הצגת המקור של הדף "בעיית הבקר של ארכימדס"

'''בעיית הבקר של ארכימדס''' היא בעיה ב[[אנליזה דיופנטית]] העוסקת במספר [[שורי השמש|ראשי הבקר של אל השמש]] הרועים, כביכול, ב[[סיציליה]]. הבעיה מיוחסת ל[[ארכימדס]], אף כי יש על-כך עוררין.

הבעיה מבקשת למנות את בני הבקר, פרות ושוורים בארבעה צבעים, כשהיא משווה בין מספר בעלי החיים מכל מין וצבע. מכיוון שמספר בני הבקר מכל סוג הוא [[מספר שלם|שלם]], יוצרים התנאים מערכת של [[משוואה דיופנטית|משוואות דיופנטיות]] בשמונה נעלמים.

פתרון הבעיה מעלה שגודל העדר הוא מספר בן 206544 ספרות לפחות. אפילו בגרסה מצומצמת, שבה יש תנאים ליניאריים בלבד, כולל הפתרון הקטן ביותר כ-50 מיליון בני בקר.

== היסטוריה ==

בעייתו של ארכימדס, שפרטיה נשכחו והתגלו רק ב[[המאה ה-18|מאה ה-18]], הפכה לשם דבר: בעיה חישובית קשה במיוחד הייתה זוכה בספרות העתיקה לכינוי Problema Bovinum, "בעיית שוורים". 

ב-[[1769]] מונה ה[[מחזאי]] [[גוטהולד אפרים לסינג]] ל[[ספרן]] בספרייתו של ה[[דוכס|הרצוג]] אוגוסט שבעיירה [[וולפנביטל]], [[גרמניה]], שבה היו [[כתב יד (העתק)|כתבי יד]] יווניים ורומיים רבים. ב-1773 פרסם לסינג [[תרגום]] של כמה מכתבי היד האלה, עם הערות. ביניהם נמצא שיר בן 22 בתים ב[[יוונית עתיקה]], המבקש למצוא את גודל [[שורי השמש|עדר הבקר של אל השמש]]. בכותרת לשיר נאמר שהוא נשלח על ידי ארכימדס ל[[אסטרונום]] הגדול [[ארטוסתנס]], על מנת שה[[מתמטיקאי]]ם של [[אלכסנדריה]] ילמדו אותו. הבעיה לא נזכרה בכתבי המתמטיקאים היווניים, ולכן היו חוקרים, ולסינג ביניהם, שהטילו ספק בייחוסה לארכימדס.

== הבעיה ==

גרסה מקוצרת של הבעיה פרסם נֶסֶלמן (Nesselmann) ב-[[1842]], ב[[גרמנית]]. גרסה זו מבקשת מן הקורא "... מנה את מספר בני-הבקר אשר לשמש, הרועים בסיציליה, וצבעים להם ארבעה: לבנים כחלב, שחורים, נקודים וחומים ...", ומספקת אילוצים כגון "מספר השוורים הלבנים יגדל במחצה ושליש [היינו ב-5 שישיות של] מספר השחורים ממספר החומים", וכן הלאה. המשוואות האלה מהוות [[מערכת משוואות ליניארית]] שאפשר לפתור בקלות יחסית; מספרם הכולל של בני הבקר, לפיה, הוא כפולה של 50,389,082.

הבעיה ממשיכה: "אם תוכל, רעי, למנות את העדרים בזכר ובנקבה; באשר אף אם רב כחך במספר, לא יגיע עד הנה:", ומוסיפה עוד שני תנאים - מספר השוורים השחורים והלבנים, יחד, הוא [[מספר ריבועי|ריבועי]]; ומספר הנקודים והחומים הוא [[מספר משולשי|משולשי]]. תנאים אלו מוסיפים זוג אילוצים ריבועיים, שאותם אפשר לתרגם ל[[משוואת פל]] <math>\ x^2 - D y^2 = 1</math>, כאשר <math>\ D = 4729494 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 29 \cdot 353</math>. הופעה זו של משוואת פל, שלא הייתה ידועה במערב עד המאה ה-18, היא סיבה נוספת לחשוד שלא מדובר במתמטיקה בת דורו של ארכימדס.

כיוון שהבעיה דורשת חישוב במספרים מרובי ספרות, היא נותרה בלתי פתורה עד ש-A. Amthor תיאר ב-[[1880]] דרך למצוא את הפתרון הכללי, העולה לכ-<math>\ 7.76\cdot 10^{206544}</math> פרות ושוורים, והתוצאה המדויקת חושבה בעזרת מחשב ב-1965. חבילות-תוכנה מודרניות המסוגלות ל[[אריתמטיקה]] ב[[מספרים גדולים]], יכולות להציג את מאות אלפי הספרות של הפתרון, ללא קשיים מיוחדים.

== מקורות ==
<div style="direction: ltr;">
* Heinrich Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their history and solution; Dover ed. 1965, pp. 3-7
* H. W. Lenstra, [http://www.ams.org/notices/200202/fea-lenstra.pdf Solving the Pell Equation]. Notices of the American Mathematical Society 29 (2): 182–192, 2002  </div>. 

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:משוואות דיופנטיות]]
[[קטגוריה:מספרים גדולים]]
[[קטגוריה:ארכימדס]]