הצגת המקור של הדף "בסיס בינארי"

{{להשלים|כל הערך=כן|סיבה=הערך כתוב בצורת מדריך ולא כערך אנציקלופדי. השוו לוויקיפדיה האנגלית|נושא=מחשוב}}

[[קובץ:Wikipedia in binary.svg|ממוזער|250px|מערכת ספירה על בסיס בינארי מייצגת ערכים מספריים באמצעות שני סמלים, בדרך כלל 0 ו-1.]]

ב[[מתמטיקה]] וב[[מדעי המחשב]] מערכת ספירה על '''בָּסִיס בִּינָארִי''', או מערכת ספירה על '''בסיס 2''' (על פי הצעת [[האקדמיה ללשון העברית]]: '''בָּסִיס שְׁנִיּוֹנִי'''), מייצגת ערכים מספריים באמצעות שני סמלים, בדרך כלל 0 ו-1. בפרט, שיטת הספירה הבינארית הנפוצה היא סימון לפי מקום עם [[בסיס (אריתמטיקה)|בסיס]] 2. מספרים המיוצגים בשיטה זו נקראים לרוב מספרים בינאריים.

בגלל פשטות המימוש של [[אלקטרוניקה ספרתית]] בעלת שתי רמות מתח בלבד, נוח להשתמש במערכות דיגיטליות בבסיס בינארי. למעשה כל המערכות הדיגיטליות הנפוצות, מחשבים, טלפונים סלולריים, [[מערכת משובצת מחשב|מערכות משובצות מחשב]] וכדומה עושים שימוש בבסיס בינארי.

==היסטוריה==
[[קובץ:Sculpture Leibniz-Denkmal Stefan Schwerdtfeger Georgsplatz Hanover Germany.jpg|ממוזער|250px|מספרים ב[[בסיס עשרוני]] ומקביליהם בבסיס בינארי, על פסלו של [[גוטפריד וילהלם לייבניץ]]]]
המשכיל ההודי {{קישור שפה|אנגלית|Pingala|פינגלה}} פיתח עקרונות מתמטיים לתיאור [[משקל (שירה)|משקל בשירה]] ובזאת למעשה הציג את התיאור הראשון למערכת ספירה בינארית. הוא עשה שימוש בסמלים לייצוג הברות, וחילק בין הברות קצרות וארוכות. שני הסמלים ששימשו אותו לא היו 0 ו-1 אלא קו קצר וקו ארוך השווה באורכו לשני קווים קצרים, בצורה הדומה ל[[קוד מורס]]. הוא יצר טבלאות על מנת לתת לכל רצף ערך ייחודי. דוגמה לטבלה שכזו: (ההצגה הזו היא בכיוון ההפוך מהשיטה המודרנית)
: 0 0 0 0   ערך מספרי 1<sub>10</sub>
: 1 0 0 0   ערך מספרי 2<sub>10</sub>
: 0 1 0 0   ערך מספרי 3<sub>10</sub>
: 1 1 0 0   ערך מספרי 4<sub>10</sub>

הבגואה הם שמונה שלשות בשימוש ה[[קוסמולוגיה]] של ה[[טאואיזם]] לייצוג העקרונות היסודיים של המציאות. שלשה מורכבת משלושה קווים, כאשר כל קו הוא "שבור" או "לא שבור", לייצוג [[יין-יאנג|יין]] ויאנג בהתאמה. המבנה הזה אנלוגי למספרים בינאריים תלת ספרתיים. המבנה היה בשימוש לכל הפחות מתקופת [[שושלת ג'ואו]], שכן הוא מופיע בספר [[אי צ'ינג]]. הספר מחולק לשישים וארבעה פרקים המיוצגים על ידי סדרה של שישיות של קווים, מה שמקביל למספרים בינאריים בעלי שש ספרות.

שיטת הספירה הבינארית המודרנית פותחה על ידי [[גוטפריד וילהלם לייבניץ]] בשנת [[1679]]. השיטה של לייבניץ עושה שימוש ב-0 ו-1, כמו בשיטה המודרנית. כחובב התרבות הסינית, לייבניץ הכיר את ה[[אי צ'ינג]] וציין בהתפעלות את ההתאמה בין השישיות והמספרים הבינאריים בעלי שש ספרות.

בשנת [[1854]] פרסם המתמטיקאי הבריטי [[ג'ורג' בול]] את ספרו העיקרי בתורת ההיגיון, "חקירה של חוקי החשיבה" ובו הציג את ה[[אלגברה בוליאנית|אלגברה הבוליאנית]]. ה[[אלגברה]] הבוליאנית מהווה בסיס ל[[לוגיקה בוליאנית]]- ענף העוסק בפסוקים אלגבריים שערכי איבריהם אמת או שקר בלבד. הערכים מיוצגים על ידי הסימונים '1'\ ו- '0'\ בהתאמה. לענף זה שימוש רב בתחשיב פסוקים, באלקטרוניקה ובמדעי המחשב.

==השיטה המקובלת לספירה בבסיס בינארי==
[[קובץ:BinaryAdding.png|ממוזער|250px|חיבור בינארי]]

בשיטה זו, ערכה של כל ספרה "1" הוא <math>2^n</math> כאשר n הוא מיקום הספרה מימין, החל מ-0.
לדוגמה, הייצוג של המספרים הטבעיים הקטנים מ-8 יהיה:
{| class="wikitable"
|+
! עשרוני !! בינארי
|-
| 0 || 000
|-
| 1 || 001
|-
| 2 || 010
|-
| 3 || 011
|-
| 4 || 100
|-
| 5 || 101
|-
| 6 || 110
|-
| 7 || 111
|}
בסיס בינארי משמש כיום בעיקר בתחום [[מדעי המחשב]], זאת כיוון שבמעגלים לוגיים אלקטרוניים נוח להסתפק בהבחנה בין שתי רמות מתח בלבד, גבוה ונמוך, המיוצגות על ידי "1" ו-"0" בהתאמה. ולכן זהו הבסיס הטבעי להביע בו מספרים ב[[מחשב]] המורכב ממעגלים כאלו.

מאפיינים נוספים ייחודיים לשיטה זו הם הדמיון שלה ל[[בסיס (אלגברה)#הבסיס הסטנדרטי|בסיס הסטנדרטי]] ב[[אלגברה ליניארית]], וכן היותה הבסיס הנמוך ביותר בשימוש נפוץ בייצוג מספרים.

קיימות שיטות ייצוג אחרות, המבוססות על הבסיס הבינארי, כמו [[קוד גריי]] או שיטת [[משלים ל-2]] המאפשרת ייצוג מספרים שליליים, או ייצוג [[נקודה צפה]] של [[מספר רציונלי|מספרים רציונליים]].

[[קובץ:Binary Interdiciplinary.JPG|שמאל|ממוזער|300px|[[באנר]] של [[המרכז הבינתחומי הרצליה]], המזמין תלמידים למפגש בעניין לימודי תואר שני ב[[מדעי המחשב]]. תאריך המפגש מופיע בבסיס בינארי (המקודד בקוד [[BCD]]), ופירושו 1/4/08]]

== מעבר ממספרים בינאריים למספרים עשרוניים ==
[[קובץ:Leibniz binary system 1697.jpg|ממוזער|250px|מעבר ממספרים בינאריים למספרים עשרוניים, בכתב ידו של [[לייבניץ]] (סביב 1700)]]

בסיס הספירה העשרונית הוא 10, משום שלספירה זו 10 סימנים.{{ש}}
פירוק מספר עשרוני:{{ש}}
{{ltr|
<math>\!\, 1452 = 1\cdot1000 + 4\cdot100 + 5\cdot10 + 2 = 1\cdot10^3 + 4\cdot10^2 + 5\cdot10^1 + 2\cdot10^0 </math>
}}
אנו רואים כי הבסיס המשותף לכל האיברים הוא 10.
בסיס הספירה הבינארית הוא 2 (לספירה זו שני סימנים),
לכן נפרק את המספר הבינארי הבא בהתאם לפירוק המספר העשרוני:
{{ltr|
<math>1101 = 1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0 = 8+4+0+1=13</math>
}}
מכאן שהמספר 1101 בספירה בינארית שקול למספר 13 בספירה עשרונית.

לכן נציג '''נוסחה''' כללית, למעבר מספרה המוצגת בבסיס בינארי לבסיס עשרוני
(באגף השמאלי מופיע המספר בספרות בינאריות, ומימין משמעותו בספרות עשרוניות):
{{ltr|
<math>a_1a_2a_3...a_n = a_1\cdot2^{n-1} + a_2\cdot2^{n-2} + a_3\cdot2^{n-3} +... + a_n\cdot2^0</math>}}
או, באמצעות [[נוסחת נסיגה]],
{{ltr|
<math>a(n) = 2^{X-1} + Y</math>
}}
כאשר X מייצג את מס' הספרות של המס' הבינארי, Y מייצג את הערך העשרוני של המספר הבינארי ללא הספרה השמאלית ביותר, וידוע כי a(0) = 0 וכן a(1) = 1.

לדוגמה,
{{ltr|
<math>a(01) = 1</math>
}}
ומכאן
{{ltr|
<math>a(101)= 2^2 + a(01) = 4 + 1 = 5</math>
}}
ולכן,
{{ltr|
<math>a(1101) = 2^3 + a(101) = 8 + 5 = 13</math>
}}

== מעבר ממספרים עשרוניים למספרים בינאריים ==
מעבר ממספר עשרוני למספר בינארי יתבצע באמצעות המרה של המספר העשרוני למספרים בחזקה בעלת בסיס 2 וסידורם בסדר כרונולוגי.
דוגמה: ניקח את המספר 73. תחילה נמצא את החזקה בבסיס 2 הקרובה ביותר למספר (אך קטנה ממנו). החזקה הקטנה ביותר המתאימה היא:
<math>2^6=64</math>. 
כדי להגיע למספר 73 נצטרך להוסיף עוד חזקות בעלות בסיס 2. נבדוק אם <math>2^5</math> יתאים לנו:
{{ltr|
<math>2^6 + 2^5 = 64 + 32 = 96 > 73</math>
}}

קיבלנו מספר גדול מהמספר 73. לכן יש לחפש חזקה קטנה יותר. נבדוק אם <math>2^4</math> יתאים לנו:
{{ltr|
<math>2^6 + 2^4 = 64 + 16 = 80 > 73</math>
}}

קיבלנו מספר גדול מהמספר 73. לכן יש לחפש חזקה קטנה יותר. נבדוק אם <math>2^3</math> יתאים לנו:
{{ltr|
<math>2^6 + 2^3 = 64 + 8 = 72 < 73</math>
}}

המספר 72 קטן מהמספר 73, לכן החזקה <math>2^3</math> מתאימה לנו.

כדי להגיע מ-72 ל-73 נצטרך להוסיף עוד מספר. ברור כי <math>2^2</math>, ו-<math>2^1</math> לא יתאימו לנו, אבל <math>2^0=1</math> יתאים לנו.

אם כן פירוק המספר 73 לחזקות בעלות בסיס 2 הוא:
{{ltr|
<math>73 = 2^6 + 2^3 + 2^0</math>
}}

כדי להגיע למספר הבינארי המתאים, נוסיף את החזקות החסרות בין החזקות הללו:
{{ltr|
<math>73 = 1\cdot2^6 + 0\cdot2^5 + 0\cdot2^4 + 1\cdot2^3 +0\cdot2^2 +0\cdot2^1+ 1\cdot2^0</math>
}}
כלומר, חזקות שהשתמשנו בהן, הוכפלו ב-1 וחזקות שלא השתמשנו בהם, הוכפלו ב-0.
המספר הבינארי שלנו מורכב מהמקדמים של מספרי החזקות. מכאן ש-73 בספירה בינארית הוא: <math>1001001</math>

=== דרך מקוצרת ===
דרך קלה יותר לבצע את ההמרה הזו מתבצעת על ידי חלוקה חוזרת של המספר העשרוני ב-2 ובדיקת ה[[שארית (חילוק)|שארית]]:
# מתחילים במספר המקורי, <math>k</math>
# כל עוד k שונה מ-0,
## כותבים את השארית של החלוקה (k mod 2).
## לוקחים את [[החלק השלם]] של תוצאת החלוקה ב-2 (k div 2, בשפת [[C (שפת תכנות)|C]], למשל) ומסמנים אותו ב-k.

בסוף התהליך, השאריות הן הייצוג של המספרי הבינארי '''בסדר ההפוך'''.

==== דוגמה ====
{| class="wikitable" dir="ltr"
|-
! k !! k div 2 !! k mod 2
|-
| 73 || 36 || 1
|-
| 36 || 18 || 0
|-
| 18 || 9 || 0
|-
| 9 || 4 || 1
|-
| 4 || 2 || 0
|-
| 2 || 1 || 0
|-
| 1 || 0 || 1
|}

ואם נקרא את השאריות מלמטה למעלה, נקבל את ייצוג המספר בבסיס בינארי: '''1001001'''

(אילו היינו ממשיכים את החלוקה ב-2, היינו מקבלים את המספר '''000001001001'''…, השווה למספר המצומצם '''1001001'''.)

שיטה זו שקולה לשיטה הקודמת, אבל קלה יותר ליישום אלגוריתמי.

==המרה בין בסיסי מספרים נפוצים==
{{טבלת בסיסי מספרים}}

==בסיס בינארי במחשבים==
[[קובץ:Programmierer binary.gif|ממוזער|250px|קריקטורה של מתכנת מחשבים שעובד עם קוד בינארי בלבד]]

[[סיבית]] (קיצור של '''סי'''פרה '''בי'''נארי'''ת'''; באנגלית: bit או ביט, קיצור של "'''b'''inary dig'''it'''") היא [[ספרה]] בינארית המשמשת כיחידת ה[[נתונים]] הקטנה ביותר שבה משתמש ה[[מחשב]].
סיבית יכולה להכיל ערך 0 או 1 בלבד. הסיבה לשימוש בשיטה הבינארית היא פשטות המימוש ה[[אלקטרוניקה|אלקטרוני]] וה[[לוגיקה בוליאנית|לוגי]] של שיטה זו - נדרש טיפול בשני מצבים בלבד (למשל: יש זרם = 1, אין זרם = 0).

ניתן ליצג [[מידע]] באמצעות דפוסים של סיביות על ידי תהליך של [[דיגיטציה]]{{הערה|שם=פרדוקס|Denning, P. J., & Bell, T. (2012). The Information Paradox. American Scientist, 100(6), 470-477.|כיוון=שמאל}}.

==ראו גם==
*[[בסיס אוקטלי]]
*[[בסיס הקסדצימלי]]
*[[משלים ל-1]]
*[[משלים ל-2]]
*[[תוכנה - מונחים]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* [https://web.archive.org/web/20090719070401/http://www.zutopedia.co.il/auto/bases.html המחשה אינטראקטיבית של ספירה בבסיס בינארי והקסדצימלי] מתוך אתר לילדים המלמד מושגים במדעי המחשב

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{ספרות}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:שיטות ספירה]]
[[קטגוריה:יחידות נתונים]]