הצגת המקור של הדף "בעיה n-גופית"

ב[[פיזיקה]], ה'''בעיה ה-{{Mvar|n}}-גופית''' היא הבעיה של חיזוי תנועה של קבוצת [[גרם שמיים|עצמים שמימיים]] המקיימים אינטראקציית [[כבידה]] זה עם זה.<ref>{{צ-ספר|מחבר=Leimanis, E.; Minorsky, N.|שם=Dynamics and Nonlinear Mechanics|מקום הוצאה=New York|מו"ל=John Wiley & Sons|שנת הוצאה=1958}}</ref> המוטיבציה לפתרון הבעיה היה הרצון להבין את תנועות [[השמש]], [[הירח]] ו[[כוכב לכת|כוכבי הלכת]] וה[[כוכבים]]. במאה ה-20, הבנת הדינמיקה של מערכות כוכבי [[צביר כדורי]]ות הפכה לבעיה {{Mvar|n}}-גופית חשובה.<ref>{{צ-ספר|מחבר=Heggie, Douglas; Hut, Piet|שם=The Gravitational Million-Body Problem, A Multidisciplinary Approach to Star Cluster Dynamics|מקום הוצאה=Cambridge:|מו"ל=Cambridge University Press|שנת הוצאה=2003|ISBN=978-0-521-77303-4}}</ref> הבעיה ה-{{Mvar|n}}-גופית בתורת [[תורת היחסות הכללית|היחסות הכללית]] קשה הרבה יותר לפתרון, גם בשל המורכבות המתמטית של התיאוריה וגם עקב גורמים נוספים כמו עיוותי זמן ומרחב.
== היסטוריה ==
באמצעות נתונים של שלושה מיקומים של כוכב לכת במסלולו – מיקומים שקיבל סר [[אייזק ניוטון]] מהאסטרונום ג'ון פלמסטיד {{אנ|John Flamsteed}}<ref>{{Cite book|last=Clark|first=David H.|url=https://archive.org/details/newtonstyrannysu00clar|title=The Suppressed Scientific Discoveries of Stephen Gray and John Flamsteed, Newton's Tyranny|last2=Clark|first2=Stephen P. H.|date=2001|publisher=W. H. Freeman and Co.|url-access=registration}}. </ref> – ניוטון הצליח לנסח משוואה, שחוזה את תנועתו של כוכב לכת; כלומר, נותנת את מאפייני המסלול שלו: מיקום, קוטר מסלול, זמן מחזור ומהירות מסלול.<ref name=":0">See {{Cite book|last=Brewster|first=David|title=The Great Events by Famous Historians|date=1905|publisher=The National Alumni|editor-last=Johnson|editor-first=Rossiter|volume=XII|pages=51–65|chapter=Discovery of gravitation, A.D. 1666|author-link=}}</ref> אך במהרה התגלה כי משוואות התנועה הללו לא חזו בדיוק חלק מהמסלולים.<ref>{{צ-ספר|מחבר=Kurth, Rudolf|שם=Introduction to the Mechanics of the Solar System.|מקום הוצאה=London|מו"ל=Pergamon Press|שנת הוצאה=1959|ISBN=978-0-08-009141-9}}</ref> ניוטון הבין שחוסר הדיוק נובע מכוחות הכבידה שכוכבי הלכת מפעילים זה על זה.

תובנה זו פוגעת הישר בלב הבעיה ה-''n''-גופית: כפי שניוטון הבין, לא מספיק לדעת את המיקום והמהירות ההתחלתית או שלוש קוארדינטות על המסלול, כדי למצוא את המסלול של כוכב לכת; יש גם להיות מודעים לכוחות הכבידה שמפעילים עליו כוכבי הלכת האחרים. כך התעוררה, בתחילת המאה ה-17, המודעות ל"בעיה ה-{{Mvar|n}} גופית".

כוחות משיכה כבידה אלה אכן מתאימים לחוקי התנועה של ניוטון ולחוק הכבידה האוניברסלי שלו, אך האינטראקציות המרובות ({{Mvar|n}} גופים) הופכות את הפתרון המדויק לבלתי אפשרי במקרה הכללי.

מציאת הפתרון הכללי של הבעיה ה-{{Mvar|n}}-גופית נחשבה חיונית ועם זאת מאתגרת מאוד. ואכן, בסוף המאה ה-19, מלך [[אוסקר השני, מלך שוודיה|שוודיה אוסקר השני]], הכריז על פרס למי שיציע פתרון לבעיה.<ref>{{צ-ספר|שם=King Oscar’s Prize|קישור=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-11672-8_43|מו"ל=Springer|שנת הוצאה=2010|מקום הוצאה=Berlin, Heidelberg|ISBN=978-3-642-11672-8|עמ=377–380|מחבר=Arild Stubhaug|שפה=en}}</ref>
== ניסוח כללי ==
הבעיה ה-{{Mvar|n}}-גופית מניחה {{Mvar|n}} מסות נקודתיות {{נוסחה|''m<sub>i</sub>'', ''i'' {{=}} 1, 2, …, ''n''}} ב[[מערכת ייחוס אינרציאלית]] במרחב תלת־ממדי, שנעות תחת השפעת כוחות משיכה הדדית של כבידה. לכל מסה {{נוסחה|''m<sub>i</sub>''}} יש וקטור מיקום {{נוסחה|'''q'''<sub>''i''</sub>}}. על פי [[חוקי התנועה של ניוטון|החוק השני של ניוטון]], מסה כפול תאוצת הגוף שווה לסך כל הכוחות שפועלים עליה. על פי [[חוק הכבידה העולמי של ניוטון]] כוח המשיכה ששתי מסות {{נוסחה|''m<sub>j</sub>''}} ו {{נוסחה|''m<sub>i</sub>''}} מפעילות זו על זו הוא

<math display=block>\mathbf{F}_{ij} = \frac{G m_i m_j}{\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|^2} \, \frac{\left(\mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right)}{\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|} = \frac{G m_i m_j \left(\mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right)}{\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|^3},</math>

כאשר {{Mvar|G}} הוא [[קבוע הכבידה]] העולמי ו <math>\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|</math> המרחק בין המסות.

סיכום הכוחות על כל המסות נותן את משוואות התנועה ל-n הגופים<math display="block"> m_i \frac{d^2\mathbf{q}_i}{dt^2}
 = \sum_{j=1 \atop j \ne i}^n \frac{G m_i m_j \left(\mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right)}{\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|^3}
 = - \frac{\partial U}{\partial \mathbf{q}_i}
 </math>

כאשר <math> U </math> היא [[אנרגיה פוטנציאלית|האנרגיה הפוטנציאלית]] של המערכת<math display="block">U = - \sum_{1 \le i < j \le n} \frac{G m_i m_j}{\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|}.</math>

עם הגדרת המומנטום<math> \mathbf{p}_i = m_i \frac{d\mathbf{q}_i}{dt} </math> משוואות התנועה ההמילטוניות לבעיה ה-n-גופית הופכות ל<ref name=":1">{{צ-ספר|שם=Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the N-Body Problem|קישור=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-53691-0|שפה=en|מחבר=Meyer, Kenneth Ray|מקום הוצאה=New York|מו"ל=Springer Science & Business Media|שנת הוצאה=2009|ISBN=978-0-387-09724-4.}}</ref><math display="block">\frac{d\mathbf{q}_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}_i} \qquad \frac{d\mathbf{p}_i}{dt} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}_i}, </math>כאשר ה[[המילטוניאן]] הוא

<math display="block">H= T + U</math>ו T האנרגיה הקינטית הכוללת של המערכת<math display="block">T = \sum_{i=1}^n \frac{\left\| \mathbf{p}_i \right\|^2}{2m_i}.</math>

על פי משוואות התנועה ההמילטוניות הבעיה ה-{{Mvar|n}}-גופית מהווה מערכת של {{נוסחה|6''n''}} [[משוואה דיפרנציאלית|משוואות דיפרנציאליות]] מסדר ראשון, עם {{נוסחה|6''n''}} [[תנאי התחלה]] - {{נוסחה|3''n''}} קואורדינטות מיקום התחלתיות ו {{נוסחה|3''n''}} ערכי תנע התחלתיים.

סימטריות בבעיה ה-{{Mvar|n}}-גופית מספקות קבועי תנועה, באופן שמפשט את הבעיה.<ref name=":1" /> היות שהבעיה סימטרית להזזה מתקיים [[תנע|חוק שימור התנע]] הכולל של המערכת, ולכן מרכז [[מרכז מסה|המסה]] <math display="block">\mathbf{C} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n m_i \mathbf{q}_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^n m_i} </math> נע במהירות קצובה ובקו ישר. כלומר {{נוסחה|'''C''' {{=}} '''L'''<sub>0</sub>''t'' + '''C'''<sub>0</sub>}}, כאשר {{נוסחה|'''L'''<sub>0</sub>}} היא המהירות הקווית ו-{{נוסחה|'''C'''<sub>0</sub>}} היא המיקום ההתחלתי. קבועי התנועה {{נוסחה|'''L'''<sub>0</sub>}} ו - {{נוסחה|'''C'''<sub>0</sub>}} מהווים סה"כ שישה קבועי תנועה. [[סימטריה סיבובית]] גורמת לכך [[תנע זוויתי|שהתנע הזוויתי]] הכולל הוא קבוע <math display="block">\mathbf{A} = \sum_{i=1}^n \mathbf{q}_i \times \mathbf{p}_i,</math> כאשר <math>\times</math> הוא אופרטור [[מכפלה וקטורית|המכפלה הווקטורית]]. שלושת המרכיבים של התנע הזוויתי הכולל {{נוסחה|'''A'''}} מהווים שלושה קבועי תנועה נוספים. קבוע התנועה האחרון מתקבל מ[[חוק שימור האנרגיה|שימור האנרגיה]] {{Mvar|H}}. מכאן שלכל בעיה {{Mvar|n}}-גופית יש עשרה קבועי תנועה.

מכיוון ש - {{Mvar|T}} ו - {{Mvar|U}} הם [[פונקציה הומוגנית|פונקציות הומוגניות]] מדרגה 2 ו-1, בהתאמה, משוואות התנועה אינווריאנטיות לכיול: כלומר, אם {{נוסחה|'''q'''<sub>''i''</sub>(''t'')}} הוא פתרון, אז גם {{נוסחה|''λ''<sup>−2/3</sup>'''q'''<sub>''i''</sub>(''λt'')}} הוא פתרון לכל {{נוסחה|''λ'' > 0}}.<ref name="Chenciner 2007">Chenciner 2007</ref>

== מקרים מיוחדים ==
=== בעיית שני הגופים ===
{{הפניה לערך מורחב|בעיית קפלר}}

[[בעיית שני הגופים]] הכללית עוסקת בשני גופים ופוטנציאל כללי שתלוי אך ורק במרחק בין שני הגופים. [[בעיית קפלר]] הוא [[מקרה פרטי]] החשוב ביותר, שבו המרחב הוא תלת־ממדי והפוטנציאל הוא פוטנציאל חוק הכבידה העולמי.

בעיית קפלר ({{נוסחה|''n'' {{=}} 2}}) נפתרה על ידי [[יוהאן ברנולי]] (1667–1748) באמצעות התיאוריה הקלאסית (ולא על ידי ניוטון) על ידי הנחה שמסת הנקודה העיקרית הייתה קבועה;<ref name="Bate, Mueller, and White">See Bate, Mueller, and White, Chapter 1: "Two-Body Orbital Mechanics", pp. 1–49. These authors were from the Department of Astronautics and Computer Science, United States Air Force Academy. Their textbook is not filled with advanced mathematics.</ref> בתנועה של שני גופים, למשל השמש וכדור הארץ, כשהשמש קבועה, ואז: <math display="block">\begin{align}
m_1 \mathbf{a}_1 &= \frac{Gm_1m_2}{r_{12}^3}(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1) &&\quad\text{Sun–Earth} \\
m_2 \mathbf{a}_2 &= \frac{Gm_1m_2}{r_{21}^3}(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2) &&\quad\text{Earth–Sun}
\end{align}</math>המשוואה המתארת את תנועת המסה {{נוסחה|''m''<sub>2</sub>}} ביחס למסה {{נוסחה|''m''<sub>1</sub>}} מתקבלת מההפרש של שתי המשוואות הללו, ולאחר ביטול איברים משותפים מתקבל: <math display="block">\mathbf{\alpha} + \frac{\eta}{r^3} \mathbf{r} = \mathbf{0}</math> כאשר
* {{נוסחה|'''r''' {{=}} '''r'''<sub>2</sub> − '''r'''<sub>1</sub>}} הוא וקטור המיקום של {{נוסחה|''m''<sub>1</sub>}}
* {{Mvar|α}} הוא וקטור התאוצה האוילרית <math>\frac{d^2 \mathbf{r}} {dt^2}</math>
*<math>\eta = G(m_1 + m_2)
</math>
המשוואה <math> \mathbf{\alpha} + \frac{\eta}{r^3} \mathbf{r} = \mathbf{0} </math> היא המשוואה הדיפרנציאלית היסודית לבעיה הדו-גופית תחת שדה כבידה.

=== בעיית שלושת הגופים ===
{{הפניה לערך מורחב|בעיית שלושת הגופים}}
סעיף זה מתייחס לפתרון הבעיה ה-{{Mvar|n}} גופית לאחר שנעשו הנחות מפשטות.

בעבר לא היה ידוע הרבה על הבעיה ה-{{Mvar|n}}-גופית עבור {{נוסחה|''n'' ≥ 3}}.<ref>See Leimanis and Minorsky's historical comments.</ref> המקרה התלת-גופי ({{נוסחה|''n'' {{=}} 3}}) נחקר ביותר. ניסיונות רבים קודמים להבין את בעיית שלושת הגופים היו כמותיים, ומטרתם הייתה למצוא פתרונות מפורשים למצבים ספציפיים.
* ב-1687 פרסם [[אייזק ניוטון]] ב-''Principia'' את השלבים הראשונים בחקר בעיית התנועות של שלושה גופים הכפופים למשיכה ההדדית של הכבידה שלהם.
* בשנת 1767, מצא [[לאונרד אוילר|אוילר]] תנועות קולינאריות, שבהן שלושה גופים נעים לאורך [[ישר|קו ישר]] קבוע. בעיית שלושת הגופים של אוילר היא מקרה מיוחד שבו שניים מהגופים מקובעים במרחב (אין לבלבל זאת עם [[בעיית שלושת הגופים|בעיית שלושת הגופים המוגבלת מעגלית]], שבה שני הגופים המסיביים מתארים מסלול מעגלי).
* בשנת 1772 גילה [[ז'וזף-לואי לגראנז'|לגראנז']] שני סוגים של פתרון מחזורי, כל אחד עבור שלושה גופים בכל מסה. בסוג אחד, הגופים נמצאים על קו ישר מסתובב. בסוג השני הגופים נמצאים על קודקודיו של [[משולש שווה-צלעות]] מסתובב. בשני המקרים המסלולים של הגופים יהיו חתכים חרוטיים. פתרונות אלה הובילו למחקר של ''תצורות מרכזיות'', שעבורן {{נוסחה|''q̈'' {{=}} ''kq''}} עבור קבוע כלשהו {{נוסחה|''k'' > 0}}.
* מחקר גדול על המערכת שמש-ארץ-ירח בוצע על ידי [[שארל-אוג'ן דלאוני]]{{אנ|Charles-Eugène Delaunay}}. העבודה מרמזת על הכאוטיות של הבעיה.
* בשנת 1917, פורסט ריי מולטון את ספרו ''מבוא למכניקה שמימית'' עם פתרון ''לבעיית שלושת הגופים המצומצמת''.<ref>{{צ-ספר|מחבר=Leonard Meirovitch|שם=Methods of Analytical Dynamics.|מקום הוצאה=New York.|מו"ל=McGraw-Hill Book Co.|שנת הוצאה=1970|ISBN=978-0-07-041455-6}}</ref>

=== בעיית ארבעת הגופים ===
בהשראת בעיית שלושת הגופים המוגבלת המעגלית, ניתן לפשט מאוד את בעיית ארבעת הגופים על ידי התחשבות בגוף קטן יותר כבעל מסה קטנה בהשוואה לשלושת הגופים המאסיביים האחרים, שבתורם מתארים מסלולים מעגליים. זו ידועה כבעיית ארבעת הגופים המוגבלת הדו-מעגלית (הידועה גם כדגם דו-מעגלי).<ref>{{Cite journal|last=Huang|first=Su-Shu|date=1960|title=Very Restricted Four-Body Problem|url=https://books.google.com/books?id=smhIAQAAIAAJ&q=huang+very+restricted&pg=PA354|journal=NASA TND-501|volume=65|page=347|bibcode=1960AJ.....65S.347H|doi=10.1086/108151}}</ref> ניסוח זה היה רלוונטי מאוד באסטרודינמיקה, בעיקר למודל של מסלולי [[חללית|חלליות]] במערכת כדור הארץ-ירח בתוספת משיכה הכבידה של השמש.

=== הבעיה הפלנטרית ===
''הבעיה הפלנטרית'' היא בעיה {{Mvar|n}}-גופית, כאשר אחת המסות גדולה בהרבה מכל האחרות. דוגמה טיפוסית לבעיה פלנטרית היא המערכת [[השמש|שמש]]-[[צדק (כוכב לכת)|צדק]]-[[שבתאי]], שבה מסת השמש גדולה בערך פי 1000 מהמסות של צדק או שבתאי,{{הערה|שם=Chenciner 2007}} פתרון מקורב לבעיה הוא לפרק אותה ל - {{נוסחה|''n'' − 1}} זוגות של [[בעיית קפלר|בעיות קפלר של]] כוכב-כוכב, תוך התייחסות לאינטראקציות בין כוכבי הלכת כאל הפרעות. [[תורת ההפרעות|קירוב הפרעתי]] עובד היטב כל עוד אין [[תהודה מסלולית|תהודות מסלוליות]] במערכת, כלומר אף אחד מהיחסים של תדרי קפלר הלא מופרעים הוא [[מספר רציונלי]]. רזוננסים מופיעים כמכנים קטנים בפיתוח ההפרעתי.

== גישות אנליטיות ==
לכל פתרון של הבעיה, [[איזומטריה]], הזזה בזמן והיפוך זמן נותן פתרון.

=== פתרון בטור חזקות ===
אחת הדרכים לפתור את הבעיה ה-{{Mvar|n}}-גופית היא באמצעות "[[טור טיילור]]"<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Le Guyader, C|שם=Solution of the N-Body Problem Expanded Into Taylor Series of High Orders. Applications to the Solar System Over Large Time Range|כתב עת=Astronomy and Astrophysics|כרך=272|שנת הוצאה=1993|עמ=687-694|קישור=https://adsabs.harvard.edu/full/1993A%26A...272..687L}}</ref>

נתחיל בהגדרת מערכת [[משוואה דיפרנציאלית|משוואות דיפרנציאליות]] של הבעיה ה-{{Mvar|n}}-גופית:<math display="block">\frac{d^2\mathbf{x}_i(t)}{dt^2}=G \sum_{k=1 \atop k\neq i}^n \frac{m_k \left(\mathbf{x}_k(t)-\mathbf{x}_i(t)\right)}{\left|\mathbf{x}_k(t)-\mathbf{x}_i(t)\right|^{3}}</math>כיוון ש <math>\mathbf{x_i} (t0)</math> ו <math>\frac{d\mathbf{x_i}(t_0)}{dt}</math> נתונים כתנאי התחלה, גם הנגזרות השניות ידועות ב-<math>t_0</math>. הגזירה של <math>\frac{d^2\mathbf{x}_i(t)}{dt^2}</math> ביחס ל-t נותן את <math>\frac{d^3\mathbf{x}_i(t)}{dt^3}</math> שגם אותו ניתן לחשב ב-<math>t_0</math>, וכך ניתן לחשב באופן איטרטיבי את טור טיילור המתאר את ההתפתחות בזמן של המערכת.

== סימולציה נומרית ==
אמנם ישנם פתרונות אנליטיים זמינים לבעיית שני הגופים הקלאסית (כלומר הלא-יחסותית) ולקונפיגורציות ספציפיות עם {{נוסחה|''n'' > 2}}, אך באופן כללי יש לפתור או לדמות בעיות ''{{Mvar|n}}''-גופיות באמצעות שיטות נומריות.<ref name=":2">{{צ-מאמר|מחבר=Trenti, Michele; Hut, Piet|שם=n-body simulations|כתב עת=Scholarpedia|כרך=3|שנת הוצאה=2008}}</ref>

=== גופים מעטים ===
עבור מספר קטן של גופים, ניתן לפתור בעיה ''{{Mvar|n}}''-גופית באמצעות ''שיטות ישירות'', הנקראות גם ''שיטות חלקיקים-חלקיקים''. שיטות אלו משלבות באופן נומרי את משוואות התנועה הדיפרנציאליות. אינטגרציה נומרית לבעיה זו יכולה להיות מאתגרת מכמה סיבות: ראשית, פוטנציאל הכבידה הוא סינגולרי, ושואף לאינסוף כשהמרחק בין שני חלקיקים שואף לאפס. ניתן "לרכך" את פוטנציאל הכבידה על ידי הוספת איבר חיובי קטן במכנה כדי להסיר את הסינגולריות במרחקים קטנים:<ref name=":2" /><math display="block">U_\varepsilon = \sum_{1 \le i < j \le n} \frac{G m_i m_j}{ \sqrt{\left\| \mathbf{q}_j - \mathbf{q}_i\right\|^2 + \varepsilon^2} }</math> שנית, באופן כללי עבור {{נוסחה|''n'' > 2}}, הבעיה ה-''{{Mvar|n}}''-גופית היא [[תורת הכאוס|כאוטית]],<ref>{{צ-ספר|מחבר=Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A|שם=Chaos: An Introduction to Dynamical Systems.|מקום הוצאה=New York.|מו"ל=Springer|שנת הוצאה=1996|עמ=46–48}}</ref> כלומר אפילו שגיאות קטנות באינטגרציה עשויות לגדול אקספוננציאלית בזמן. שלישית, סימולציה עשויה להיות על פני משכי זמן גדולים של המודל (למשל מיליוני שנים) ושגיאות מספריות מצטברות ככל שגדל מספר צעדי האינטגרציה.

ישנן מספר טכניקות לצמצום שגיאות באינטגרציה נומרית.<ref name=":0" /> מערכות קואורדינטות מקומיות משמשות להתמודדות עם סקאלות שונות בבעיות מסוימות. למשל, לסימולציה של המערכת שמש-ארץ-ירח. שיטות וריאציה או כאלה המשתמשות ב[[תורת ההפרעות]] יכולות להניב מסלולים אנליטיים מקורבים ששניתן לדייק באמצעות אינטגרציה נומרית.

=== גופים מרובים ===
שיטות ישירות המשתמשות באינטגרציה נומרית דורשות [[סדר גודל]] של <math>\frac{1}{2} n^2</math>חישובים להערכת האנרגיה הפוטנציאלית. ולכן [[סיבוכיות זמן|סיבוכיות הזמן]] שלהן היא <math>O(n^2)</math>. עבור סימולציות עם גופים מרובים, פקטור <math>O(n^2)</math> הופך את החישובים לבלתי מעשיים, ולכן פותחו שיטות מקורבות המפחיתות את סיבוכיות הזמן ביחס לשיטות הישירות.<ref name=":2" />

== ראו גם==
* [[בעיית שני הגופים|בעיית כבידה של שני גופים]]
* [[בעיית קפלר]]
* [[בעיית שלושת הגופים]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}
{{בקרת זהויות}}
[[קטגוריה:בעיות חישוביות]]
[[קטגוריה:כבידה]]