הצגת המקור של הדף "בעיית חובק-המפיות"

[[קובץ:Sphere_bands.svg|ממוזער| אם קודחים חור בגובה <math>h</math> דרך מרכז כדור, נפח הרצועה הנותרת אינו תלוי בגודל הכדור. עבור כדור גדול יותר, הרצועה תהיה דקה יותר אך ארוכה יותר.]]
[[קובץ:Cut_Napkin_ring_problem_Animation_created_with_openscad.gif|ממוזער| אנימציה של חובק-מפיות (חתוך) שגובהו קבוע]]
ב[[גאומטריה]], '''בעיית חובק-המפיות''' (napkin ring problem) קשורה בנפח של "רצועה" בגובה מוגדר סביב [[ספירה (גאומטריה)|כדור]], כלומר החלק שנותר לאחר קדוח חור בצורת גליל עגול דרך מרכז הכדור. מפתיע כי נפח זה אינו תלוי ב[[רדיוס]] הכדור המקורי אלא רק בגובה הרצועה המתקבלת.

הבעיה נקראת כך כי לאחר הסרת גליל מהכדור, הרצועה הנותרת דומה לצורה של חובק מפיות{{אנ|napkin ring}}.

== טענה ==
נניח שהציר של גליל עגול ימני עובר דרך מרכז כדור ברדיוס <math>R</math> ו- <math>h</math> מייצג את גובה הגליל שנמצא בתוך הכדור. הרצועה (חובק המפיות) הוא החלק של הכדור שנמצא מחוץ לגליל. נפח הרצועה תלויה <math>h</math> אבל לא ב <math>R</math>: <math display="block"> V=\frac{\pi h^3}{6} </math>

כאשר הרדיוס <math>R</math> של הכדור קטן, גם קוטר הגליל קטן על מנת ש <math>h</math> לא ישתנה. הרצועה נעשית עבה יותר, מה שמגדיל את נפחה. אך ההיקף של הרצועה קטן, מה שמקטין את נפחה. שני האפקטים הללו בדיוק מבטלים זה את זה. במקרה הקיצוני של הכדור הקטן ביותר האפשרי, הגליל נעלם (הרדיוס שלו הופך לאפס) והגובה <math>h</math> שווה לקוטר הכדור. במקרה זה נפח הרצועה הוא [[ספירה (גאומטריה)|נפח הכדור כולו]], התואם את הנוסחה שניתנה לעיל.

== הוכחה ==
נסמן ב-<math>R</math> את רדיוס הכדור וב-<math>h</math> את אורך הגליל .

לפי [[משפט פיתגורס]] רדיוס הגליל הוא
[[קובץ:Ring_cross-sections.svg|ממוזער| מציאת מידות הטבעת שהיא החתך האופקי.]]
<math display="block"> \sqrt{R^2 - \left(\frac{h}{2}\right)^2}\qquad\qquad(1) </math>ורדיוס החתך האופקי של הכדור בגובה <math>y</math> מעל "קו המשווה" הוא <math display="block"> \sqrt{R^2 - y^2}\quad\qquad\qquad(2) </math>

[[חתך (גאומטריה)|חתך]] הרצועה עם מישור בגובה <math>y</math> הוא האזור בתוך מעגל הרדיוס הגדול שנתון על ידי (2) ומחוץ למעגל הקטן יותר של הרדיוס שנתון על ידי (1). שטח החתך הוא אם כן שטח המעגל הגדול פחות שטח המעגל הקטן יותר: <math display="block">\pi\left(\sqrt{R^2 - y^2}\right)^2 - \pi\left(\sqrt{R^2 - \left(\frac{h}{2}\right)^2\,{}}\,\right)^2 = \pi\left(\left(\frac{h}{2}\right)^2 - y^2\right)</math>

הרדיוס ''R'' אינו מופיע בביטוי. לכן, שטח החתך האופקי בגובה <math>y</math> אינו תלוי <math>R</math>, כל עוד <math>y\le\tfrac{h}{2}\le R</math> . נפח הרצועה הכולל הוא אם כן

<math display="block">\int_{-h/2}^{h/2} \pi\left(\left(\frac{h}{2}\right)^2 - y^2\right) \, dy = \frac{ \pi h^3}{6}</math>

שאינו תלוי <math>R</math> .

זהו יישום של [[עקרון קאוואליירי|עיקרון קאוואליירי]]: נפחים עם חתכים מתאימים בגודל שווה - שווים. ואכן, שטחי החתכים זהים לשטחי החתכים של כדור ברדיוס <math>h/2</math>.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

== הערות שוליים ==

[[קטגוריה:בעיות נודעות במתמטיקה]]
[[קטגוריה:הוכחות]]
[[קטגוריה:שעשועי מתמטיקה]]
[[קטגוריה:נפח]]