הרציונליים והממשיים המאפשר את פעולות החשבון ומקיים את כלליהן נקרא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]].

להלן פירוט הכללים האריתמטיים היסודיים.

====חוק הקיבוץ או חוק הצירוף ([[אסוציאטיביות]])====
חוק הפועל על פעולות החיבור והכפל. סכומם או מכפלתם של כמות מספרים מסוימת בסדר קבוע, יכולים להופיע בסדר שונה וניתן לקבץ אותן בסוגריים מבלי שתוצאתם תשתנה, משום שאין חשיבות לסדר הפעלתן כאשר הן היחידות מסוגן. ניתן לבטא זו בצורה מתמטית, כאשר a,b,c הם גורמים הערוכים בסדר מסוים:
* <math>\ (a + b) + c = a + (b + c)</math> ולכן ניתן לכתוב פשוט <math>\ a+b+c</math>.
* <math>a\cdot(b \cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math> ולכן ניתן לכתוב פשוט <math>a\cdot b\cdot c</math>.

====חוק החילוף ([[קומוטטיביות]]) ====
כאשר מחברים או מכפילים שני מספרים, אין חשיבות לשאלה מי הראשון ומי השני. כלומר, מתקיים:
* <math>\!\, a+b=b+a</math>.
* <math>\!\, a\times b=b\times a</math>.
לעומת זאת, פעולות החיסור והחילוק '''אינן''' קומוטטיביות. כאשר מתרגמים את אופרטורי החילוק והחיסור לאופרטורי חיבור וכפל משנים את האופרנד השני, ולכן ישנה חשיבות לסדר האופרנדים. קל לראות זאת על ידי דוגמה:
* <math>\!\, 1-0=1</math>, אבל <math>\!\, 0-1=-1</math>. אין זה מקרי שקיבלנו מספרים ששונים בסימנם – זוהי תכונה כללית.
* <math>\!\, 4:2=2</math>, אבל<math>\!\, 2:4=\frac{1}{2}</math>. גם כאן, אין זה מקרי שקיבלנו שני מספרים כך שהאחד שווה ל-1 חלקי השני.

====חוק הפילוג (דיסטריבוטיביות)====
החוק הקושר את פעולות החיבור והכפל. הוא קובע שלכל שלושה מספרים <math>\ a,b,c</math> מתקיים:
{{ש}}<math>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math>.

====קיום איבר יחידה ואיברים נגדיים====
לפעולת החיבור ולפעולת הכפל קיימים [[איבר יחידה|איברי יחידה]] תואמים שאינם משנים את תוצאת החישוב לאחר הפעלתם. המספר [[0 (מספר)|0]] הוא איבר היחידה של חיבור – תוצאת חיבור מספר עם אפס היא המספר עצמו: <math>\!\, a+0=a</math>. בצורה דומה [[1 (מספר)|1]] הוא איבר היחידה של כפל: <math>a\cdot 1=a</math>. לחיסור ולחילוק אין איברי יחידה.

בנוסף לכל מספר יש איבר נגדי שתוצאת הפעלתו עם המספר נותנת את איבר היחידה. ה[[מספר נגדי|מספר הנגדי]] למספר <math>\!\, a</math> ביחס לחיבור מסומן <math>\!\, -a</math> והוא מקיים: <math>\!\, a+(-a)=0</math>. האיבר הנגדי ביחס לכפל נקרא גם [[מספר הופכי]] ומסמנים אותו <math>\!\, a^{-1}</math> {{כ}} והוא שווה ל-<math>\!\, 1/a</math>. ההופכי מקיים: <math>a\cdot a^{-1}=1</math>.

===חזקות===
במספרים שלמים, פעולת ה'''[[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]]''' אינה אלא שם מקוצר לפעולת כפל חוזרת של מספר בעצמו: המכפלה של a בעצמו b פעמים נקראת "a בחזקת b", ומקובל לסמן אותה בסימון <math>{a}^{b}</math>. כאשר b מספר קטן, מקצרים בעברית וקוראים ל-<math>\ a^2</math> "a בריבוע" ל-<math>\ a^3</math>
"a בשלישית", ל-<math>\ a^4</math> "a ברביעית", וכדומה. a נקרא "בסיס החזקה" ו-b ה"מעריך".

'''[[שורש של מספר|שורש]]''' היא פעולה שעונה על השאלה "מהו המספר שאם נעלה אותו בחזקה מסוימת יתן לנו תוצאה נתונה?" שורש מסדר a של b מסומן <math>\sqrt[a]{b}</math>. קרי: שורש מסדר a של b.

'''[[לוגריתם]]''' היא פעולה ההפוכה לפעולת החזקה. פעולה זו מוצאת את החזקה בהינתן בסיס ותוצאה; עונה על השאלה "באיזה חזקה נצטרך להעלות מספר נתון כדי לקבל מספר נתון אחר?". לוגריתם של a לפי בסיס b נכתב <math>\log_ba</math>.

====חוקי חזקות====

מן הגדרה שהבאנו לעיל, ניתן להסיק את חוקי החזקות:
* מכפלה של שתי חזקות בעלות אותו בסיס שווה לחזקה בעלת אותו בסיס, שהמעריך שלה הוא סכום המעריכים של שתי החזקות המוכפלות, כלומר:
: <math>a^m \cdot a^n = a^{m+n}</math>
* חזקה של חזקה בעלת בסיס נתון, תהיה שווה לחזקה של אותו הבסיס שהמעריך שלה הוא מכפלת המעריכים של שתי החזקות הקודמות, כלומר:
: <math>{(a^m)}^n = a^{mn}</math>
* חזקה של מכפלת שני בסיסים, שווה למכפלת החזקות בעלות אותו המעריך של שני הבסיסים, כלומר:
: <math>a^n \cdot b^n = {(a \cdot b)}^n</math>
* כדי שחוק המכפלה של חזקות ישמר, יש להגדיר לכל a שונה מאפס כי <math>a^{-n} = \frac{a^0}{a^n}= \frac{1}{a^n}</math> ו-<math>\ a^0 = 1</math>.

==שיטות ספירה==
{{ערך מורחב|שיטות ספירה}}
[[קובץ:Indian numerals 100AD.svg|ממוזער|שמאל|250px|גרסה של [[ספרות ברהאמיניות]] כפי שהיו מקובלות ב[[המאה ה-1 לפנה"ס|מאה הראשונה לפנה"ס]]. מספרות אלו התפתחו [[ספרות הודיות-ערביות|הספרות המערביות]] המוכרות לנו.]]
[[קובץ:Duodecimal Multiplication Table.PNG|שמאל|ממוזער|250px|לוח הכפל – זוהי [[טבלה]] המספקת הגדרה פשטנית לפעולות הכפל. לוח זה מופיע ב[[בסיס דואודצימלי]]: בסיס 12.]]
ניתן להציג כל מספר נתון במספר צורות בהתאם לטווח הספרות הנתון בידינו לצורך הצגתו. בחיי היום יום משתמשים בעיקר בשיטת הספירה ה[[השיטה העשרונית|עשרונית]]. בשיטה זו, נעשה שימוש בספרות 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ו-9 על מנת להציג כל מספר נתון בעזרת סכום של חזקות של עשר.
מבחינה היסטורית, קודם לשימוש בבסיס העשרוני, הופיעו שיטות ספירה נוספות אשר התבססו על רצף ספרות המייצגות מספר בתלות בערך אליו משויכת כל ספרה ולעיתים בתלות במקומה, כך שלמקום לא הייתה משמעות טכנית מבחינת סדר הגודל הכללי, אלא בתלות בספרות אחרות. בשיטות הספירה העברית, למשל, מבטאת כל אות מספר הקבוע מראש בלא תלות במקומה במילה. בעת כתיבה ב[[ספרות רומיות]], שהיא שיטת כתיבה המבוססת על אותיות לטיניות, נעשה שימוש בהקבצה: לכל אות משויך ערך מסוים, ומיקומה קובע את חיבור ערכה או חיסור ערכה ביחס לאותיות שלידן היא עומדת. החיסרון העיקרי של שיטות אלה נוגע לסרבול שלהן בעת הצגת מספרים גדולים, ובפרט בעת ביצוע חישובים באמצעותם או אחד כלפי השני כאשר הם בייצוג שונה.

בשיטה הבבלית מופיע לראשונה הרעיון של קשר בין המיקום של הסימן לסדר הגודל אותו הוא מבטא כאשר שיטה זו משלבת עקרונות של קיבוץ ושל סכום חזקות שבסיסן שישים.

עם הופעת השיטה הערבית-הודית, הפך השימוש בבסיס העשרוני לנפוץ במיוחד וכיום הוא משמש כשיטה כמעט בלעדית לצורכי יום-יום בעולם כולו.

בתחומי ה[[אלקטרוניקה ספרתית|אלקטרוניקה הספרתית]] והמחשבים בפרט, נעשה שימוש רב ב[[בסיס בינארי]] לצורכי הפעלת מעגלים, כאשר לרוב '0' מציין מתח פעולה נמוך ו-'1' מציין מתח פעולה גבוה. פעולות עם בסיס בינארי מסורבלות למדי לבני אדם, משום שהמספרים ארוכים יחסית, נהוג להציג את [[זיכרון גישה אקראית|זיכרון המחשב]] בבסיסים כמו [[בסיס אוקטלי|אוקטלי]] ו[[בסיס הקסדצימלי|הקסדצימלי]], או בשיטות אחרות שבסיסן <math>2^n</math> עבור n טבעי.

כמו כן, נמצאים בשימוש מצומצם יחסית בסיסים נוספים כמו [[בסיס דואודצימלי]].

במעבר מבסיס כללי K כלשהו לבסיס עשרוני, תיוצג המילה <math> \ a_n a_{n-1} a_{n-2} ... a_0 .a_{-1} a_{-2} ... a_{-m} </math> כך:

<math> \ a_n \times k^n+a_{n-1} \times k^{n-1}+a_{n-2} \times k^{n-2} + ... + a_0 \times k^0 + a_{-1} \times k^{-1}+ a_{-2} \times k^{-2}+ ... +a_{-m} \times k^{-m}</math>.

מבחינה מתמטית, שינוי שיטת הספירה אינו משנה את מהותו של המספר, אך הוא משנה את האופן הטכני בו תבוצענה עליו הפעולות האריתמטיות. כך, למשל, בעת ביצוע פעולת חיסור בבסיס הקסדצימלי יילקח לווה השווה ל-10 בבסיס הקסדצימלי שהם 16 בבסיס עשרוני.

==תורת המספרים==
{{ערך מורחב|תורת המספרים}}
המונח "אריתמטיקה" מתקשר לעיתים גם ל[[תורת המספרים]] בהקשר של תכונות ומציאת [[אלגוריתם|אלגוריתמים]] העוסקים בנושאים כגון [[מספר ראשוני|ראשוניות]], [[מבחני התחלקות]] ו[[פירוק לגורמים של מספר שלם|פירוק לגורמים]], כמו גם פתרון [[משוואה דיופנטית|משוואות דיופנטיות]]. בעבר נהוג היה להתייחס אל תורת המספרים בכללותה, בהרחבה, כאל "אריתמטיקה", אף כי היום אין נהוג לעשות עוד שימוש במונח זה למטרה זו. הדים לשימוש זה ניתן למצוא, למשל, במונחים "[[המשפט היסודי של האריתמטיקה]]" ו"[[פונקציה אריתמטית|פונקציות אריתמטיות]]".

[[המשפט היסודי של האריתמטיקה]] עוסק בפירוק לגורמים. משפט זה קובע כי כל [[מספר טבעי]] יכול להיכתב כמכפלה ייחודית של [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]], פרט לשינוי סדר הגורמים. כפי שנרמז משמו, למשפט זה חשיבות רבה בתורת המספרים, שכן הוא מראה כי המספרים הראשוניים הם "אבני הבניין" של כלל המספרים. שמו של משפט זה מהווה דוגמה להכללה של המונח "אריתמטיקה" כך שהוא כולל גם נושאים המוכללים כיום בשם הרחב יותר "תורת המספרים".

[[פונקציה אריתמטית|פונקציות אריתמטיות]] הן [[פונקציה|פונקציות]] שמבואן הוא [[מספר טבעי]] ומוצאן הוא מספר טבעי אף הוא, כאשר המוצא נקבע לפי [[מבחני חלוקה|תכונות החלוקה]] של המבוא. דוגמה לפונקציה זו היא [[פונקציית מביוס]]. השם אשר נבחר לקבוצת פונקציות זו מדגים אף הוא מבט כולל יותר על גבולות האריתמטיקה.

==הקשרים פילוסופיים==
{{ערך מורחב|פילוסופיה של המתמטיקה}}
ה[[פילוסופיה של המתמטיקה]] היא ענף [[פילוסופיה|פילוסופי]] העוסק בשאלות הנוגעות למדע המתמטיקה בפרט. מתוקף היות האריתמטיקה ענף מרכזי מאוד במתמטיקה, עולות סביבה שאלות פילוסופיות רבות אשר נוגעות ליסודות מהן "בנויה" המתמטיקה. כמו כן, שאלות רבות הנוגעות לפילוסופיה של האריתמטיקה, נושקות אף לתחומים אחרים, כגון [[תורת המספרים]].

התפתחויות אריתמטיות רבות, הושפעו בתקופתן מהפילוסופיות והדתות אשר מהן הושפעו המתמטיקאים. כך, למשל, פילוסופיות קוסמולוגיות של דת ה[[ג'ייניזם]] ההודית הובילו לעיסוק מורחב של המתמטיקאים ההודים במספרים גדולים ולפיתוחים נלווים.

היחס הפילוסופי אל האריתמטיקה בכללותה הכתיב לא אחת את אופן ההתפתחות שלה במקומות ובזמנים שונים. היוונים הקדומים, למשל, התייחסו אל האריתמטיקה כאל תחום מדעי-מחקרי בנוסף להיותו כלי שימושי ולפיכך ניסו לבססו על מערכת של אקסיומות ומשפטים הנובעים מהם ותרמו לפיתוח וארגון הידע האריתמטי בתקופתם. הרומים, לעומתם, התייחסו אל האריתמטיקה כאל כלי טכני-יישומי ולפיכך לא התעמקו בחקרה ולא אמצו חלק מן הידע של קודמיהם היוונים.

דוגמה נוספת להשפעה פילוסופית על התפתחות המתמטיקה היא סוגיית ההתפתחות של המספר והמכלול הרעיוני שמאחורי ה[[0 (מספר)|אפס]]. במשך שנים רבות לא הוכר האפס כמספר בפני עצמו ויוצג כ"מקום ריק" בכתיבת מספרים. זאת, בין היתר, עקב הקושי הפילוסופי שעוררה המחשבה כי ניתן "לייצג שום דבר".

קיומם של [[מספר]]ים, הוא נושא לתהיות פילוסופיות רבות. האם, ובאיזה מובן, קיימים המספרים? האם המספרים הם ישויות מוחלטות או פרי מערכת [[אקסיומה|אקסיומות]] "סתמית"? האם ישנו הבדל בין משמעות קיומם של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] ל[[מספר רציונלי|רציונליים]], [[מספר אי רציונלי|אי-רציונליים]], [[מספר טרנסצנדנטי|טרנסצנדנטיים]] או אף [[מספר מרוכב|מרוכבים]]? בהקשר זה ידועים דבריו של ה[[מתמטיקאי]] [[לאופולד קרונקר]]: "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה ידי אדם".

אף סביב הפעולות האריתמטיות עולות שאלות פילוסופיות רבות. למשל: האם הפעולות האריתמטיות המוכרות לנו הן מוחלטות, או תלויות במערכת הגדרות ואקסיומות "סתמיות"? האם ייתכנו מערכות אריתמטיות שבסיסן שונה באופן מהותי מן האריתמטיקה המוכרת לנו? ניתן לייצג שאלה זו באופן ציורי יותר: אם נפגוש [[חיזר]]ים תבוניים, האם הבסיס האריתמטי עליו נשענת המתמטיקה שלהם יהיה זהה במהותו?

== אריתמטיקה מודרנית ==
במתמטיקה המודרנית, המונח "אריתמטיקה" משמש, בהכללה, לתחום העוסק בקיום פתרונות למשוואות, או מערכות של משוואות, מעל ה[[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]] של [[תורת המספרים]], ובמיוחד [[שדה מקומי|שדות מקומיים]] ו[[שדה גלובלי|גלובליים]]. תחום זה, הנקרא לפעמים גם [[אריתמטיקה גאומטרית]], עוסק למשל בקיום פתרונות למשוואות כמו <math>\ x^2+6y^2+14z^2 = n</math> (כאשר n הוא [[מספר טבעי]]), כאשר המשתנים x,y,z צריכים להיות [[מספר רציונלי|מספרים רציונליים]].

אחת השאלות המרכזיות בתחום קשורה בהיקף התחולה של [[עקרון הסה]], הקובע שבמקרים מסוימים, קיומו של פתרון למשוואה מעל כל [[השלמה של שדה|השלמה]] של השדה K, מבטיח שקיים פתרון גם בשדה K עצמו. עקרון הסה חל על [[תבנית ריבועית|תבניות ריבועיות]], אבל הוא נכשל, לדוגמה, עבור [[עקום אליפטי|עקומים אליפטיים]]. פירושו של דבר הוא שלמשוואה מהצורה <math>\ y^2=x^3-ax+b</math> (עם מקדמים רציונליים) יכולים להיות פתרונות מעל [[שדה המספרים הממשיים|הממשיים]] ומעל כל [[שדה המספרים ה-p-אדיים|שדה של מספרים p-אדיים]], בשעה שאין לה פתרונות מעל [[שדה המספרים הרציונליים|הרציונליים]]. את המידה שבה נכשל עקרון הסה ניתן לכמת באמצעות [[חבורה אבלית|חבורה]] הנקראת [[חבורת שפרביץ']], שאותה מגדירים בכלים [[קוהומולוגיה|קוהומולוגיים]]. משערים שחבורה זו [[קבוצה סופית|סופית]], אך לעת עתה לא נמצאה לכך הוכחה.

האריתמטיקה נושקת גם לתורת השדות, בה מביאות שאלות אריתמטיות למחקר ענֵף של תכונות של שדות. כך למשל נחקרים "[[שדה Cn|שדות Cn]]", שבהם מובטח פתרון למשוואות הומוגניות מסוימות, ו[[שדה פסאודו-סגור אלגברית|שדות פסאודו-סגורים אלגברית]], המחקים היבטים מסוימים של ה[[שדה סגור אלגברית|שדות הסגורים אלגברית]].

==יחס החברה לאריתמטיקה==
חיי היום-יום דורשים מהאדם לבצע פעילויות אריתמטיות פשוטות כחלק מהתנהלותו השגרתית. כך, למשל, שימוש בפעולות אריתמטיות פשוטות נעשה בבישול, בנהיגה, בקריאת שעון, בתכנון כלכלת הבית ולצרכים רבים נוספים. כלים בסיסיים מתחום האריתמטיקה נחשבים לחלק בלתי נפרד מן ה[[אוריינות]]. נוסף על כך, האריתמטיקה היסודית מהווה את הבסיס ההכרחי לרכישת ידע מתקדם יותר במתמטיקה, כאשר המתמטיקה בכללותה נחשבת כדיסציפלינת מדע מרכזית; הידע המתמטי בכללותו מהווה לא אחת מדד מרכזי בקביעת השכלתו הפורמלית של אדם (למשל, ב[[הבחינה הפסיכומטרית|מבחן הפסיכומטרי]] או ה-[[SAT]] לצורך קבלה ללימודים אקדמאיים). לפיכך, מקנה החברה חשיבות רבה לרכישת מיומנויות אריתמטיות כבר בגיל צעיר.

==לקריאה נוספת==
* '''[[האנציקלופדיה העברית]]''', ע"ע אריתמטיקה ומתמטיקה.
* שמעון דגן (בעריכת ד"ר דב ירדן), '''תולדות המתמטיקה הקדומה''', [[הוצאת דביר]], 1955.
<div style="direction: ltr;">
* A Course in Arithmetic, J.-P. Serre, Springer-Verlag.
</div>

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקיספר=חשבון|ויקימילון=אריתמטיקה}}
* [http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/index.html The MacTutor History of Mathematics archive]
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007294694905171|חשבון}}

{{-}}
== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אריתמטיקה|*]]